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2023届高三质量检测（一）
数学答案
一、单选题：
1-4 BCAB 5-8ADCC
二、多选题：
9. BC 10. ACD 11. BC 12.AB
三、填空题:
3
13. e 27 14. -540
16. 7
2 4
15. ;
2 3
四、解答题
a + b sinC + sinB
17.解：（Ⅰ） 由正弦定理得
c - b sinA
a + b b c
…………………………….2 分
c - b a
a2 + b2 - c2 化简得 = -ab
1
cosC = - …………………………….4 分
2
2
C 0, C ……………………………5 分
3
（Ⅱ） 3 1 a + 2b = 6c
由正弦定理得 3 1 sinA + 2sinB = 6sinC
π 3 23 1 sinA 2sin - A
3 2
π 3
sin A +
4 2 ……………………………7 分
7
0 A A
3 4 4 12
试卷第 1 页，共 7 页

A 即A
4 3 3 4 ，…………………………9 分
6 2
sinA sin …………………………10 分
3 4 4
18 解析：（Ⅰ） x 3, y 0.5 ,………………………………..2 分
5 5
(x x) (y y) 2.2 , (xi x)
2 10
i i ,
i 1 i 1
5
(x x) (y y)
i i
b i 1 0.22
5 ,…………………………………….4 分
(xi x)
2
i 1

a y b x 1.16 ,

y 0.22x 1.16…………………………………………….6 分
（Ⅱ） 1

把 x lgu 7代入 y 0.22x 1.16得：
2

y 0.11lgu 0.38…………………………………………..8 分

令 y 0.11lgu 0.38 0.4 ，……………………………………10 分
78

解得u 10 11
78

A浓度至少要达到10 11 mol/L. ………………………………12 分
19. （Ⅰ）证明：
SA SB AB,O为AB的中点， SO AB. .
平面ABCD 平面SAB, SO 平面SAB,
平面ABCD 平面SAB AB
SO 平面ABCD,则SO BD.
………………………………………………2 分
CB BA
2 ， CBO= BAD 90 ，
BO AD
CBO～ BAD，故 BCO= ABD ,
ABD+ COB= BCO+ COB=90 ，
试卷第 2 页，共 7 页
BD CO；………………………………………………4 分
CO SO O, BD 平面SOC
……………………………………………5 分
（Ⅱ）如图，在底面 ABCD 中，过 O 点作 OM 垂直 AB 交棱 CD 于 M 点，以 O 为坐标原点，
射线 OS，OA,OM 为 x, y，z 轴的非负半轴，建立空间直角坐标系O xyz .
由已知得, O(0，0，0)，A（0，1，0），B（0， 1，0） C（0， 1，2）D（0，1，2），S（ 3，0，0）
SE
假设存在点E，设 ,则E（ 3 3 ， ，2 ）
SD
…………………………………………6 分
AE ( 3 3 , 1, 2 ), AB DC (0, 2,0), DS ( 3, 1, 2)
设n (x, y, z)为平面SCD的法向量.
n DC 0, 2y 0，
则 即 令x 2，可得n （ 2，0，3）.
n DS 0, 3x y 2z 0，
……………………………………8 分
设m (x, y, z)为平面ABE的法向量.
m AB 0, 2y 0，
则 即
m AE 0, ( 3 3 )x ( 1)y 2 z 0，
令x 2 ,可得m ( 2 ,0, 3 3)
…………………………………10 分
m n 2 3 3 1
因此有 cos m n ,
m n 5 5 2 6 3 5
1 7 SE 1 SE 7
解得 ， ， 或
2 10 SD 2 SD 10
………………………………12 分
20.解：（Ⅰ）方法一：
由 3a2+2a3=S5 6得 d 2， Sn=-n
2 a1 1 n ，………………2 分
若数列 Sn 为单调递减，则满足 Sn 1-Sn 0 n 1 恒成立，
即 a1 2n 0 n 1 ，得 a1 2n n 1 恒成立.………………4 分
解得： a1 2 .………………5 分
方法二：
试卷第 3 页，共 7 页
由 23a +2a =S 6得 d 2， Sn=-n a1 12 3 5 n ，………………2 分
a 1 3
若数列 Sn 为单调递减，则需满足
1 ………………4 分
2 2
解得： a1 2 . ………………5 分
（Ⅱ）根据题意数列 bn 为：
1, 20 , -1, 20 , 21 , -3, 20 , 21 , 22 , 5 -2n 3, 20 , 21 , 2n 1, -2n 1 可将数列分组：
第一组为：1， 20 ；
第二组为： 1， 20 ， 21；
第三组为： 3， 20 ， 21， 22 ；
第 k 组为： 2k 3， 20 ， 21， 22 2k 1；………………7 分
k 3 k
则前 k 组一共有 2 3 k 1 项，当 k 12时，项数为90 .
2
故T 12 2 395 相当于是前 组的和再加上 -23,1,2,2 ,2 这五项，即
T = 1+ 1 + 21 + 20+ 20+21 + 20+2195 + 211 23+1+2+22+23 …………9 分
0 0 1 0 1 n2 + 2 +2 + 2 +2 + 211 可看成是数列 cn cn=2 1 的前12 项和，…………10 分
1 21 12 2 1 212
T95= 12 23+1+2+4+8=2
13 142=8050 .………………12 分
2 1 2
16 9
21.解：（Ⅰ）由题意可知：点 P(4,3) 在双曲线上，所以 1，……………1 分
a2 b2
b
过 P 做 x 轴的平行线 y 3，与 y x 相交于M , N 两点，那么M , N 两点可求：
a
3a 3a
M ( ,3) ， N ( ,3) ，
b b
3a 3a 9a2 2 16 9
所以 4 4 16 a a2 4，所以a 2，
b b b2 a2 b2
………………………3 分
16 9 x2 y2
代入 1，可知b 3 ，所以双曲线的方程为 1 .
a2 b2 4 3
………………………4 分
（Ⅱ）（选①）由题意可知，直线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，设 A(x 1,y 1), B(x ,2y ) ， 2
联立方程：
x2 y2
1
4 3 ，可得： (3 4k
2)x2 8kmx 4m2 12 0

y kx m
试卷第 4 页，共 7 页
所以3 4k 2 0 2 2， ( 8km)2 4(3 4k2)( 4m2 12) 0即m 3 4k 0 ,
8km 4m2 12
由韦达定理可知： x1 x2 ， x1x2 ,…………………6 分
3 4k 2 3 4k 2
y 3 y 3
由条件 k k 1，即为： 1 2 1， 1 2
x1 4 x2 4
整理可得： (x2 4)(kx1 m 3) (x1 4)(kx2 m 3) (x1 4)(x2 4)
即：2kx1x2 (m 3 4k)(x1 x2) 8(m 3) x1x2 4(x1 x2) 16………………8 分
代入韦达定理得：m2 2km 8k 2 6k 6m 9 0
分解因式可得： (m 2k 3)(m 4k 3) 0
所以m 2k 3或m 4k 3………………10 分
若m 2k 3，直线 y kx m kx 2k 3 k(x 2) 3，则直线 l 过定点 ( 2,3)；
若m 4k 3，则 y kx m kx 4k 3 k(x 4) 3，则直线 l 过点 P，不合题意舍
去.
综上所述，直线 l 过定点 ( 2,3) .………………12 分
（选②）由题意可知，直线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，设 A(x ， 1, y1), B(x2, y2)
联立方程：
x2 y2
1 2
4 3 ，可得： (3 4k )x
2 8kmx 4m2 12 0

y kx m
所以3 4k 2 0， ( 8km)2 4(3 4k2)( 4m2
2 2
12) 0即m 3 4k 0
8km 4m2 12
由韦达定理可知： x1 x2 ， x1x2 …………………6 分
3 4k 2 3 4k 2
y 3 y 3
由条件 k1k 1，即为：
1
2
2 1，
x1 4 x2 4
(kx1 m)(kx2 m) 3 (kx1 m) (kx2 m) 9
整理可得： 1
(x1 4)(x1 4)
k 2x1x2 km(x1 x2 ) m
2 3k(x
即： 1
x2 ) 6m 9 1…………………8 分
x1x2 4(x1 x2 ) 16
试卷第 5 页，共 7 页
2 2
展开代入韦达定理得：7m 32km 16k 18m 9 0
分解因式可得： (7m 4k 3)(m 4k 3) 0
4k 3
所以m 或m 4k 3…………………10 分
7
4k 3 4k 3 4 3 4 3
若m ，直线 y kx m kx k(x ) ，则直线 l 过定点 ( , ) ；
7 7 7 7 7 7
若m 4k 3，则 y kx m kx 4k 3 k(x 4) 3，则直线 l 过点 P，不合题意舍
去.
4 3
综上所述，直线 l 过定点 ( , ) .…………………12 分
7 7
22.解：（Ⅰ）证明：令 f (x) (1 x) 1 x，
当 1时，可知 f (x) 0 ，原不等式成立；…………………1 分
当 1时， f '(x) (1 x) 1 [(1 x) 1 1]，
可知当 x ( 1,0)时， f '(x) 0， f (x) 单调递减；
当 x (0, )， f '(x) 0 ， f (x) 单调递增. …………………3 分
所以 f (x) f (0) 0，所以原不等式得证. …………………4 分
* n n n n n
（Ⅱ）要证对任意n N ，1 2 3 n (n 1) 恒成立，只要证：
n n n n
1 2 3 n
...... 1，即证：
n 1 n 1 n 1 n 1
n n n n
n n 1 n 2 1
1 1 1 ...... 1 1…………………6 分
n 1 n 1 n 1 n 1
i
i 1
由（Ⅰ）可知对于任意正整数 i 1,2,3......n ，1 1 ，所以
n 1 n 1
i
n ni n
i 1 1
1 1 1 ，那么
n 1 n 1 n 1
n n n n
n n 1 n 2 1
1 1 1 ...... 1
n 1 n 1 n 1 n 1
试卷第 6 页，共 7 页
n n n(n 1) n(n 2) n 1
1 1 1 1
1 1 1 ...... 1
n 1 n 1 n 1 n 1
n n 1 n 2 1
n n n n 1 1 1 1
1 1 1 ...... 1 （*）
n 1 n 1 n 1 n 1
…………………8 分
1 n 1
而 (1 ) 成立，
n 1 2
1
1 n 1 1 1 1
证明：要证 (1 ) ，只要证 ( )n ，令 x (0,1] x，即证明：2 1 x成
n 1 2 1 2 n
1
n
立，令 g(x) 2x 1 x ，求导可得： g '(x) 2x ln 2 1，
1 1
当0 x log2 ( )时，g '(x) 0，g(x) 单调递减；当 log2 ( ) x 1时，g '(x) 0 ，
ln 2 ln 2
g(x) 单调递增，又 g(0) 0， g(1) 0，所以当 x (0,1]时， g(x) 0 .
1 1
所以 (1 )
n .…………………10 分
n 1 2
1 n 1 n 1 1 n 2 1 2 1 1 1 n
所以（*） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1
2 2 2 2 2 2
所以命题得证.
…………………12 分
试卷第 7 页，共 7 页石家庄市2023届高中毕业年级教学质量检测（一）
g
数学
.资中人城8.（时间120分钟，满分150分）灌了
注意事项：
:07小-1“的x干
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。婴，‘“射（和
2回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答
案一律无效。不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的
1.已知集合A={x|y=Vx+3},B={x|Ix-2K1},则AUB=()
-
A.（-3,+0)
B.[-3,+)
C.(-3,3)
D.[33》+
2.复数2在复平面内对应的点为(2，，则|三+31=(G8后分8
A,8
B.4
C.22,CkD.V互z.7.中8
3.截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上.被称为中国天眼”的500米口径
~球面射电望远镜(FAST) 是目前世界土口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1】。观测时
它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作抛物线的一部
分某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛
物线（图2）的顶点到焦点的距离为()0宝：，(13n·2比科，1遗关山
:9禁刚帕。乳、，颀姆朗式2（「)
班湖n
(
行，小
“於本）1明
门
1,100<1-
./M干
图1
图2：《【)
A.1.8B.,2,8,5C.4个TgaD8,‘且)
4.已知数列{a,为各项均为正数的等比数列，a,=4,,=84,则1og(a,a2a…a)的值为（含）个，中1}
A.70
B.72
C.74
D.76。t--1
1氵
5.“o≥三”是“圆Cr+y=4与圆C:-a+0+a1有公物线”的(n)
2
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
1D.既不充分也不必要条件：1.：日
高三数学第1页（共4页）
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6.为推进体育教学改革和发展、提升体育教学质量，丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，
在4所学校设立兼职教练岗位，现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去
一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为()
A.96
B.120
C.144
D.240
7.设向量a,b满足引a仁2，b上1，若teR,a+tba+b,则向量a与b的夹角不等于(
)
A.30
B.60°
【-,C.1120°
9:,D.150
8.已知a=号b=n14,c=e2-1,则()
P-
A.aB.aC.cD.c二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的
得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.阳5：宁文出7血答霜，代0r共，酿43共本：翻答聊，四
9.下列说法正确的是()
101满本：
A.一组数据6,7,7,8,10,12,14,16,20,22的第80百分位数为16·n,1Y)6
B.若随机变量5-N(2,d2),且P(>5)=0.22,则P(-1<5<5)=0.56
:)21
C若随机变量5-B(9号)，则方差D(2)-8
,:H
D.若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数x,则平均数和方差都会发生变化·
10.设函数f(x)=cos2x+W3sin2mr(o>0)的最小正周期为π，则()
“
A.0=13,0“
B.函数y=国的图象可由函数)=2m2x的图象向左平移个长度单位得到
A”
C.函数冈的图象关于点(0)中心对称，行
12
D.函数在区同（-晋)上单调递啦
11.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，M,N分别是AB,CC,的中点，则(.·)
A.AC∥MN
￥C“f
C六7角
B.B,D⊥MW
e
55+7
C.平面MND截此正方体所得截面的周长为2
D.三棱锥B,-MND的体积为3
12.设∫(x)是定义域为R的奇函数，且yf(2x+2π)的图象关于直线x=-工对称，若0f(x)=(e-e-)cosx,则(
A.f(x+π)为偶函数
n:n这%g国
C.1f(x）在区间[0,2023π]上有4046个零点
D.氵
f(
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