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唐山市2023届普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练
数学
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂
黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在
:
答题卡上，写在本试卷上无效.
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
:
一、
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1.已知全集U=R,集合A={x2>1},B={xV≤4}，则AnB=
A.(0,2]
B.(0,16]
++
C.(1,2]
D.(1,16]
:
2.若复数z满足(1一i)z=|1十i,则z的虚部是
A.i
B.1
c
3.下表是足球世界杯连续八届的进球总数：
年份
1994
1998
2002
2006
2010
2014
2018
2022
进球总数
141
171
161
147
145
171
169
172
则进球总数的第40百分位数是
A.147
B,154
C.161
D.165
4.
将英文单词“rabbit”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻的排列方法共有
A.120种
B.240种
C.480种
D.960种
5.1+tan22.5o=
A.v2
B.9
c.1+5
1+2
2
0
2
高三数学试题第1页（共4页）
6.在四棱台ABCD-A1B1C,D1中，底面AB1C1D1是边长为4的正方形，其余各棱长均为
2,
设直线AA1与直线BB,的交点为P,则四棱锥P-ABCD的外接球的体积为
A.
2π
642π
3
3
C.8π
D.32π
7.已知点P(0,4),圆M:(x-4)+y2=16,过点N(2,0)的直线1与圆M交于A,B两
点，则|PA+PB|的最大值为
A.8V2
B.12
C.6W5
D.92
8.已知函数f(2x+1)是定义在R上的奇函数，且f2x+1)的一个周期为2，则
A.1为f(x)的周期
B.x的图象关于点50对称
C.f(2023)=0
D.fx)的图象关于直线x=2对称
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.函数f)=Asin(wx十p)十k,(A>0,0>0,0一个周期内的图象如图所示，则
A.A=4
B.0=2
c.p-号
D.k=1
10.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1CD1中，点E,F分别
5
是棱BC,CC,的中点，则
1
A.DE⊥DF
B.AD1∥平面DEF
C.平面BC,D1与平面DEF相交
D.点B到平面DEF的距离为
1.已知椭园6：普+号1的左焦点为F,B为E的上项点，4C是E上两点.若，
{FB,|FC构成以d为公差的等差数列，则
A.d的最大值是V2
B.当d=1时，sin∠Arc-2y
3
C.当A,C在x轴的同侧时，Sadc的最大值为V2
D.当A,C在x轴的异侧时(A,C与B不重合)，kB·kBC=一2
12.已知ab≠0，函数fx)=e“+x2+bx,则
A.对任意a,b,fx)存在唯一极值点
B.对任意a,b,曲线y=f(x)过原点的切线有两条
C.当a十b=一2时，fx)存在零点
D.当a+b>0时，f(x|)的最小值为1
高三数学试题第2页（共4页）唐山市 2023 届普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练
数 学 参 考 答 案
一．选择题：1～4．BDCB 5～8．AABC
二．选择题：9．BD 10．BCD 11．ABC 12．ABD
31 25
三．填空题：13． 14．8 186 15．2 2 16．
4 4
四．解答题：（若．有．其．他．解．法．，请．参．照．给．分．）
17．解：
（1）由 an＋Sn＋1＝Sn＋(－1)n＋1·n，
得 an＋an＋1＝(－1)n＋1·n， …2 分
所以，S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n) …2 分
＝1＋3＋…＋(2n－1)
＝n2． …2 分
1 1
（2）bn＝ ＝ 2， S2n n
当 n＝1 时，b1＝1＜2． …1 分
1 1 1 1
当 n≥2 时， 2＜ ＝ － ， …2 分 n n(n－1) n－1 n
1 1 1 1 1
故 b1＋b2＋b3＋…＋bn＜1＋(1－ )＋( － )＋…＋( － )2 2 3 n－1 n
1
＝2－
n
＜2. …1 分
综上，n∈N*，b1＋b2＋b3＋…＋bn＜2．
18．解：
（1）因为侧面 A1B1BA、侧面 A1ACC1 均为正方形，
所以，A1A⊥AB，A1A⊥AC，又 AB∩AC＝A，
所以，A1A⊥平面 ABC， …1 分
又 A1A∥C1C，所以，C1C⊥平面 ABC，
又 AD 平面 ABC，所以 C1C⊥AD． …2 分
由 AB＝AC，D 为棱 BC 的中点，
所以，AD⊥BC， …1 分
又 BC∩CC1＝C，因此，AD⊥平面 B1BCC1； …1 分
又 AD 平面 ADC1，
故平面 ADC1⊥平面 B1BCC1． …1 分
（2）由（1）得∠AC1D 是 AC1与侧面 B1BCC 所成角，即∠AC1D＝30°， …1 分
不妨令 AC＝2，所以 AC1＝2 2，又∠ADC1＝90°，
所以，AD＝ 2，
所以，∠BAC＝90°． …1 分
高三数学参考答案 第1页（共 4 页）
以 为原点，以→ → →A AB ，AC ，AA1分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示空
间直角坐标系 A－xyz，由题意可得 A (0，0，0)，D (1，1，0)，C1(0，2，2)．
所以→ →AD＝(1，1，0)，AC1＝(0，2，2)． …1 分
设 m＝(x，y，z)是平面 ADC1 的法向量，则 z
A1 C1
→AD·m＝0，

→ B1 AC1·m＝0，
x＋y＝0，
即
2y＋2z＝0，
取 m＝(1，－1，1)． …1 分 A
C y
由题意知n＝(0，1，0)是平面 A1B1BA 的一个 D
法向量， …1 分 B
x
m·n 3
则 cos m，n ＝ ＝－ ．
|m||n| 3
3
所以，平面 ADC1 与平面 A1B1BA 的夹角的余弦值为 ． …1 分 3
19．解：
（1）在△ABD 中，由余弦定理可得
AB2＋AD2－BD2 1
cos∠BAD＝ ＝－ ． …2 分
2×AB×AD 7
1
sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)＝－cos∠BAD＝ ， …2 分
7
1 3
所以 S△ABC＝ ×AB×AC×sin∠BAC＝ ． …2 分 2 2
π π
（2）设∠BAC＝∠ADB＝θ，则∠DAB＝ ＋θ，∠ABD＝ －2θ，
2 2
AB AD BD
在△ABD 中，由正弦定理可得 ＝ ＝ ， …2 分
sin∠ADB sin∠ABD sin∠BAD
3 7 BD 3cos θ
即 ＝ ＝ ，所以 3cos 2θ＝7sin θ，BD＝ ． …2 分
sin θ cos 2θ cos θ sin θ
1 3
于是 6sin 2θ＋7sin θ－3＝0，解得 sin θ＝ 或－ （舍）．
3 2
2 2
所以 cos θ＝ ，因此 BD＝6 2． …2 分
3
20．解：
（1）设 Ai＝“第 i 场甲队获胜”，Bi＝“球员 M 第 i 场上场比赛”，i＝1，2，3．
高三数学参考答案 第2页（共 4 页）
由全概率公式 P(A2)＝P(B2)P(A2|B2)＋P(B2 )P(A2|B 2) …2 分
3 3 ( 3 2 11＝ × ＋ 1－ )× ＝ ． …2 分
4 5 4 5 20
（2）X 的可能取值为 2，3.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(A 1A 2)
3 11 2 9 51
＝P(A1)P(A2)＋P(A 1)P(A 2)＝ × ＋ × ＝ ， …1 分 5 20 5 20 100
49
P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝ ， …2 分
100
51 49 249
E(X)＝2× ＋3× ＝ ． …1 分
100 100 100
1
（3）P(B 2)＝ ， …1 分 4
P(A1A2|B 2＋A1A 2A3|B 2＋A 1A2A3|B 2)
＝P(A1A2|B 2)＋P(A1A 2A3|B 2)＋P(A 1A2A3|B 2) …1 分
3 2 3 3 2 2 2 2
＝ × ＋ × × ＋ × × …1 分
5 5 5 5 5 5 5 5
56
＝ ． …1 分
125
21．解：
（1）双曲线的两顶点为(±a，0)，
2 2 8
所以， ＋ ＝ 22＝4，即 a ＝2， …2 分 2＋a 2－a 4－a
将 P(2，2)代入 E 的方程可得，b2＝4，
x2 y2
故 E 的方程为 － ＝1． …2 分
2 4
（2）依题意，可设直线 l：y＝k(x－1)（k≠2），A(x1，y1)，B(x2，y2)．
x2 y2
y＝k(x－1)与 － ＝1 联立，整理得(k2－2)x2－2k2x＋k2＋4＝0， …1 分
2 4
所以 k2≠2， ＝(2k2)2－4(k2－2)(k2＋4)＞0，
解得，k2＜4 且 k2≠2，
2k2 k2＋4
x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 ， …1 分 k －2 k －2
所以 3(x1＋x2)－2x1x2＝4． …（*） …1 分
y1－2
又 AP：y＝ (x－2)＋2，
x1－2
( y1－2所以，C 的坐标为 x2， (x2－2)＋2)， …1 分
x1－2
y1－2 k(x1－1)(x2－2)＋2(x1－x2)
由 y1＝k(x1－1)可得， (x2－2)＋2＝ ，
x1－2 x1－2
1[k(x1－1)(x2－2)＋2(x1－x2)从而可得 N 的纵坐标 y ＝ ＋k(x
N 2 － 2
－1)]
x1 2
k[2x1x2－3(x1＋x2)＋4]＋2(x1－x2)
＝ ， …1 分
2(x1－2)
高三数学参考答案 第3页（共 4 页）
x1－x2 x1－x2
将（*）式代入上式，得 y ＝ ，即 N (x2， )． …1 分 N x1－2 x1－2
x1－x2 x1－x2
所以，kMN＝ ＝ ， …1 分
(x1－2)(x2－1) x1x2－2x2－x1＋2
2(x1－x2)
将（*）式代入上式，得 kMN＝ ＝2． …1 分
3(x1＋x2)－4x2－2x1
22．证明：
x
（1）令 f (x)＝x－ln (x＋1)，则 f (x)＝ ，x＞－1， …1 分
x＋1
当－1＜x＜0 时，f (x)＜0，f (x)单调递减；
当 x＞0 时，f (x)＞0，f (x)单调递增， …1 分
所以 f (x)≥f (0)＝0，等号仅当 x＝0 时成立，即 x≥ln (x＋1)， …1 分
从而 ex≥eln (x
＋1)＝x＋1，所以 ex－1≥x． …1 分
综上，ex－1≥x≥ln (x＋1)． …1 分
（2）显然 x＝0 时，(ex－1)ln (x＋1)＝x2＝0，即(ex－1)ln (x＋1)≥x2 成立． …1 分
x (1－x)ex－1
令 g (x)＝ x ，x≠0，则 g (x)＝ x 2 ，x≠0， …1 分 e －1 (e －1)
令 h (x)＝(1－x)ex－1，则 h (x)＝－xex，
当 x＜0 时，h (x)＞0，h (x)单调递增；
当 x＞0 时，h (x)＜0，h (x)单调递减，
所以 h (x)≤h (0)＝0，等号仅当 x＝0 时成立， …1 分
h (x)
从而可得 g (x)＝ x 2＜0，x≠0， (e －1)
所以 g (x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减． …1 分
由（1）知，－1＜x＜0 时，0＞x＞ln (x＋1)；x＞0 时，x＞ln (x＋1)＞0，
x ln (x＋1) ln (x＋1)
所以 g (x)＜g [ln (x＋1)]，即 x ＜e －1 eln (x＋1)
＝ ． …2 分
－1 x
又当 x＞－1 且 x≠0 时，x(ex－1)＞0，所以(ex－1)ln (x＋1)＞x2．
故 x＞－1 时，(ex－1)ln (x＋1)≥x2． …1 分
高三数学参考答案 第4页（共 4 页）

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