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万有引力理论的成就
7.3
新知导入
阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球。”
那么如果给你一个足够长的杠杆或足够大的天平你是否就可以称量地球的质量了呢？
不可以。
对于地球，我们怎样“称量”它的质量呢？
地面数据估算星球质量、密度
已知重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R =6.4×106m，引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，试估算地球的质量。
解：
答：地球的质量约为6×1024kg
由????????=????????????????2得
?
根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力（自转较慢时）
进而算出星球密度：
M=
????=
?
????????????????
?
????????????????????????
?
由????????=????????????????2得
?
用这种方法估算，重点在于如何知道????？
?
????=????????=????43????????3
?
地面的重力加速度 g 和地球半径 R 在卡文迪什之前就已知道，一旦测得引力常量 G，就可以算出地球的质量M 。因此，卡文迪什被称为“第一个称出地球质量的人”。
已知某星球半径为R，引力常量为G，为求得该星球的质量和密度，小张进行如下实验，请出星球质量和密度的表达式：
在星球表面将一小球从离地面h高处以初速度v水平抛出，测出小球落地点与抛出点间水平距离为s；
已知某星球半径为R，引力常量为G，为求得该星球的质量和密度，小王进行如下实验，请写出星球质量和密度的表达式：
在星球表面将一小球从离地面h高处以初速度v水平抛出，测出小球落地点与抛出点间水平距离为s；
?=12????????2
?
????=????????
?
????=2?????2????2
?
????=????????2????=2?????2????2?????2????
?
=2?????2????2????????2
?
????=3????4????????????=34?????????????2?????2????2
?
=3?????22????????????????2
?
平抛运动测星球表面重力加速度：
????????????????2=????????
?
????=????????=????43????????3
?
估算中心天体的质量与密度
应用地面数据可算出地球的质量，能否算出太阳的质量呢?
（2）万有引力充当向心力 F引=Fn
1、基本思路
（1）简化模型：将行星绕太阳的运动看成是匀速圆周运动.
r
M
m
F
r
m太
m
F
（3）依据万有引力定律和牛顿第二定律列出方程，从中解出太阳的质量。
设 M是太阳的质量，m 是某个行星的质量，r 是行星与太阳之间的距离。求太阳的质量和密度
解：万有引力充当向心力：
得：
????= ________
?
????????????????????????????????????
?
????=????????????????????
?
思考讨论1： 该表达式与环行天体质量m有没有关系？
思考讨论2：尝试写出其他求解中心天体质量的表达式，并分析总结求解M至少需要知道哪些基本物理量
思考讨论1： 该表达式与环行天体质量m有没有关系？
思考讨论2：尝试写出其他求解中心天体质量的表达式，并分析总结求解M至少需要知道哪些基本物理量
无关，该方法只能求出中心天体的质量。
????=????????????????=????????????????=????????????????????=????????????????????????????????
?
知卫星[v、T(ω)、a]任一物理量及????，即可求解中心天体质量????
?
如果不知道????呢？
?
2估算中心天体的质量与密度
????=????????????????=????????????????=????????????????????=????????????????????????????????
?
“一个中心” 只能求中心天体质量????
?
“两个基本点”即除引力常量G外，还要已知[r、v、T(ω)、a]中的两个独立物理量
注意：
①此法不能估算卫星质量；
②注意题目中????是否已知。
?
其他应用
海王星的发现和名字的由来
冥王星的发现
海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另一颗行星的存在。
在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行星——冥王星。
预言哈雷彗星回归
哈雷依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现 1531 年、1607 年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（图 7.3-3），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。
1、2022年10月15日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭，成功将“遥感三十六号”卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功。该卫星绕地球做匀速圆周运动，运行的周期为T，运行轨道离地球表面的高度为h，地球的半径为R，引力常量为G，则地球的质量可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【参考答案】B
2．如图所示 “嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度。已知万有引力常量为G，则月球的质量是（ ）
A．????2????????3????
B． ????3????????2????
C． ????3????????????2
D． ????2????????????3
?
C
3．小杰乘飞船前往泰坦星，其中有一项任务是测该星球的密度。已知该星球的半径为R，引力常量为G。他设计了以下几种测量方案。你认为不可行的是（ ）
A．当飞船绕星球在任意高度运行时测出飞船的运行周期T和飞船的质量
B．当飞船绕星球在任意高度运行时测出飞船的运行周期T和飞船到星球的距离h
C．当飞船绕星球表面运行时测出飞船的运行周期T
D．当飞船着陆后宇航员测出该星球表面的重力加速度g
4． <估算星球质量4┃C >
若在某行星和地球上离各自水平地面的相同高度处，同时由静止释放两质量相同的物体，它们在空中运动的时间之比为1:√2，已知该行星的半径约为地球半径的2倍，地球的质量为M_地，由此可知，该行星的质量为（　　 ）
A．8????地 B．2????地 C．4????地 D．3????地
?
A

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