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一类抛物线反射问题小题练习
一、单选题
1．某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，如图2所示，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，从而位于焦点处的信号接收器可以接受到较强的信号波.已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为A，B，则由题意可得，代入抛物线方程求出p，从而可求焦点坐标，进而可求焦点到顶点的距离．
【详解】建立如图平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为，
设轴截面所在的抛物线的标准方程为，
由已知条件，得点，所以，解得，
所以所求焦点坐标为，
因此卫星接收天线的轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为.
故选：B．
2．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的关系性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线，如图从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用双曲线的离心率为，不妨设，利用双曲线的定义结合勾股定理求出，由余弦定理可得出结果.
【详解】由，不妨设，则，
设，则，
由题意可得：，即，
解得或（舍去），
故，
所以.
故选：D.
3．如图，某种探照灯的轴截面是抛物线（焦点F），平行于对称轴的一光线，经射入点A反射过F到点B，再经反射，平行于对称轴射出光线，则入射点A到反射点B的光线距离最短时点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由AB过点F，所以当AB为通径即轴时，最小，由此即可求得点A的坐标.
【详解】由AB过点F，所以当AB为通径即轴时，最小，
此时，则，所以，则点A的坐标是.
“轴时，最小”的证明：
法一：设AB倾斜角为，由，当即轴时，；
法二：设，与联立得，
所以，所以，所以，
又，当且仅当时取等号．
故选：A.
4．如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：，，，代入抛物线方程可得，根据，解得与的关系，即可得出．
【详解】如图所示，建立直角坐标系，
设抛物线的标准方程为：，，
，代入抛物线方程可得：，解得，
由于，得或（舍）
又，化为：，
解得或（舍）
.
故选：C.
5．抛物线的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点（不同于顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的轴．现有抛物线：，一平行于轴的光线射向抛物线，经抛物线两次反射之后，又沿着轴方向射出，若两平行线间的距离的最小值为8，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】联立直线与抛物线方程，消去得到关于的方程，利用韦达定理得到的值，然后表示两平行线间的距离，并求出其最小值为，而由题意可知最小值为，从而得到，抛物线方程得解.
【详解】设，设两平行线间的距离为，
由题意可知，，
因为，而直线过点，则设直线方程为：，，
因为，消去得，
由韦达定理可得，
则，
所以两平行线间的最小距离为，
故抛物线方程为，
故选：C
6．抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则经点反射后的反射光线必过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出以及直线方程，然后将其与抛物线方程联立，解出交点横坐标，则得到答案.
【详解】由抛物线方程得其焦点，当时，，则，
则，则直线方程为，
联立抛物线方程解得或（舍），则，
根据题意则经反射后的光线必平行于轴，则其横坐标为，
故选：D.
7．根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点发射平行于轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意求出A点的坐标，由于直线AB过焦点，利用点斜式方程求出直线AB为，联立抛物线方程，得，根据韦达定理求出B点坐标，利用两点间距离公式可求出.
【详解】由条件可知与轴平行，令，可得，故A点坐标为，
因为经过抛物线焦点，
所以为，整理得，
联立，得，，
所以，又，
所以，，
所以，
故选：A.
8．抛物线有如下光学性质：经过抛物线焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，与抛物线交于点，若的面积是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴知点纵坐标为，代入抛物线方程可求点横坐标，利用和求出直线的方程，代入抛物线方程消去可得根与系数关系，根据抛物线焦点弦长公式可求长度，利用点到直线距离公式可求到直线的距离，根据即可求出．
【详解】解：由题知抛物线焦点为，轴，
将代入得，则为，
由题可知、、三点共线，所以方程为：，即，
代入抛物线方程消去得，，
设方程两根为、，则，则，
又到：的距离，
∴由得，解得或（舍去）．
故选：D．
二、多选题
9．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）
A．
B．延长交直线于点，则，，三点共线
C．
D．若平分，则
【答案】AB
【分析】根据题设和抛物线和性质得到点，，将点代入抛物线的方程得到，从而求出直线的方程，联立直线和抛物线得到点的坐标，即可判断选项A和C，又结合直线和直线得到点，即可判断B选项，若平分，得到，转化为直线斜率和直线的斜率的关系式即可求出.
【详解】由题意知，点，，如图：
将代入，得，所以，则直线的斜率，
则直线的方程为，即，
联立，得，解得，，
又时，，则
所以，所以A选项正确；
又 ，所以C选项错误；
又知直线轴，且，则直线的方程为，
又，所以直线的方程为，
令，解得，即，在直线上，
所以，，三点共线，所以B选项正确；
设直线的倾斜角为（），斜率为，直线的倾斜角为，
若平分，即，即，
所以，则，且，解得，
又，解得：，所以D选项错误；
故选：AB.
10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．与之间的距离为4
【答案】ABC
【分析】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线，代入，由韦达定理得可判断A；点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断B；根据抛物线的定义可知，可判断C；由于与平行，所以与之间的距离，可判断D．
【详解】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线，代入得，则，故A正确；
点与均在直线上，则点的坐标为，由得，则点的坐标为，则，故B正确；
由抛物线的定义可知，，故C正确；
与平行，与之间的距离，故D错误，
故选：ABC．
11．平行于抛物线对称轴的光线经抛物线壁的反射，光线汇聚于焦点处，这就是“焦点”名称的来源运用抛物线的这一性质，人们设计了一种将水和食物加热的太阳灶反过来，从焦点处发出的光线，经过抛物线反射后将变成与抛物线的对称轴平行的光线射出，运用这一性质，人们制造了探照灯如图所示，已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过点反射后，沿直线射出，经过点，为抛物线焦点，为抛物线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．
C． D．平分
【答案】BCD
【分析】过作垂直的准线，垂足为，过作垂直的准线，垂足为，再根据抛物的焦半径公式逐一分析各个选项即可得出答案.
【详解】解：过作垂直的准线，垂足为，
所以，
过作垂直的准线，垂足为，
因为，所以，
因为，当且仅当三点共线时，取等号，故选项A错误；
因为平行轴，，
所以，
所以，即，
所以，
又因为，所以过的直线为，
联立,得，
所以，故选项B正确；
因为可得，或，即，
代入，可得，即，
所以，故选项C正确；
因为，，，
所以，
所以，
所以平分，故选项D正确．
故选：BCD.
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线，经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点反射后，再经C上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则（ ）
A．
B．
C．的面积为
D．延长AO交直线于点M，
【答案】BCD
【分析】A选项，求出，进而求出直线的方程，与抛物线方程联立，得到，A错误；
求出，利用两点间距离公式求出，B正确；
求出，并求出高，得到三角形面积，C正确；
求出直线AO的方程，得到，根据三点共线，得到D正确.
【详解】中，令，即，解得：，故，
则直线必经过焦点，故直线的方程为，
即，
联立与得：，
故，所以，A错误；
将代入中，，故，
，B正确；
由于，则以为底，则高为，
其中，
故，C正确；
直线AO的方程为，令，则，故，
由于直线，点Q纵坐标为-4，
故三点共线，故延长AO交直线于点M，，D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．我们知道，平行于抛物线对称轴的光线（不与对称轴重合）经抛物线两次反射后，入射光线与最后的反射光线平行．如图，若入射光线与最后的反射光线间的最小距离为，则此抛物线的标准方程为__________．
【答案】
【分析】作出图形，由抛物线的光学性质可知，过抛物线的焦点，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意可知，的最小值为，可求得的值，由此可得出抛物线的标准方程.
【详解】设所求抛物线的标准方程为
如下图所示，由抛物线的光学性质可知过抛物线的焦点，
若直线与轴重合，则直线与轴只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
，由题意可得，可得.
故所求抛物线的标准方程为.
故答案为：.
14．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分和一个“双孔”的椭圆构成（小孔在椭圆的右上方）.如图，椭圆为的焦点，为下顶点，也为的焦点，若由发出一条光线经过点反射后穿过一个小孔再经抛物线上的点反射后平行于轴射出，由发出的另一条光线经由椭圆上的点反射后穿过另一个小孔再经抛物线上的点反射后平行于轴射出，若两条平行光线间隔，则__________.
【答案】
【分析】首先联立直线与抛物线方程求得点坐标,进而求得点坐标，然后再联立直线与椭圆方程求得点坐标，可得向量的坐标，最后求得.
【详解】由题意得：
可得抛物线方程，直线 :,
联立，可得；
因为两条平行光线间隔，所以，即.
直线：，联立椭圆方程，得，解得或（舍），所以；
则，所以 .
故答案为：.
15．抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行．已知抛物线的焦点为F，直线，点P，Q分别是C，l上的动点，若Q在某个位置时，P仅存在唯一的位置使得，则满足条件的所有的值为______．
【答案】或
【分析】设，易知抛物线焦点为，为直线上的动点，设，根据结合距离公式，可得，根据方程有唯一解列方程求解即可.
【详解】设，易知抛物线焦点为，
为直线上的动点，设，
由
，
，即代入，
，
（1）当时，，
由得，
此时方程只有一个解，满足题意，
（2）当时，，
解得，代入可得
求得，可得
的值为或
故答案为：或.
16．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面.该镜面圆形镜口的直径，镜深.为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点的距离应为___________.
【答案】
【分析】根据抛物线的方程以及性质即可求解.
【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则点坐标为，设平面截该镜面所得的抛物线方程为，代入，得，小灯泡应置于焦点处，故其距离镜面顶点的距离应为.
故答案为：一类抛物线反射问题小题练习
一、单选题
1．某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，如图2所示，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，从而位于焦点处的信号接收器可以接受到较强的信号波.已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的关系性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线，如图从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某种探照灯的轴截面是抛物线（焦点F），平行于对称轴的一光线，经射入点A反射过F到点B，再经反射，平行于对称轴射出光线，则入射点A到反射点B的光线距离最短时点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点（不同于顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的轴．现有抛物线：，一平行于轴的光线射向抛物线，经抛物线两次反射之后，又沿着轴方向射出，若两平行线间的距离的最小值为8，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则经点反射后的反射光线必过点（ ）
A． B． C． D．
7．根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点发射平行于轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于点，则（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线有如下光学性质：经过抛物线焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，与抛物线交于点，若的面积是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）
A．
B．延长交直线于点，则，，三点共线
C．
D．若平分，则
10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．与之间的距离为4
11．平行于抛物线对称轴的光线经抛物线壁的反射，光线汇聚于焦点处，这就是“焦点”名称的来源运用抛物线的这一性质，人们设计了一种将水和食物加热的太阳灶反过来，从焦点处发出的光线，经过抛物线反射后将变成与抛物线的对称轴平行的光线射出，运用这一性质，人们制造了探照灯如图所示，已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过点反射后，沿直线射出，经过点，为抛物线焦点，为抛物线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．
C． D．平分
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线，经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点反射后，再经C上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则（ ）
A．
B．
C．的面积为
D．延长AO交直线于点M，
三、填空题
13．我们知道，平行于抛物线对称轴的光线（不与对称轴重合）经抛物线两次反射后，入射光线与最后的反射光线平行．如图，若入射光线与最后的反射光线间的最小距离为，则此抛物线的标准方程为__________．
14．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分和一个“双孔”的椭圆构成（小孔在椭圆的右上方）.如图，椭圆为的焦点，为下顶点，也为的焦点，若由发出一条光线经过点反射后穿过一个小孔再经抛物线上的点反射后平行于轴射出，由发出的另一条光线经由椭圆上的点反射后穿过另一个小孔再经抛物线上的点反射后平行于轴射出，若两条平行光线间隔，则__________.
15．抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行．已知抛物线的焦点为F，直线，点P，Q分别是C，l上的动点，若Q在某个位置时，P仅存在唯一的位置使得，则满足条件的所有的值为______．
16．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面.该镜面圆形镜口的直径，镜深.为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点的距离应为___________.

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