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7.3 复数的三角表示
【学习要求】
1、用三角形式进行复数乘、除运算；
2、复数乘、除运算的几何意义的运用。
【思维导图】
【知识梳理】
1.复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
（1）复数的三角形式
一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的角.
叫做复数的三角表示式，简称三角形式.
为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
注意：复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连”
（2）复数的辐角
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.
复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.
我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值. 通常记作，即.
2.复数代数形式和三角形式的互化
复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.
复数的代数形式化三角形式的步骤:①先求复数的模；②决定辐角所在的象限；③根据象限求出辐角(常取它的主值)；④写出复数的三角形式．
3.三角形式下复数的相等 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
4.复数三角形式的乘法
设，的三角形式分别是：，，则
简记为 ：模数相乘，幅角相加
5.复数乘法的几何意义
两个复数相乘时，可以像下图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这就是复数乘法的几何意义.
6.复数三角形式的除法及其几何意义
（1）复数三角形式的除法 设，，且，
因为，
所以根据复数除法的定义，有.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
简记为 ：模数相除，幅角相减
（2）复数除法的几何意义
几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．
7.复数的乘方及其几何意义
利用复数的乘法得到.这说明复数的次方等于它模的次方，幅角的倍.
的几何意义是将向量的模变为原来的次方,然后再将它绕原点逆时针旋转角,就得到对应的向量.
【高频考点】
高频考点1. 求复数的辅角主值
【方法点拨】求辅角主值时，要考虑角的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式，再进行求解.
1.（2022·高一课时练习）复数的辐角主值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】复数，
所以复数的辐角主值是．故选：D
2.（2023·高一课时练习）的辐角主值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，若辐角主值为，则，不可能为，故A错误；
对于B，若辐角主值为，则，不可能为，故B错误；
对于C，若辐角主值为，则，当时，，故C正确；
对于D，由于辐角主值的范围为，不可能为，故D错误.故选：C.
3、（2022·高一课时练习）复数的三角形式的辐角主值为___________.
【答案】
【解析】由辐角主值的概念知，的辐角主值为.
故答案为：.
4、（2022·高一课时练习）复数的辐角主值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
因此，复数的辐角主值为.故选：D.
5.（2022·全国·高一专题练习）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
复数对应的点是，位于第三象限，且，所以.故选：B
6．（2022·全国·高一专题练习）求复数的模与辐角．
【答案】答案见解析
【详解】，，
故．
由此可知，这个复数的模为2，辐角为．
高频考点2 . 复数的代数式与三角式互化
【方法点拨】复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角的主值；③写出三角形式.将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.
1.（2022春·广东珠海·高一校考期中）复数的三角形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C.
2．（2022春·广东珠海·高一珠海市第二中学校考期中）复数的三角形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：
故选：C.
3．（2022·吉林·模拟预测）若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】复数的模为1，辐角为，
所以复数的三角形式为.故选：A
4．（2022·高一课时练习）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（ ）
A． B． C．－i D．＋i
【答案】D
【详解】
故选:D.
5、（2022·高一课前预习）将复数z＝化为代数形式为________．
【答案】1－i
【解析】z＝．
故答案为：1－i
6．（2022·高一课时练习）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)，图见详解 (2)，图见详解
(3)，图见详解 (4)，图见详解
【详解】（1）设复数的模为，辐角主值为．6对应的向量如下图中，
∵，，，又，∴，∴．
（2）设复数的模为，辐角主值为．对应的向量如下图中，
∵，，，又，∴，∴．
（3）设复数的模为，辐角主值为．对应的向量如下图中，
∵，，，
又，∴，∴．
（4）设复数的模为，辐角主值为．对应的向量如下图中，
∵，，，
又，∴，∴．
高频考点3 . 三角形式下复数的乘、除运算
【方法点拨】复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加；
复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角n倍；
复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减.
1.（2022·全国·高一专题练习）复数的三角形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.
故选：D.
2.（2023·高一课时练习）计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为
所以，
所以，故选：B.
3．（2022·高一课时练习）÷()=_____.
【答案】
【详解】解：原式
，
故答案为：
4.（2022·高一课时练习）计算________．
【答案】
【解析】
故答案为：.
5、（2023·高一课时练习）设，则______．
【答案】
【解析】因为，
所以，.
2．（2022·高一课时练习）计算________．
【答案】
【详解】
故答案为：.
高频考点4. 复数乘、除运算的几何意义
【方法点拨】根据复数乘、除运算的几何意义，进行求解即可.
1.（2022·高一课时练习）把复数3－i对应向量按顺时针方向旋转π，所得向量对应复数为（ ）
A．2 B．－2i C．－3－i D．3－i
【答案】C
【解析】因为，其对应向量绕原点O按顺时针方向旋转后，
所得向量对应的复数为：.故选：C．
2.（2022·高一课时练习）如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．
【答案】
【解析】∵A，B所表示的复数分别是和2，所表示的复数为，
把逆时针旋转60°得到，对应的复数为，
+，即点C对应的复数是．故答案为：
3.（2022·高一课时练习）把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（ ）
A．， B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，
则，，
可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.故选：B
4、（2022·高一课时预习）将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（ ）
A．＋i B．－＋I C．－－i D．－i
【答案】A
【解析】由，顺时针旋转，则对应辐角为，
所以对应的复数是.故选：A
5、（2023·高一课时练习）在复平面内，把与复数a+bi(a，b∈R)对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为（ ）
A．a-bi B．-a+bi C．b-ai D．-b+ai
【答案】C
【解析】由题得所求复数为=(a+bi)i=bai.故选：C.
6．（2022·高一课时练习）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，得当时，，，
∴．
∵，
∴，故选：D
7.（2022春·高一课时练习）对应复数－1＋i，将按逆时针方向旋转120°后得到，求对应复数z．
【答案】
【解析】对应复数－1＋i的三角形式为，由复数三角形式法则旋转后可得对应复数z为.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2023·高一课时练习）以下不满足复数的三角形式的是（ ）．
A．； B．；C．； D．．
【答案】C
【解析】对于A，符合；对于B，符合；
对于C：，不符合；对于D：符合选：C.
2、（2022·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】复数的三角表示为：，其中，B选项满足.故选：B.
3．（2022·高一课时练习）已知的三角形式为，则的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题知，的三角形式是，
结合诱导公式知，，选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）设(其中为虚数单位)，则的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为
所以
所以的共轭复数是，故选：C
5．（2022·高一课时练习）若复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，
．故选：C．
6.（2022·高一课时练习）设，则复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
因为，所以，所以，
所以该复数的辐角主值为．故选：B.
7．（2022·江苏南通·校联考模拟预测）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】解：由己知，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．
8.（2023·高一课时练习）计算：（ ）．
A． B． C． D．．
【答案】D
【解析】设，
所以
.故选：D
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022·湖北·校考模拟预测）已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】因为单位向量分别对应复数，设复数，，
因为，所以，即，
所以，故选：AD.
10．（2022·江苏南京·统考模拟预测）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A． B．当，时，
C．当，时， D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数
【答案】AC
【详解】对于A选项，，则，可得，，A选项正确；
对于B选项，当，时，，B选项错误；对于C选项，当，时，，则，C选项正确；
对于D选项，，
取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.故选：AC
11．（2022·高一课时练习）棣莫佛（，1667~1754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Pope，1688~1744）在《人类小品》中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（ ）
A． B．
C． D．存在8个不同的复数，使
【答案】AD
【详解】解：根据题意，在，
令可得.
对于A，设，则有，
变形可得，
则，A正确；
对于B，设，则有，变形可得，
则，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，设，若，即，则有，，则，在区间上，有8个解，即存在8个不同的复数，使，D正确；故选：AD.
12．（2022·广东广州·高二统考期末）在复平面内，复数z＝a＋bi对应向量为（O为坐标原点，）．设，射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则．数学家棣莫弗发现：设，则，我们称这个结论为英弗定理，并由此定理推出了复数乘方公式：，根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．当r＝1，时， B．当r＝1，时，
C． D．当r＝1，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
【答案】BC
【详解】解：对于A，当，时，，故选项A错误；对于B，当，时，，所以，故选项B正确；
对于C，，则，所以，
又，所以，故选项C正确；
对于D，当，时，，
取时，则为偶数，此时不是纯虚数，故选项D错误．故选：BC．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·高一课时练习）已知复数，若复数满足，则复数的辐角主值为_____.
【答案】
【详解】解：因为，，所以，
所以复数z的辐角主值为.故答案为：.
14、（2022春·上海长宁·高一校考期末）若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】因为，所以设，
故
，其中，
因为，所以.
15．（2022·高一课时练习）设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．
【答案】
【详解】由，得，由，得，
因，所以，即，且，
又因，所以，即，且,
因此.故答案为：.
16．（2022·全国·高三专题练习）著名数学家棣莫佛（De moivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式，则______；若，则 ______.
【答案】 2
【详解】（1）；
（2）.故答案为：；2
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·高一课时练习）把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.
【答案】,
【详解】由复数乘法的几何意义得,
又
的辐角主值为
18、（2022·高一课时练习）把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.
【答案】,
【解析】由复数乘法的几何意义得,
又
的辐角主值为
19．（2022·全国·高三专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．（1）4；（2）2
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【详解】（1）复数4模r＝4，辐角的主值为θ＝.
.
（2），
复数的模为2，辐角的主值为θ＝，
.
20、（2022·高一课时练习）计算：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）.
（2）
.
21．（2023·上海·高三专题练习）关于x的不等式的解集为．
求实数a，b的值；若，，且为纯虚数，求的值．
【答案】（1），（2）
【详解】解：(1)不等式即的解集为．
,b是方程的两个实数根,由，，解得,．
(2)由(1)知,为纯虚数，
,,解得.
22．（2022·高一课时练习）已知.
(1)当为何值时，取得最大值，并求此最大值；(2)若，求(用表示).
【答案】(1)当时， 取最大值为2 ，(2).
(1)由复数模的定义可得：
，
显然当 时最大，即 ， 最大值为 ；
(2)设 ， ，
实部为 ，虚部为，
，∴当 即 时， ，
此时复数z对应的点在第四象限， ， ，
当 即，，
此时复数z对应的点在第一象限（或x轴的非负半轴上），
，∴ ，∴ ；
综上，当时， 最大，最大值为，.
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7.3 复数的三角表示
【学习要求】
1、用三角形式进行复数乘、除运算；
2、复数乘、除运算的几何意义的运用。
【思维导图】
【知识梳理】
1.复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
（1）复数的三角形式
一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的角.
叫做复数的三角表示式，简称三角形式.
为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
注意：复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连”
（2）复数的辐角
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.
复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.
我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值. 通常记作，即.
2.复数代数形式和三角形式的互化
复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.
复数的代数形式化三角形式的步骤:①先求复数的模；②决定辐角所在的象限；③根据象限求出辐角(常取它的主值)；④写出复数的三角形式．
3.三角形式下复数的相等 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
4.复数三角形式的乘法
设，的三角形式分别是：，，则
简记为 ：模数相乘，幅角相加
5.复数乘法的几何意义
两个复数相乘时，可以像下图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这就是复数乘法的几何意义.
6.复数三角形式的除法及其几何意义
（1）复数三角形式的除法 设，，且，
因为，
所以根据复数除法的定义，有.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
简记为 ：模数相除，幅角相减
（2）复数除法的几何意义
几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．
7.复数的乘方及其几何意义
利用复数的乘法得到.这说明复数的次方等于它模的次方，幅角的倍.
的几何意义是将向量的模变为原来的次方,然后再将它绕原点逆时针旋转角,就得到对应的向量.
【高频考点】
高频考点1. 求复数的辅角主值
【方法点拨】求辅角主值时，要考虑角的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式，再进行求解.
1.（2022·高一课时练习）复数的辐角主值是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·高一课时练习）的辐角主值为（ ）．
A． B． C． D．
3、（2022·高一课时练习）复数的三角形式的辐角主值为___________.
4、（2022·高一课时练习）复数的辐角主值是（ ）
A． B． C． D．
5.（2022·全国·高一专题练习）设，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高一专题练习）求复数的模与辐角．
高频考点2 . 复数的代数式与三角式互化
【方法点拨】复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角的主值；③写出三角形式.将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.
1.（2022春·广东珠海·高一校考期中）复数的三角形式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·广东珠海·高一珠海市第二中学校考期中）复数的三角形式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·吉林·模拟预测）若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·高一课时练习）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（ ）
A． B． C．－i D．＋i
5、（2022·高一课前预习）将复数z＝化为代数形式为________．
6．（2022·高一课时练习）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6；(2)；(3)；(4)．
高频考点3 . 三角形式下复数的乘、除运算
【方法点拨】复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加；
复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角n倍；
复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减.
1.（2022·全国·高一专题练习）复数的三角形式是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·高一课时练习）计算的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·高一课时练习）÷()=_____.
4.（2022·高一课时练习）计算________．
5、（2023·高一课时练习）设，则______．
6．（2022·高一课时练习）计算________．
高频考点4. 复数乘、除运算的几何意义
【方法点拨】根据复数乘、除运算的几何意义，进行求解即可.
1.（2022·高一课时练习）把复数3－i对应向量按顺时针方向旋转π，所得向量对应复数为（ ）
A．2 B．－2i C．－3－i D．3－i
2.（2022·高一课时练习）如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．
3.（2022·高一课时练习）把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（ ）
A．， B． C． D．
4、（2022·高一课时预习）将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（ ）
A．＋i B．－＋I C．－－i D．－i
5、（2023·高一课时练习）在复平面内，把与复数a+bi(a，b∈R)对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为（ ）
A．a-bi B．-a+bi C．b-ai D．-b+ai
6．（2022·高一课时练习）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A． B． C． D．
7.（2022春·高一课时练习）对应复数－1＋i，将按逆时针方向旋转120°后得到，求对应复数z．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2023·高一课时练习）以下不满足复数的三角形式的是（ ）．
A．； B．；C．； D．．
2、（2022·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）.
A． B． C． D．
3．（2022·高一课时练习）已知的三角形式为，则的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）设(其中为虚数单位)，则的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·高一课时练习）若复数，则（ ）
A． B． C． D．
6.（2022·高一课时练习）设，则复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏南通·校联考模拟预测）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8.（2023·高一课时练习）计算：（ ）．
A． B． C． D．．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022·湖北·校考模拟预测）已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·江苏南京·统考模拟预测）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A． B．当，时，
C．当，时， D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数
11．（2022·高一课时练习）棣莫佛（，1667~1754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Pope，1688~1744）在《人类小品》中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（ ）
A． B．
C． D．存在8个不同的复数，使
12．（2022·广东广州·高二统考期末）在复平面内，复数z＝a＋bi对应向量为（O为坐标原点，）．设，射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则．数学家棣莫弗发现：设，则，我们称这个结论为英弗定理，并由此定理推出了复数乘方公式：，根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．当r＝1，时， B．当r＝1，时，
C． D．当r＝1，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·高一课时练习）已知复数，若复数满足，则复数的辐角主值为_____.
14、（2022春·上海长宁·高一校考期末）若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____．
15．（2022·高一课时练习）设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．
16．（2022·全国·高三专题练习）著名数学家棣莫佛（De moivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式，则______；若，则 ______.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·高一课时练习）把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.
18、（2022·高一课时练习）把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.
19．（2022·全国·高三专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．（1）4；（2）2
20、（2022·高一课时练习）计算：
（1）；（2）．
21．（2023·上海·高三专题练习）关于x的不等式的解集为．
求实数a，b的值；若，，且为纯虚数，求的值．
22．（2022·高一课时练习）已知.
(1)当为何值时，取得最大值，并求此最大值；(2)若，求(用表示).
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