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7.2 复数的四则运算
【学习要求】
1、复数的代数表述式的加、减运算；
2、复数代数式的乘、除法运算；
3、理解并掌握复数的除法运算的实质是分母实数化问题。
【思维导图】
【知识梳理】
1.复数代数形式的加法运算及其几何意义
（1）加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数加法满足的运算律: 对任意，有
交换律： 结合律：
（3）复数加法的几何意义
如图1，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：，
即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.
图1 图2
2.复数代数形式的减法运算及其几何意义
（1）减法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的差：
显然：两个复数的差仍然是一个确定的复数
（2）复数减法的几何意义
复数 向量
（3）()的几何意义
在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.
3.复数代数形式的乘法运算
（1）复数的乘法法则：我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ，
即
（2）复数乘法满足的运算律
(交换律) (结合律) (分配律)
4.复数代数形式的乘方
（1）复数的乘方：复数的乘方就是相同复数的乘积
（2）复数乘方的运算律 根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有：
① ② ③
5. 共轭复数的性质
设，（）
① ②为实数 ③且为纯虚数
④ ⑤，，
6.复数代数形式的除法运算
（1）定义：规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或
（2）复数的除法法则
（）由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
7.求复数标准代数式形式的两种方法
1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；
2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部。
【高频考点】
高频考点1. 复数的加减法运算
【方法点拨】两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).
【例1】（2022春·广西桂林·高一统考期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.故选：A
2、（2022秋·河南鹤壁·高一校考开学考试）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，则，
所以，，解得，因此，.故选：C.
3．（2022·山东高一课时练习）若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设复数z=x+yi(x，y∈R)，依题意有+x+yi=3+i，
因此解得故z=+i.故选：C.
4．（2022春·云南保山·高二统考期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则．由得，则，所以，，所以．故选：B.
5.（2022·重庆高一课时练习）已知为虚数单位，计算下列各式．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
高频考点2 . 复数加减法几何意义的运用
【方法点拨】(1)向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.
(2)利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.
1.（2022·高一）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量：
（1）； （2）．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）设复数对应的向量为． 设复数对应的向量为，
则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为
（2）设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，
如②所示，即为．
2、（2022·浙江高一课时练习）已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数.
【答案】，
【解析】因为,分别表示复数,,
所以表示的复数为,即点表示的复数为,
又,所以表示的复数为,即点表示的复数为
3、（2022春·上海宝山·高一校考期中）已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为______．
【答案】
【解析】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆，
， ，
即：复数与复数在复平面内所对应的点之间的距离为，
复数以复平面内点为圆心，以为半径的圆，
则在复平面所对应的点组成的图形的面积为：
4．（2022春·北京西城·高一北京市第十三中学校考阶段练习）在复平面内，为原点，四边形是复平面内的平行四边形，且，，三点对应的复数分别为，，，若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，
又因为，
所以由复数加法的几何意义可得，.故选：C.
5．（2022·高一课前预习）在复平面内，分别对应复数，以AB,AC为邻边作一个平行四边形，求点对应的复数及的长.
【答案】z4＝7＋3i，
【详解】如图所示：
对应复数z3－z1，对应复数z2－z1，对应复数z4－z1.由复数加减运算的几何意义，
得，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1).
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.
∴AD的长为＝.
高频考点3 . 复数的乘除法运算
【方法点拨】(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成-1，并将实部、虚部分别合并.(2)复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.
1.（2022春·贵州六盘水·高一统考期末）已知复数z满足（i是虚数单位），则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由，得，
则.故选：B
2．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 在复平面内对应的点在第三象限,
, 即 . 实数 的取值范围是 .故选：A.
3．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知，则=（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】D
【详解】由可得，
所以解得，所以，故选:D.
4．（2023·高一课时练习）计算．(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）；
（2）
5.（2022·高一课时练习）计算：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）
（2）
（3）
高频考点4. 复数的乘方运算
【方法点拨】根据虚数单位i的幂运算的周期性，进行求解即可.
1.（2022春·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】因为则故选:A
2.（2022秋·宁夏银川·高一校考期末）复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，因此，.故选：C.
3.（2022春·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期中）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得：，即故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）复数满足，则复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由可得，则，∴．故选：D.
5．（2023·高一课时练习）计算：______．
【答案】
【详解】 故答案为：
高频考点5 . 复数范围内因式分解与解方程
【方法点拨】实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a+bi(a,b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a-bi是该方程的另一根，据此进行求解即可.
1.（2022春·福建福州·高一统考期中）多项式在复数集中因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于方程，因为，
所以有两个虚根，即，，
所以；故选：A
2.（2022春·河南信阳·高一校考阶段练习）已知方程有实根，且，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可得，整理可得：，
所以，解得，所以，.故选：B.
3.（2023·高一课时练习）关于的一元二次方程至少有一个实根，则实数的值是______．
【答案】或
【解析】设方程有一实根和另一根，其中均为实数，
根据韦达定理，，
由①得，，，由②得，，；
故，，整理得，，，解得，
解得或故答案为：或
4、（2022春·广西南宁·高一校联考期末）已知复数，是关于x的方程的两个根，则（ ）
A．9 B．81 C． D．82
【答案】C
【解析】因为复数，是关于x的方程的两个根，
所以，
所以或．故选：C
5．（2022春·广东广州·高一校考阶段练习）已知方程有两个虚根，则的取值范围是________
【答案】
【详解】因为为方程两个根，所以，，方程有虚根，所以，故，故填.
高频考点6. 复数四则运算含参问题
【方法点拨】根据运算法则计算即可。
1．（2022·全国·高三专题练习）已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由复数的乘法运算可知，，
因为复数的实部与虚部的和为12，所以，解得，.故选：B.
2．（2022春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】A
【详解】由题意可得，
故，解得 ，故选：A
3．（2022春·福建福州·高一校考期末）已知复数，，其中是正实数．
(1)若，求实数的值；(2)若是纯虚数，求的值．
【答案】(1)2(2)2
（1）解：∵，，，
∴，从而，解得，所以实数a的值为2．
（2）依题意得：，
因为是纯虚数，所以：，解得：或；又因为a是正实数，所以a＝2．
4．（2022春·福建三明·高一校考期中）已知复数．
(1)若，求的值；(2)求的最小值，
【答案】(1)或 (2)
(1)解：由复数，
可得，
所以，解得或．
(2)解：由复数，
可得，
所以当时，有最小值，最小值为.
高频考点7 . 与复数的模的几何意义有关的应用
【方法点拨】
1．（2022·高一课时练习）非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（ ）
A．、、三点共线 B．是直角三角形 C．是等边三角形 D．以上都不对
【答案】B
【详解】解：设，
则，故，
因为，所以，所以，
所以或，故或，
当时，，当时，，
所以，所以是直角三角形，
故、、三点不共线且不是等边三角形.故选：B.
2．（多选）（2022春·辽宁大连·高一统考期末）设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】A：等价于将绕原点逆时针旋转得到，即，符合；
B：等价于，即共线，不符合；
C：等价于，但不一定有，不符合；
D：等价于，两边平方并应用数量积的运算律可得，即，符合. 故选：AD
3．（2022·高一课时练习）根据复数加法的几何意义，证明：．
【答案】证明见解析.
【详解】设复数所对应的向量是,复数所对应的向量是,
若复数，有一个为0，或者均为0，不等式显然成立；
若向量，不是零向量且共线时，显然成立，
不等式左侧在两向量共线反向时等号成立，不等式右侧在两向量共线同向时等号成立；
若向量，不是零向量且不共线时，如图：
由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得成立.
综上：.
高频考点8. 复数四则运算的创新应用
【方法点拨】先根据复数的四则运算法则进行化简复数，再结合复数的有关概念，进行求解即可.
1．（2023·全国·高三专题练习）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则向量的模为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，，
.故选：B
2．（2023·高一课时练习）现新定义两个复数（、）和（、）之间的一个新运算，其运算法则为：.
（1）请证明新运算对于复数的加法满足分配律，即求证：；
（2）设运算为运算的逆运算，请推导运算的运算法则.
【答案】（1）证明见解析；（2）当，时，，推导过程见解析.
【详解】（1）证：设（、）.
左
右
左=右，证毕.
（2）因为运算为运算的逆运算，所以的运算结果是关于变量的方程的解.
设（、），则，即.
当，时，解得，，.∴，
故，当，时，.
3．（2023·高一课时练习）已知复数，，其中i是虚数单位，．
(1)若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求m，n的值；(2)求的值域．
【答案】(1)， (2)
【详解】（1），是实系数一元二次方程的两个虚根，
则，解之得则，，
则，
（2），，则，
由，可得则的值域为．
4．（2023·高一课时练习）已知关于的实系数一元二次方程．
（1）若一根为，求，的值；（2）若存在模为1的虚数根，求，满足的条件；
（3）设，是虚数根，记，， 在复平面上对应点分别为，B，，求的值．
【答案】（1），；（2），；（3）.
【详解】（1）依题意可知，实系数一元二次方程的两根为，，
所以，解得，.
（2）设模为1的虚根为，，，且，
则实系数一元二次方程的两根为，，
所以，解得，.
又，所以，故，.
（3）若，则方程的根为，.
若，则，，则，，.
所以；
若，则，，则，，.
所以.故.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·黑龙江·校考模拟预测）当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】由题意得，
， ，，
复数在复平面内对应的点位于第四象限．故选：．
2．（2022·福建福州·模拟预测）在复平面内，复数对应的点在第二象限，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：依题意设，且，，所以
因为，
所以，解得或（舍去）；所以；故选：A
3．（2022·安徽合肥·校考二模）复数满足：，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，，
，解得：，.故选：D.
4．（2022·内蒙古包头·统考一模）设，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】设，则，
所以，，故，，则，
因此，复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D.
5．（2022·新疆·统考一模）若复数z的共轭复数是，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，不妨假设 ，则 ，且 ，
， ， ；故选：C.
6．（2022·河南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则．由得，则，所以，，所以．故选：B.
7.（2022春·北京西城·高一校考阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
【答案】C
【解析】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，
又因为，
所以由复数加法的几何意义可得，.故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：甲：； 乙：； 丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【详解】设，由于对应点在第二象限，所以，，，
，.
甲，乙，丙，
丁，
由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为. 故选：B
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9、（2022·黑龙江高一课时练习）若，则z可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】设，则，
由题意可得，解得或
所以或．故选：AC
10．（2022·山东高一课时练习）若，则可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】设，则，由题意可得
解得或所以或．故选：AC
11．（2022·辽宁营口·高一校考阶段练习）已知与是共轭复数，以下4个命题一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】设，
由，，所以，所以A正确；
则，，所以B不正确；由，所以C正确；
由不一定是实数，所以D不一定正确. 故选：AC
12．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．若，则存在实数，使得 D．若，则
【答案】AC
【解答】对A，即，两边平方可得，A对；
对，取，则，当，B错；
对，即，两边平方可得，
故，故，因此存在实数，使得，C对；
对，取，但，D错.故选：AC
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海普陀·校考模拟预测）已知复数为虚数单位，则_________.
【答案】
【详解】因为复数，所以，且，
所以，故答案为：
14．（2022·天津·统考高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．
【答案】##
【详解】．故答案为：
15．（2022春·上海闵行·高三校考阶段练习）若实系数方程的一个根是，则_____．
【答案】1
【详解】解：因为关于的实系数方程的一个根是，所以另一个根为，
根据韦达定理可得，所以.
又，所以，所以故答案为：.
16．（2023·上海·高三专题练习）在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）
【答案】（2）（3）
【详解】，所以（1）错误.
，，所以（4）错误.
设，
.
，所以（2）正确.
，所以（3）正确. 故答案为：（2）（3）
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17（2021·高一课时练习）已知，，为实数，若，求
【答案】.
【解析】
，
所以，解得， ，
所以，，
则，所以．
18、（2022·高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：
（1）向量对应的复数；
（2）向量对应的复数；
（3）向量对应的复数．
【答案】（1）－3－2i；（2）5－2i；（3）1＋6i．
【解析】（1）因为，所以向量对应的复数为－3－2i；
（2）因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；
（3）因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i．
19．（2022·高一课前预习）已知平行四边形中，与对应的复数分别是与，两对角线与相交于点.
（1）求对应的复数；
（2）求对应的复数；
（3）求的面积.
【答案】（1）－2＋2i；（2）5；（3）.
【详解】由题意，画出平行四边形如下图示
（1）在平行四边形ABCD中，有
∴有 = (1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i
即对应的复数是－2＋2i
（2）∵= (3＋2i)－(－2＋2i)＝5
即对应的复数是5
（3）∵
∴，而，
即
∴cos∠APB＝，故sin∠APB＝
故
即的面积为
20．（2023·高一课时练习）计算．
(1)；(2)；(3).
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）原式.
（2）原式.
（3），，，
原式.
21．（2023·全国·高三对口高考）设虚数、满足.
（1）若、是一个实系数方程的两根，求、；
（2）若，，复数，求的取值范围.
【答案】（1），（2）
【详解】解:(1)因为、是一个实系数方程的两根,所以由“共轭虚根定理”知.
设,则,
因为,所以,所以,
由“复数相等的充要条件”得,所以,.
所以,;
(2)由,得,所以.
又,所以,
所以.
因为,所以,,
所以.
22．（2023·高一单元测试）设复数，满足．
（1）若，满足，求，；
（2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求的值；
（3）若，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），或，；（2）或；（3）存在常数满足条件，．
【详解】（1）设，由得到，
，
，
，
，解得或，
故或；
（2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根，
则 设，则
由题意得，，
解得或，故或；
（3）设，则，
由得，
，故.
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7.2 复数的四则运算
【学习要求】
1、复数的代数表述式的加、减运算；
2、复数代数式的乘、除法运算；
3、理解并掌握复数的除法运算的实质是分母实数化问题。
【思维导图】
【知识梳理】
1.复数代数形式的加法运算及其几何意义
（1）加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数加法满足的运算律: 对任意，有
交换律： 结合律：
（3）复数加法的几何意义
如图1，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：，
即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.
图1 图2
2.复数代数形式的减法运算及其几何意义
（1）减法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的差：
显然：两个复数的差仍然是一个确定的复数
（2）复数减法的几何意义
复数 向量
（3）()的几何意义
在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.
3.复数代数形式的乘法运算
（1）复数的乘法法则：我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ，
即
（2）复数乘法满足的运算律
(交换律) (结合律) (分配律)
4.复数代数形式的乘方
（1）复数的乘方：复数的乘方就是相同复数的乘积
（2）复数乘方的运算律 根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有：
① ② ③
5. 共轭复数的性质
设，（）
① ②为实数 ③且为纯虚数
④ ⑤，，
6.复数代数形式的除法运算
（1）定义：规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或
（2）复数的除法法则
（）由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
7.求复数标准代数式形式的两种方法
1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；
2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部。
【高频考点】
高频考点1. 复数的加减法运算
【方法点拨】两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).
【例1】（2022春·广西桂林·高一统考期末）（ ）
A． B． C． D．
2、（2022秋·河南鹤壁·高一校考开学考试）设，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东高一课时练习）若，则=（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·云南保山·高二统考期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5.（2022·重庆高一课时练习）已知为虚数单位，计算下列各式．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
高频考点2 . 复数加减法几何意义的运用
【方法点拨】(1)向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.
(2)利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.
1.（2022·高一）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量：
（1）； （2）．
2、（2022·浙江高一课时练习）已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数.
3、（2022春·上海宝山·高一校考期中）已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为______．
4．（2022春·北京西城·高一北京市第十三中学校考阶段练习）在复平面内，为原点，四边形是复平面内的平行四边形，且，，三点对应的复数分别为，，，若，则=（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·高一课前预习）在复平面内，分别对应复数，以AB,AC为邻边作一个平行四边形，求点对应的复数及的长.
高频考点3 . 复数的乘除法运算
【方法点拨】(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成-1，并将实部、虚部分别合并.(2)复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.
1.（2022春·贵州六盘水·高一统考期末）已知复数z满足（i是虚数单位），则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知，则=（ ）
A．3 B． C． D．2
4．（2023·高一课时练习）计算．(1)；(2)．
5.（2022·高一课时练习）计算：
（1）；（2）；（3）．
高频考点4. 复数的乘方运算
【方法点拨】根据虚数单位i的幂运算的周期性，进行求解即可.
1.（2022春·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）（ ）
A． B．1 C． D．
2.（2022秋·宁夏银川·高一校考期末）复数（ ）
A． B． C． D．
3.（2022春·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期中）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）复数满足，则复数（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·高一课时练习）计算：______．
高频考点5 . 复数范围内因式分解与解方程
【方法点拨】实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a+bi(a,b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a-bi是该方程的另一根，据此进行求解即可.
1.（2022春·福建福州·高一统考期中）多项式在复数集中因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022春·河南信阳·高一校考阶段练习）已知方程有实根，且，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·高一课时练习）关于的一元二次方程至少有一个实根，则实数的值是______．
4、（2022春·广西南宁·高一校联考期末）已知复数，是关于x的方程的两个根，则（ ）
A．9 B．81 C． D．82
5．（2022春·广东广州·高一校考阶段练习）已知方程有两个虚根，则的取值范围是________
高频考点6. 复数四则运算含参问题
【方法点拨】根据运算法则计算即可。
1．（2022·全国·高三专题练习）已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3．（2022春·福建福州·高一校考期末）已知复数，，其中是正实数．
(1)若，求实数的值；(2)若是纯虚数，求的值．
4．（2022春·福建三明·高一校考期中）已知复数．
(1)若，求的值；(2)求的最小值，
高频考点7 . 与复数的模的几何意义有关的应用
【方法点拨】
1．（2022·高一课时练习）非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（ ）
A．、、三点共线 B．是直角三角形 C．是等边三角形 D．以上都不对
2．（多选）（2022春·辽宁大连·高一统考期末）设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·高一课时练习）根据复数加法的几何意义，证明：．
高频考点8. 复数四则运算的创新应用
【方法点拨】先根据复数的四则运算法则进行化简复数，再结合复数的有关概念，进行求解即可.
1．（2023·全国·高三专题练习）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则向量的模为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·高一课时练习）现新定义两个复数（、）和（、）之间的一个新运算，其运算法则为：.
（1）请证明新运算对于复数的加法满足分配律，即求证：；
（2）设运算为运算的逆运算，请推导运算的运算法则.
3．（2023·高一课时练习）已知复数，，其中i是虚数单位，．
(1)若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求m，n的值；(2)求的值域．
4．（2023·高一课时练习）已知关于的实系数一元二次方程．
（1）若一根为，求，的值；（2）若存在模为1的虚数根，求，满足的条件；
（3）设，是虚数根，记，， 在复平面上对应点分别为，B，，求的值．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·黑龙江·校考模拟预测）当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022·福建福州·模拟预测）在复平面内，复数对应的点在第二象限，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽合肥·校考二模）复数满足：，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·内蒙古包头·统考一模）设，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2022·新疆·统考一模）若复数z的共轭复数是，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7.（2022春·北京西城·高一校考阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
8．（2023·全国·高三专题练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：甲：； 乙：； 丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9、（2022·黑龙江高一课时练习）若，则z可能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·山东高一课时练习）若，则可能为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·辽宁营口·高一校考阶段练习）已知与是共轭复数，以下4个命题一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．若，则存在实数，使得 D．若，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海普陀·校考模拟预测）已知复数为虚数单位，则_________.
14．（2022·天津·统考高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．
15．（2022春·上海闵行·高三校考阶段练习）若实系数方程的一个根是，则_____．
16．（2023·上海·高三专题练习）在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（2021·高一课时练习）已知，，为实数，若，求
18、（2022·高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：（1）向量对应的复数；（2）向量对应的复数；（3）向量对应的复数．
19．（2022·高一课前预习）已知平行四边形中，与对应的复数分别是与，两对角线与相交于点.
（1）求对应的复数；（2）求对应的复数；（3）求的面积.
20．（2023·高一课时练习）计算．
(1)；(2)；(3).
21．（2023·全国·高三对口高考）设虚数、满足.
（1）若、是一个实系数方程的两根，求、；
（2）若，，复数，求的取值范围.
22．（2023·高一单元测试）设复数，满足．
（1）若，满足，求，；
（2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求的值；
（3）若，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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