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苏教版数学五年级下册同步练习
《因数与倍数》
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、选择题（16分）
1．下列说法正确的是（ ）。
A．所有的质数都是奇数 B．所有的自然数不是质数就是合数。
C．两个奇数的差是奇数 D．4的倍数一定是偶数
2．x为整数，3x＋4，4，x＋7，2x＋6，0.8中一定是2的倍数的有( )个。
A．4 B．1 C．3 D．2
3．下面是用字母表示的三种形式的六位数（X、Y、Z是自然数，X不为0），（ ）一定能被3整除。
A．XXYYZZ B．XYXYXY C．XYYXZY D．XYYXYY
4．在一条72米的长廊的一侧，每隔4米挂一个红灯笼，共挂了19个。现在要将每两个灯笼之间的间隔改为6米，共有（ ）个灯笼不要移动。
A．4 B．5 C．6 D．7
5．寒假里，晨晨和康康一起参加书法培训，晨晨每4天去一次，康康每6天去一次，7月12日他们同时参加培训后，（ ）他们会再次相遇。
A．7月18日 B．7月22日 C．7月24日 D．7月28日
6．1角、2角、5角三种硬币共26枚，2角全部换成5角硬币，1角全部换成5角硬币后，硬币总数变为11枚，原有5角硬币（ ）枚。
A．3 B．5 C．6 D．15
7．在一条60米长廊的一边，每隔4米挂一个灯笼（首尾都挂）。现在要将每两个灯笼之间的间隔改为5米，共有（ ）个灯笼不要移动。
A．3 B．4 C．6 D．10
8．、是非零的自然数，且＞，已知÷3＝，和的最小公倍数是（ ）。
A． B． C． D．1
二、填空题（16分）
9．一个数既是32的因数，又是8的倍数，这个数可能是( )。（请写出所有可能的情况）
10．12和20的最大公因数是( )，6和8的最小公倍数是( )。
11．一个三位数19□，当□里填( )时，它既是3的倍数又是5的倍数；当□里填( )时，它既是2的倍数又是3的倍数。
12．在42＝6×7中，________和________都是________的因数，________是________的质因数。
13．在横括号填合适的数。
28的因数有( )。64的因数有( )。
9的倍数有( )。50以内6的倍数有( )。
14．97至少加上( )就是3的倍数，至少减去( )就是5的倍数，至少减去( )是偶数。
15．任何一个大于1的整数，要么是质数，要么是若干个质数的乘积。因此，质数被称为“数根”。质数在密码技术中有着重要的作用。请你把24分解质因数是________。
16．一个自然数，它最小的两个因数的和是3，最大的两个因数的和是81，这个自然数是( )。
三、判断题（10分）
17．24和9的最小公因数是3。( )
18．因为，所以24是倍数，12是因数。( )
19．两位数中，最大的合数是最小质数的9倍。( )
20．5个连续奇数从小到大依次排列，若它们的和是35，则正中间的数是7。( )
21．一个数的最小倍数是30，那么这个数的最大因数也是30。( )
四、计算（10分）
22．直接写出下面各分数分子和分母的最大公因数。
（1） （2） （3） （4）
五、解答题（48分）
23．某公共汽车站有两条不同路线，1路车每6分钟发一辆车，2路车每10分钟发一辆车，两路车在早上8点同时发车后，至少再到什么时候又可以同时发车？
24．兰花、菊花分别是花中四君子之一。兰花不竞繁华，空谷幽香；菊花隐逸远世，鬓染秋霜。兰花每12天浇一次水，菊花每8天浇一次水。张阿姨4月28日给兰花和菊花同时浇了水，下一次再给这两种花同时浇水应是几月几日？
25．幼儿园里有10个以上的小朋友，王老师拿了42颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？
26．小花有些糖块，数量在25~30之间。如果2个2个地数，刚好数完，如果5个5个地数余3个，小花有多少糖块？
27．王爷爷有块长方形的菜地，周长24米，它的长和宽都是质数，这块菜地的面积是多少平方米？
28．把一张长45厘米，宽36厘米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，且纸张没有剩余，至少可以裁多少个这样的正方形？正方形的边长是多少？
29．“戴口罩，勤洗手，常通风“是防疫的重要措施之一。李老师领回48瓶酒精喷雾和36瓶免洗抑菌洗手液，刚好平均分给二年级每个班且没有剩余。二年级最多可能有几个班？每个班分别分得多少瓶酒精喷雾和免洗抑菌洗手液？
30．一张长72厘米的纸条上，从左端起，先每隔3厘米画一个黄点，再从左端起，每隔4厘米，画一个黄点。纸条的两个端点都不画。最后纸条上共有多少黄点？
参考答案：
1．D
【分析】本题根据质数、奇数、偶数的意义对各个选项分别进行分析即能得出正确选项。
【详解】A．最小的质数为2，2为偶数，所以所有的质数都是奇数的说法的是错误的；
B．1既不是质数也不是合数，所以所有的自然数不是质数就是合数的说法错误；
C．将两个奇数表示为2m＋1，2n＋1，则它们的差为2m＋1－（2n＋1）＝2m－2n＝2（m－n），所以两个奇数的差一定是偶数，而不是奇数，则两个奇数的差一定是奇数的说法错误；
D．4＝2×2，4能被2整除，则4的倍数也一定能被2整除，自然数中，能被2整除的数为偶数，所以是4的倍数的数一定是偶数说法正确。
故答案为：D。
【点睛】自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外还有别的因数的数为合数；是2的倍数的数为偶数，不是2的倍数的数为奇数。
2．D
【分析】根据是2的倍数的数一定含有因数2，也就是能被2整除，由此一一分析解答。
【详解】当x为奇数时，3x＋4，的结果一定是奇数，不能被2整除；x＋7、2x＋6的结果为偶数，能被2整除；当x为偶数时，3x＋4，2x＋6的结果一定是偶数，能被2整除；x＋7的结果为奇数，不能被2整除；0.8不能被2整除，4一定能被2整除。
所以是2倍数的有：4，2x＋6这二个数。
故答案为：D
【点睛】此题主要考查能被2整除数的特点的灵活运用。
3．B
【分析】用十进制表示出结果，提公因式分组分解，找出公有的因数，再进一步分解质因数即可求得问题的答案。
【详解】A．xxyyzz
＝100000x＋10000x＋1000y＋100y＋10z＋z
＝110000x＋1100y＋11z
＝11（10000x＋100y＋z）
此数一定能被11整除，但不能被3整除；
B．xyxyxy
＝100000x＋10000y＋1000x＋100y＋10x＋y
＝101010x＋10101y
＝10101（10x＋y）
因为10101＝3×7×13×37
所以此数一定能被3整除；
C．xyyxzy
＝100000x＋10000y＋1000y＋100x＋10z＋y
＝100100x＋11001y＋10z
此数不能被3整除；
D．xyyxyy
＝100000x＋10000y＋1000y＋100x＋10y＋y
＝100100x＋11011y
此数不能被3整除；
故答案为：B。
【点睛】此题主要考查利用十进制、分组分解因式以及分解质因数研究数的整除性。
4．D
【分析】由每隔4米挂一个灯笼，改为每隔6米挂一个灯笼，不需要移动的灯笼有：间隔为4和6的公倍数处的灯笼及首尾处的灯笼；据此解答。
【详解】4＝2×2
6＝2×3
4和6的最小公倍数是2×2×3＝12
72÷12＝6（个）
6＋1＝7（个）
故答案为：D
【点睛】本题主要考查植树问题和公倍数问题的综合应用，解题时注意“单边植树（两端都植）：距离÷间隔数＋1＝棵数”。
5．C
【分析】晨晨每4天去一次，经过4的倍数天后去参加书法培训，康康每6天去一次，经过6的倍数天后去参加书法培训；那么他们再次相遇，经过的天数必须是4和6的公倍数。
【详解】4和6的最小公倍数是12；
所以7月24他们会再次相遇，故答案选：C。
【点睛】本题考查的是最小公倍数的问题，一般遇到最小、至少等词眼，就考虑最小公倍数。
6．C
【分析】2角全部换成5角硬币，1角全部换成5角硬币，可知2角的枚数和1角的枚数都是5的倍数，5枚1角换成1枚5角，减少了4枚；5枚2角换成2枚5角，减少了3枚。总共减少了（26－11＝15）枚，所以只有一种情况：减少了3次4枚的和1次3枚的。所以原来1角硬币有（5×3＝15）枚，2角硬币有5枚，5角硬币有（26－15－5＝6）枚。
【详解】根据分析可知，原有5角硬币6枚。
故答案为：C
【点睛】考查了学生逻辑推理的能力，解题的关键是分析出2角的枚数和1角的枚数都是5的倍数。
7．B
【分析】由每隔4米挂一个灯笼，改为每隔5米挂一个灯笼，不需要移动的灯笼有：间隔为4和5的公倍数处的灯笼及首尾处的灯笼；据此解答。
【详解】4×5＝20（米）
60÷20＝3（个）
3＋1＝4（个）
答：共有4个灯笼不要移动。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查植树问题和公倍数问题的综合应用，解题时注意“单边植树（两端都植）：距离÷间隔数＋1＝棵数”。
8．A
【解析】求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数位倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公因数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题。
【详解】、是非零的自然数，且＞，已知÷3＝，则＝3，数是数的倍数，属于倍数关系，所以和的最小公倍数是。
故答案为：A
【点睛】此题考查两个有倍数关系的数求最小公倍数，本题关键是观察得出来两数是倍数关系。
9．8，16，32
【分析】根据找一个数的因数的方法和找一个数倍数的方法，先找出32以内8的倍数的数，再找出32的所有因数，进而求出32以内既是8的倍数的数，又是32的因数的数，据此解答。
【详解】32的因数有：1，2，4，8，16，32；
8的倍数有：8，16，24，32。
一份数既是32的因数，又是8的倍数，这个数可能是8，16，32。
【点睛】熟练掌握求一个数因数的方法和求一个数倍数的方法是解答本题的关键。
10． 4 24
【分析】根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解。
【详解】12＝2×2×3
20＝2×2×5
所以12和20的最大公因数是：2×2＝4
6＝2×3
8＝2×2×2
所以6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24
【点睛】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：也可以把因数和倍数列出来，找最大公因数和最小公倍数。
11． 5 2或8
【分析】根据3、5的倍数特征可知：要想使三位数19□既是3的倍数又是5的倍数，个位上必须是0、或5且各数位上的数字之和是3的倍数；
根据2、3的倍数特征可知：要想使三位数19□既是2的倍数又是3的倍数，个位上是0、2、4、6或8且各数位上的数字之和是3的倍数；据此解答。
【详解】1＋9＋0＝10，1＋9＋5＝15，10 不是3的倍数，15是3的倍数所以当□里填5时，它既是3的倍数又是5的倍数；
1＋9＋0＝10，1＋9＋2＝12，1＋9＋4＝14，1＋9＋6＝16，1＋9＋8＝18，12、18是3的倍数，10、14、16不是3的倍数，所以□里填2或8时，它既是2的倍数又是3的倍数。
【点睛】本题主要考查2、3、5的倍数的特征，注意各个数位上的和是3的倍数这个数就是3的倍数，个位上是0或5的数能被5整除。
12． 6 7 42 7 42
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的；以及质因数的意义：如果一个整数的因数是质数，为质数的因数叫做质因数；据此解答。
【详解】在42＝6×7中，6和7都是42的因数，7是42的质因数。
【点睛】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
13． 1、2、4、7、14、28 1、2、4、8、16、32、64 9、18、27、36…… 6、12、18、24、30、36、42、48
【分析】根据用乘法找配对的方式，写出一个数所有因数即可；用一个数分别乘1、2、3、4、5、6……，即可求出一个数的倍数，一个数的倍数的个数是无限的；据此求解即可。
【详解】（1）28的因数有1、2、4、7、14、28；（2）64的因数有 1、2、4、8、16、32、64；
（3）9的倍数有9、18、27、36……；（4）50以内6的倍数有 6、12、18、24、30、36、42、48。
【点睛】本题主要考查因数、倍数的知识，明确因数和倍数的意义以及求一个数因数、倍数的方法是解题的关键。
14． 2 2 1
【分析】3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；
5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数；
偶数也就是2的倍数，2的倍数的特征：个数上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；据此解答。
【详解】由分析得：
9＋7＝16，16＋2＝18，所以97至少加上2就是3的倍数；
97－2＝95，所以97至少减去2就是5的倍数；
97－1＝96，所以97至少减去1就是偶数。
【点睛】牢记2、3和5的倍数特征是解题关键，另外还要知道偶数是2的倍数。
15．24＝2×2×2×3
【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；将一个数写出几个质数相乘的形式，叫做分解质因数；一般先从简单的质数试着分解。
【详解】24＝2×2×2×3
任何一个大于1的整数，要么是质数，要么是若干个质数的乘积。因此，质数被称为“数根”。质数在密码技术中有着重要的作用。请你把24分解质因数是24＝2×2×2×3。
【点睛】熟练掌握合数分解质因数的方法是解答本题的关键。
16．54
【分析】最小的两个因数的和是3，其中一个一定是1，则另一个是3－1＝2；说明最大的因数是第二大因数的2倍，而两个最大的因数的和是81，81÷（1＋2）＝27，第二大因数是27，最大因数是它本身，这个数27×2＝54；据此解答。
【详解】最小的两个约数中一定有一个是1，则另一个因数为：3－1＝2；
81÷（1＋2）
＝81÷3
＝27
27×2＝54
【点睛】解答的关键是先求出最小的两个因数，根据最大的因数是第二大的约数的2倍，求出最大因数，最大因数是它本身，进而解答。
17．×
【分析】根据“1是任何几个非零自然数的最小公因数”解答即可。
【详解】24和9的最小公因数是1。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】解答本题关键是明确： 1是任何几个非零自然数的最小公因数。
18．×
【分析】在乘数和积都是整数的乘法算式中，积是乘数的倍数，乘数是积的因数，据此解答。
【详解】因为2×12＝24，所以24是2和12的倍数，2和12是24的因数。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】理解因数和倍数的含义是解答本题的关键。
19．√
【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；据此找出两位数中，最大的合数和最小的质数，再用最大的合数除以最小的质数，即可解答。
【详解】两位数中，最大的合数是99，最小的质数是11。
99÷11＝9
所以两位数中，最大的合数是最小质数的9倍。
原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】解答本题的关键是找出两位数中最大的合数和最小的质数。
20．√
【分析】根据奇数的意义和奇数的排列规律，相邻的两个奇数相差2；根据平均数的意义，35÷5＝7得到中间的数，据此解答即可。
【详解】35÷5＝7，即中间的数是7
所以原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题主要考查奇数的意义和排列规律，根据求平均数的方法解答即可。
21．√
【分析】根据“一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身”进行解答即可。
【详解】一个数的最小倍数是30，这个数就是30本身，那么30的最大因数还是30。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】解答此题根据因数和倍数的意义，认真分析，进而得出结论。
22．（1）11
（2）3
（3）12
（4）1
【分析】先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数；两个数互质，则最大公因数是1。
【详解】（1）因为33＝3×11
55＝5×11
所以33和55的最大公因数是11；
（2）因为9＝3×3
15＝3×5
所以9和15的最大公因数是3；
（3）因为48÷12＝4，所以12和48的最大公因数是12；
（4）因为7和10互质，所以7和10的最大公因数是1。
23．8点30分
【详解】根据题意：两车再次同时出发，经过的时间即是6的倍数，又是10的倍数，至少再到什么时候，就是求6和10的最小公倍数。据此解答。
6＝2×3
10＝2×5
6和10的最小公倍数是：2×3×5＝30
8点＋30分＝8点30分
答：至少再到8点30分又可以同时发车。
【点睛】本题考查了两个数的最小公倍数应用。掌握两个数的最小公倍数的方法是解答本题的关键。
24．5月22日
【分析】兰花每12天浇一次水，菊花每8天浇一次水，可知张阿姨给兰花和菊花同时浇了水的日子是6的倍数也是8的倍数，即是6和8的公倍数的时间，要求至少就是求6和8的最小公倍数，据此解答即可。
【详解】12＝2×2×3
8＝2×2×2
所以12和8的最小公倍数是
2×2×2×3
＝4×2×3
＝8×3
＝24
2＋22＝24（天）
答：下一次再给这两种花同时浇水应是5月22日。
【点睛】这道题主要考查最小公倍数在实际问题中的运用。
25．6厘米
【分析】要把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余，求每根短彩带最长的长度，就是在求30和18的最大公因数，最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，据此解答。
【详解】
30和18的最大公因数是6，
所以每根短彩带最长是6厘米。
答：每根短彩带最长是6厘米。
【点睛】本题考查的是最大公因数的应用，主要分析题目是求最大公因数还是最小公倍数。
26．16厘米；5根
【分析】要想剪成长度一样的短彩带且没有剩余，就求出两个彩带长度的最大的公因数；可以剪的短彩带的根数＝（一根彩带的长度＋另一根彩带的长度）÷每根短彩带的长度，据此代入数据作答即可。
【详解】32＝2×2×2×2×2
48＝2×2×2×2×3
所以32和48的最大公因数是：2×2×2×2＝16（厘米）
（32＋48）÷16
＝80÷16
＝5（根）
答：每根段彩带最长16厘米，可以剪成5根这样的短彩带。
【点睛】本题考查利用求最大公因数的方法计算出每小段的最长，熟练掌握求最大公因数的方法并灵活运用。
27．6米；7段
【分析】根据“裁成同样长的小段，且没有剩余，每小段最长多少米？”可知，就是求18和24的最大公因数；再用两根彩绳的长度分别除以每小段彩绳的长度即可求出两根彩绳分别裁成的段数，再相加即可。
【详解】18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
18和24的最大公因数是2×3＝6
每小段最长是6米。
18÷6＋24÷6
＝3＋4
＝7（段）
答：每小段最长是6米，一共可以截成7段。
【点睛】熟练掌握两个数的最大公因数的求法：两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积。
28．6个；15厘米
【分析】求出45和30的最大公因数，就是每个正方形的边长；用45和30分别除以正方形边长，得到的数字相乘就是最少可以裁成的正方形个数，据此解答即可。
【详解】45＝3×3×5
30＝3×2×5
所以45和30的最大公因数是3×5＝15；
即裁出的正方形的边长最大是15厘米。
45÷15＝3
30÷15＝2
3×2＝6（个）
答：至少可以裁6个这样的正方形；正方形的边长是15厘米。
【点睛】本题考查了灵活应用求解最大公因数的方法来解决实际问题。
29．12个；4瓶酒精喷雾；3瓶免洗抑菌洗手液
【分析】先找出48和36的最大公因数，最大公因数就是二年级最多有多少个班；用48、36分别除以最大公因数即可求出每个班分别分得多少瓶酒精喷雾和免洗抑菌洗手液。
【详解】48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
48和36的最大公因数是：2×2×3＝12
48÷12＝4（瓶）
36÷12＝3（瓶）
答：二年级最多可能有12个班，每个班分别分得4瓶酒精喷雾和3瓶免洗抑菌洗手液。
【点睛】本题主要考查最大公因数的实际应用。
30．35个
【解析】将起点记作0，终点记作72，每隔3厘米画一个黄点，那么画黄点的位置的刻度是3的倍数；每隔4厘米，再画一个黄点，第二次画黄点的位置的刻度是4的倍数；两次画在同一个位置的刻度是3和4的公倍数。
【详解】（个）
（个）
（个）
（个）
3和4的最小公倍数是12；
（个）
（个）
（个）
答：最后纸条上共有35个黄点。
【点睛】本题考查的是公倍数问题与重叠问题，也可以把12厘米看成1个周期，每个周期有6个点，最后一个周期端点处少一个。

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