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§第7章 万有引力与宇宙航行
章末小结
第七章 万有引力与宇宙航行
课前练. (2020·海南·高考真题)2020年5月5日，长征五号B运载火箭在中国文昌航天发射场成功首飞，将新一代载人飞船试验船送入太空，若试验船绕地球做匀速圆周运动，周期为T，离地高度为h，已知地球半径为R，万有引力常量为G，则（ ）
A．试验船的运行速度为
B．地球的第一宇宙速度为
C．地球的质量为
D．地球表面的重力加速度为
B
一、九组概念
§第7章 万有引力与宇宙航行
章末小结
二、两条思路
三、四大模型
一、九组概念
1. 重力与万有引力
2. 中心天体与环绕天体
5. 发射速度与运行(环绕)速度
3. 球半径R、轨道半径r、高度h
4. 公转周期与自转周期
8. 同步卫星与静止卫星
9. 航空与航天
6. 稳定运行与变轨过程
7. 向心加速度与重力加速度
（2014·全国·高考真题）假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常数为G，则地球的密度为（　　）
A． B．
C． D．
B
(1)、从分解看
(2)、从合成看
(二).考虑地球自转时：地面物体
重力不一定等于万有引力
概念辨析:1. 重力与万有引力
(一).不考虑地球自转时：
重力等于万有引力
1. 地球表面
2. 距地面h
(1). 赤道:
(2). 两极:
重力最小, 方向指向地心．
重力最大, 方向指向地心．
(3). 其它位置:
方向竖直向下，不指向地心．
[例1] (多选)我国成功发射了国内首颗全球二氧化碳监测科学实验卫星(简称“碳卫星”)，用于监测地球大气层中二氧化碳的浓度变化情况．“碳卫星”在半径为R的圆周轨道上运行，每天绕地球运行约14圈．已知地球自转周期为T，引力常量为G.则 ( )
A．可算出地球质量为
B．“碳卫星”的运行速度大于7.9 km/s
C．“碳卫星”的向心加速度小于9.8 m/s2
D．“碳卫星”和地球同步卫星的周期之比约为1∶14
CD
系统集成 第88页
[针对训练1] (多选)图中的甲是地球赤道上的一个物体，乙是某宇宙飞船(周期约90 min)，丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动．下列有关说法正确的是( )
A．它们运动的向心加速度大小关系是a乙>a丙>a甲
B．它们运动的线速度大小关系是v乙C．已知甲运动的周期T甲＝24 h，
可计算出地球的密度ρ＝
D．已知乙运动的周期T乙及轨道半径r乙，
可计算出地球的质量M＝
系统集成 第89页
AD
(1)中心天体与环绕天体 ：
用万有引力提供向心力只能求解中心天体质量 ,
不能求环绕天体(行星或卫星)的质量．
(2)球半径R、轨道半径r、高度h ：
1. R 指中心天体的半径
r 指环绕天体(行星或卫星)的轨道半径
h为环绕天体(行星或卫星)离中心天体表面的高度
2. 关系：r＝R＋h
(3)公转周期和自转周期
中心天体M
环绕天体m
环绕天体m 在中心天体M 表面运行时：R = r
概念辨析:2.中心天体与环绕天体
[例1] (多选)我国成功发射了国内首颗全球二氧化碳监测科学实验卫星(简称“碳卫星”)，用于监测地球大气层中二氧化碳的浓度变化情况．“碳卫星”在半径为R的圆周轨道上运行，每天绕地球运行约14圈．已知地球自转周期为T，引力常量为G.则 ( )
A．可算出地球质量为
B．“碳卫星”的运行速度大于7.9 km/s
C．“碳卫星”的向心加速度小于9.8 m/s2
D．“碳卫星”和地球同步卫星的周期之比约为1∶14
CD
系统集成 第88页
(一)发射速度:发射速度是指卫星
在地面附近离开发射火箭的初速度
(二) 运行(环绕)速度:
卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度
概念辨析:3. 发射速度与运行(环绕)速度
2. 第一宇宙速度 v1=7.9km/s
(1). 万有引力提供向心力
(2). 重力等于万有引力, 提供向心力
1. 第三宇宙速度 v3= 16.7 km/s
第二宇宙速度 v2 = 11.2 km/s
(3). 特点：最小发射速度、最大运行(环绕)速度
mg = , vⅠ =
G = , vⅠ =
(1).环绕模型: 万有引力提供向心力
G =man=
(3).特点：越高越慢
(2). an = , v = , ω = , T =2
概念辨析:4. 向心加速度与重力加速度
[针对训练2] (多选)我国发射的“嫦娥一号”探月卫星简化后的路线示意图如图所示，卫星由地面发射后经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调整后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测．已知地球与月球的质量之比为a∶1，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b∶1，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则卫星( )
A．在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为∶
B．在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为∶
C．在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度
D．从停泊轨道进入地月转移轨道，卫星必须加速
ABD
系统集成 第90页
1．如果你站在月球上，能否用一把刻度尺和一块秒表估测月球的质量？如果能，请设计实验，并说出需要测量的数据和月球质量的计算式。已知月球的半径为R。
教材 第71页
能，下落的高度和所需时间
6．在月球上的宇航员，如果他已知引力常量和月球半径，且手头有一个已知质量为m的砝码。
(1)他怎样才能测出月球的质量，写出月球质量的表达式。
(2)他需要选用哪些实验器材。
(1) (2) 弹簧测力计
[例3] 若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处，以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比x行∶x地＝2∶.已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R.由此可知，该行星的半径约为( )
C
系统集成 第90页
[针对训练3] 火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，地球表面上有一质量m＝50 kg的宇航员．
(1)宇航员在火星表面上受到的重力是多少？
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？(不考虑宇航员的身高，在地球表面的重力加速度g取10 m/s2)
(1) N　(2)3.375 m
系统集成 第90页
两
条
基
本
思
路
1. 表面模型: 万有引力等于重力
2. 环绕模型: 万有引力提供向心力
M =
ρ =
mg = G
M =
黄金代换：GM = gR2
ρ =
G =Fn=man=
二、两条思路
（2012·福建·高考真题）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为( )
A． B． C． D．
B
三、四大模型
(一). 双星系统
(二). 三体比较: 同步卫星、近地卫星、赤道上物体
(三). 变轨问题
(四). 追及问题
5．(多选)(2018·全国·高考真题)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据和引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积　 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
系统集成 第73页
BC
(3). r1＋r2＝L
(2). ω1＝ω2 , T1＝T2
1.双星特点
2.双星规律
(1)运动半径与质量成反比: m1r1＝m2r2
(1).万有引力提供向心力
＝m1ω2r1＝m2ω2r2
(2)质量之和：m1＋m2＝
(一). 双星系统
(3). r1＋r2＝L
(1). Fn＝
(2). ω1＝ω2 , T1＝T2
1.双星特点
已知两双星质量m1、m2 , 距离为L , (引力常量为G)
求: (1).双星的轨道半径r1，r2之比
(2).双星的轨道半径r1，r2大小
(3).双星的角速度
2.双星规律
(3). ω =
(1). =
(2). r1 = , r2 =
（2013·山东·高考真题）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（ ）
A． B． C． D．
B
[针对训练1] (多选)图中的甲是地球赤道上的一个物体，乙是某宇宙飞船(周期约90 min)，丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动．下列有关说法正确的是( )
A．它们运动的向心加速度大小关系是a乙>a丙>a甲
B．它们运动的线速度大小关系是v乙C．已知甲运动的周期T甲＝24 h，
可计算出地球的密度ρ＝
D．已知乙运动的周期T乙及轨道半径r乙，
可计算出地球的质量M＝
AD
系统集成 第89页
(二). 三体比较: 同步卫星、近地卫星、赤道上物体
[针对训练2] 地球赤道上有一物体随地球的自转做圆周运动，向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3.地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则( )
A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2
系统集成 第81页
D
4．国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星“东方红1号”，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的“东方红2号”卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上．设“东方红1号”在远地点的加速度为a1，“东方红2号”的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
A．a2>a1>a3 B．a3>a2>a1
C．a3>a1>a2 D．a1>a2>a3
系统集成 第82页
D
[例2] “嫦娥三号”的飞行轨道示意图如图所示．假设“嫦娥三号”在环月段圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力．则( )
A．“嫦娥三号”由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速
B．“嫦娥三号”在环月段椭圆轨道上
P点的速度大于Q点的速度
C．“嫦娥三号”在环月段椭圆轨道上
Q点的速度大于环月段圆轨道上的速度
D．若已知“嫦娥三号”环月段圆轨道的
半径、运动周期和引力常量，则可算出月球的密度
C
系统集成 第89页
4. 比较：
1. 切点A点
(1). Ⅰ→Ⅱ 匀速圆周→离心运动:加速 vⅡA > vⅠ
(2). G =man ： aⅡA = aⅠ
3. 切点B点
(1). Ⅰ→Ⅱ 匀速圆周→离心运动:加速 vⅢ > vⅡB
(2). G =man ： aⅢ = aⅡB
2. 从A点→B点
速度变小, 加速度变小
(1). vⅡA > vⅠ > vⅢ > vⅡB
(2). aⅡA = aⅠ > aⅢ = aⅡB
(3). TⅠ (三). 变轨问题
[针对训练3] (多选)2019年9月12日，我国在太原卫星发射中心成功发射“一箭三星”. 现假设a、b、c三颗卫星均在赤道平面上绕地球做匀速圆周运动，其中a、b的转动方向与地球自转方向相同，c的转动方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗卫星的周期分别为Ta＝6 h、Tb＝24 h、Tc＝12 h，下列说法正确的是( )
A．a、b每经过6 h相遇一次
B．a、b每经过8 h相遇一次
C．b、c每经过8 h相遇一次
D．b、c每经过6 h相遇一次
BC
(四). 追及问题
1．思路 (1)先判断谁转的快
(2)同向时：两次相距最近：=k (k=1,2,3 ) 或 ω1t-ω2t= 2πk (k=1,2,3 )
两次相距最远：= (k=1,3,5 ) 或 ω1t-ω2t= πk (k=1,3,5 )
(3)反向时：两次相距最近：=k (k=1,2,3 ) 或 ω1t+ω2t= 2πk (k=1,2,3 )
两次相距最远：= (k=1,3,5 ) 或 ω1t+ω2t= πk (k=1,3,5 )
2．在分析卫星与地球上的物体的相遇与追及问题时，
要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断．
(四). 追及问题
[例3] 设地球自转的角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某人造卫星在赤道上空做匀速圆周运动，轨道半径为r，且r<5R，飞行方向与地球的自转方向相同，在某时刻，该人造卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下一次通过该建筑物正上方所需要的时间为(地球同步卫星轨道半径约为6.6R)( )
D
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
6．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。根据题中信息，试计算木星相邻两次冲日的时间间隔，哪颗地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短？( ≈2.3 )
教材 第72页
1.1年；海王星
（2011·重庆·高考真题）某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示。该行星与地球的公转半径比为（ ）
A． B．
C． D．
B
一、九组概念
课堂小结
二、两条思路
三、四大模型
1. 重力与万有引力
2. 中心天体与环绕天体
5. 发射速度与运行(环绕)速度
3. 球半径R、轨道半径r、高度h
4. 公转周期与自转周期
8. 同步卫星与静止卫星
9. 航空与航天
6. 稳定运行与变轨过程
7. 向心加速度与重力加速度
1. 表面模型: 万有引力等于重力
2. 环绕模型: 万有引力提供向心力
mg = G
G =Fn=man=
(一). 双星系统
(二). 三体比较: 同步卫星、近地卫星、赤道上物体
(三). 卫星变轨
(四). 追及问题
4. 利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（ ）
A．1h B．4h
C．8h D．16h
B
教材 第71页

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