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专题9.1单项式乘以单项式（知识讲解）
【学习目标】
1. 会进行单项式与单项式的乘法计算；
2. 掌握整式中单项式与单项式中加、减、乘、乘方中的较简单的混合运算；
3. 能计算求单项式乘法运算中求字母的值。
【要点梳理】
单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
特别说明：
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
【典型例题】
类型一、单项式乘以多项式 化简 求值
1．计算
（1） （2）
【答案】(1) (2)
【分析】（1）按照单项式乘以单项式的运算法则计算即可；
（2）先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可．
（1）解：
；
．
【点拨】本题考查的是积的乘方运算，单项式乘以单项式，合并同类项，掌握“单项式乘以单项式的运算法则”是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】计算：．
【答案】
【分析】先算乘法和乘方，再相减即可．
解：原式
．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．
【变式2】计算：．
【答案】
【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式的法则进行计算，最后合并同类项即可．
解：原式
【点拨】本题考查了整式的混合计算，熟练掌握积的乘方法则和单项式乘单项式的法则是解题的关键．
2．计算
（2）
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可；
（2）先计算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】计算：
（1）； （2）．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先计算单项式的乘方，再计算乘法，最后合并同类项即可得；
（2）先计算单项式的乘方，再计算乘法，最后合并同类项即可得．
（1）解：原式=
（2）原式=
【点拨】本题主要考查单项式乘多项式以及单项式的乘方，解题的关键是掌握单项式乘方和单项式乘多项式的运算法则．
【变式2】计算：（1）3a·a3－(2a2)2 ； （2） ；（3）
【答案】（1）（2）（3）
【分析】(1)原式利用同底数幂的乘法,以及幂的乘方与积的乘方运算法则计算,合并即可得到结果;
(2)原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算,再利用单项式乘以单项式法则计算即可得到结果;
(3)原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算,再利用单项式乘以单项式法则计算即可得到结果.
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
【点拨】此题考查单项式乘单项式和幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题关键
类型二、单项式乘以多项式 化简求值 求参数 应用
3．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，-16．
【分析】先化简，再把a=2，b=1代入求解即可．
解：原式．
当，时，原式．
【点拨】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简．
举一反三：
【变式1】先化简，后求值：，已知．
【答案】，
【分析】先计算单项式的乘方、单项式乘单项式，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
解：原式=，
当时，
原式=
【点拨】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2】先化简，再求值（3a4－2a3）÷（－a）－（a－a2） 3a，其中a=－
【答案】-a2 ，-.
【分析】先运用整式四则混合运算法则化简，最后将a=－代入计算即可．
解：（3a4－2a3）÷（－a）－（a－a2） 3a
= -3a3+2a2－3a2+3a3
= -a2；
当a=时，-a2=-（－）2=-．
【点拨】本题考查了整式的化简求值，正确的运用整式四则混合运算法则化简是解答本题的关键．
4．已知单项式与的积与是同类项.求的值.
【答案】
【分析】根据同类项的定义列出方程，求出m，n的值．
解：，
∵与是同类项，
∴，
解得.
【点拨】本题考查了单项式乘法，同类项的定义、方程思想，是一道基础题，比较容易解答．
举一反三：
【变式1】已知和的积与是同类项，求、的值.
【答案】，
【分析】先计算和的积，然后根据积与是同类项，即可求出m、n的值.
解：，
∵与是同类项，则
，
解得：.
【点拨】本题考查了单项式与单项式相乘的运算法则，以及同类项的定义，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简.
【变式2】如果 ，m，n均为正整数，求m，n的值．
【答案】m=3，n=2
【分析】根据单项式的乘法把左边化简，然后根据左右两边相同字母的指数相等列方程组求解即可.
解：
=﹣x2m+n﹣1ym+2n﹣2
=﹣x7y5 ，
即 ，
解得m=3，n=2
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法及单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.
5．小王购买了一套房子，他准备将地面都铺上地砖，地面结构如图所示，请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题：
（1）用含x，y的代数式表示地面总面积；
（2）若x＝5，y＝1，铺地砖每平方米的平均费用为100元，则铺地砖的总费用为多少元？
【答案】（1）地面总面积为6x+2y+18（m2）；（2）铺地砖的总费用为5000元．
【分析】（1）利用长方形面积公式，分块计算各房间结构的面积，再求和；
（2）将x＝5，y＝1，铺地砖每平方米的平均费用为100元，代入（1）中式子计算即可
解：（1）地面总面积为：6x+2×（6﹣3）+2y+3×（2+2）＝6x+6+2y+12＝6x+2y+18（m2）；
（2）当x＝5，y＝1，铺1m2地砖的平均费用为100元，
总费用＝（6×5+2×1+18）×100＝50×100＝5000元答：铺地砖的总费用为5000元．
【点拨】本题考查代数式与图形面积，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式1】（1）探索：如图1，在边长为的正方形纸片的4个角都剪去1个边长是的正方形.试用含的式子表示纸片剩余部分的面积为_______________________；
（2）变式：如图2，在边长为的正方形纸片的4个角都剪去一个相同的扇形，扇形的半径为，用表示纸片剩余部分面积为______________________，剩余部分图形的周长为_____________________；
（3）拓展：世博会中国国家馆模型的平面图如图3所示，其外框是一个大正方形，中间四个全等的小正方形（阴影部分）是支撑展馆的核心筒，标记字母的五个全等的正方形是展厅，展厅的边长为，已知核心筒的边长比展厅的边长的一半多1米，用含有的式子表示外框的边长
【答案】(1) (2) (3)
【分析】(1)剩余部分的面积=大正方形的面积-4个小正方形的面积；
(2)利用分割法、周长的定义求解即可；
(3)利用线段的和差定义计算即可；
解：(1)由题意得：
剩余部分的面积为，
故答案为；
(2) 剩余部分的面积为，剩余部分图形的周长为；
故答案为，;
(3)外框的边长为；
【点拨】本题主要考查对代数式的理解和应用.
【变式2】某公园欲建如图13-2-3所示形状的草坪（阴影部分），求需要铺设草坪多少平方米？若每平方米草坪需120元，则为修建该草坪需投资多少元？（单位：米）
【答案】平方米；2520元
解：根据题意可得：草坪的长为7a米，宽为3a米
则S=7a·3a=21（平方米）
21×120=2520 （

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