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极值点求参
一、单选题
1．若函数在处取得极大值，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意结合导数与极值的关系求
【详解】，则，
由题意可得，解得，经检验符合题意.
故选：C
2．设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
3．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的导数，由导函数在上有两个零点可得实数的取值范围.
【详解】∵有两个不同的极值点，
∴在上有2个不同的零点，
∴在有2个不同的实数根，
∴，解得．
故选：B
4．若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题
【详解】由已知得，若函数在上有极值点，则在上有解，即，解得.
故选：D
5．在正项等比数列中，、是函数的极值点，则（ ）
A．或2 B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据题意可知：、是方程的两根，利用韦达定理和等比数列的性质即可求解.
【详解】因为，所以.
又因为、是函数的极值点，
即、是方程的两根，则有，
由为等比数列可知：，因为，且，
所以，则有，所以，
故选：D.
6．已知函数的两个极值点分别为和2，若的极大值为1，则的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】B
【分析】对函数进行求导，通过两个极值点可得到，然后分和两种情况进行讨论即可
【详解】由可知，
因为函数的两个极值点分别为和2，所以和2是的零点，
故和2是的实数根，，，．
当，即时，
当，当，
函数在上单调递减，在上单调递增，
此时极大值为，，；
当，即时，
当，当，
函数在上单调递增，在上单调递减，
此时极大值为，，，
只要，无论a取何值，始终成立，
故选：B．
7．若函数在上有极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对函数进行求导，由于函数有极值点即有变号零点，根据导函数的单调性列出不等式解出即可.
【详解】因为，所以，
因为在上恒成立，所以在上为减函数，
所以，解得，
故选：A.
8．已知函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求导可得，令，其中且，利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，可得出实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
，
令，可得或，不满足等式，
可得，其中且，
令，其中且，则，
当时，且，此时函数单调递减，
当时，且，此时函数单调递减，
当时，且，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，如下图所示：
①当时，直线与函数交点的横坐标设为，则，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增.
故当时，函数有两个极值点，合乎题意；
②当时，方程在的根为.
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增，
当时，，，，此时，单调递增，
此时函数无极值点；
③当时，直线与函数交点的横坐标设为，则，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增，
此时函数有两个极值点，合乎题意；
④当时，直线与函数的图象无交点，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增，
此时函数只有一个极值点，不合乎题意；
⑤当时，直线与函数的图象的公共点的横坐标为，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增，
此时函数只有一个极值点，不合乎题意；
⑥当时，直线与函数的图象有两个公共点，设这两个公共点的横坐标分别为、，设，则，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递增，
若时，，，，此时，单调递减，
若时，，，，此时，单调递增，
此时函数有三个极值点，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数极值点的个数求参数，注意到，本题在考查方程时，要特别注意到时的取值，再求解时还应注意导数为零处的点时导数符号的变化，充分利用极值点的定义来求解.
二、多选题
9．已知1是函数的一个极值点，则（ ）
A． B．在单调递增
C．1是函数的极大值点 D．的对称中心为
【答案】AD
【分析】根据，可求得的值，再逐项分析判断即可.
【详解】解：，则，
解得，
∴，，
令，解得，令，解得或，
∴函数在上单调递减，且在处取得极小值，
由三次函数的性质可知，其对称中心为，
综上，选项AD正确，选项BC错误.
故选：AD.
10．已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B．
C． D．的图象关于点中心对称
【答案】BCD
【分析】根据函数由有两个极值点可得导函数有2个不同的零点即可判断A,B，根据导函数讨论函数的单调性可判断C,根据奇函数与的关系判断D.
【详解】由题可得有两个不相等的实数根，
所以，所以，A错误；
根据题意为的两个根，所以，B正确；
因为，且为的两个根，
所以由得或，
由得，
所以函数在单调递增，单调递减，单调递增，
所以成立，C正确；
因为为奇函数，所以关于对称，
所以关于对称，D正确，
故选:BCD.
11．已知存在两个极小值点,则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】若存在两个极小值点,则至少有三个变号零点,对进行全分离,
求出有三个变号零点时的的取值范围,再根据的取值范围证明此时有两个极小值点,再根据选项是否在此范围内,即可得出结果.
【详解】解:由题知,
定义域为,
所以,
若存在两个极小值点,
则至少有三个变号零点,
因为,所以需在上至少有两个不等于1的零点,
即与有两个不同的交点,
故,,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
因为指数函数增长比幂函数增长快,
所以当趋向于正无穷时,远远大于,
故趋向于正无穷时,趋向于0,
又因为
由此画出在图象如下:
由图象可知:,
下证:当时,有两个极小值点,
不妨记与的两个不同交点的横坐标为,
可记,
则当时,,即,,
此时,单调递减,
当时,,即,,
此时,单调递增,
当时,,即,,
此时,单调递减,
当时,,即,,
此时,单调递增,
故存在两个极值点分别为符合题意,
故成立;
因为,
故选项A 正确;
取,,
所以,
因为,
,
所以存在,使得,
所以在上,,单调递减,
在上,,单调递增,
注意到,
所以,
即时,,
即,
所以
,
故选项B正确;
取,
所以,
故在上单调递减,
所以,即,
所以,
故选项C正确,
取,
所以,
故在上单调递增,
所以,即,
所以,
故选项D错误.
故选:ABC
【点睛】方法点睛:该题考查函数与导数的综合问题,属于难题,该题应用了放缩来判断数的大小,关于常见的放缩有:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)根据函数的凹凸性,可得函数在某个区间内与函数割线的大小关系.
12．若函数有两个极值点，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A、B，有两个极值点，则在上有2个不同的根，分离参数画图可得a的范围及、的范围.
对于选项C，将代入可得关于的二次函数，求其范围即可.
对于选项D，运用比值代换法构造函数求导研究其范围.
【详解】由题意知，在上有2个不同的根，
又∵，
∴，即： ，
∴在上有2个不同的交点，
令，
∴，
，，
∴在上单增，在上单减，
又∵，，当时，，当时，，
∴的图象如图所示，
∴当时，与在上有2个不同的交点，.
故选项A项正确，选项B项错误；
对于C项，由题意知，，
∴，
又∵，∴，
令，则，则在上单调递增，
∴，即：.故选项C项正确；
对于D项，设，
∴，解得：
∴，
∴，，
令，
则，
令，则，，
∵，
∴
∴在上单调递增，
∴，
∴在上单调递增，
∴，
∴，
∴在上单调递增，
∴
∴，即：，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.
三、填空题
13．若是函数的极大值点，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】由是函数的极大值点可得，将其代入，求出函数单调性可得，解出，求出结合的范围即可得出答案.
【详解】因为，
因为是函数的极大值点，
所以，所以，
，
则或，
要使是函数的极大值点，
则，解得：，
则.
故的取值范围为.
故答案为：.
14．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】函数在区间上有极值点，转化为在区间上有解即可求解.
【详解】由已知得，若函数在上有极值点，则在上有解，即，解得．
故答案为：
15．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围是______.
【答案】（，0）
【分析】先求导函数，函数有两个极值点，等价于有两个根，等价于函数与的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数的取值范围．
【详解】因为，所以，令，得，要使函数有两个极值点，只需有两个不同根，从而函数与的图象由两个交点，，令，则在（0，+∞）上单调递减且，∴当时，，即，在（0，1]上单调递增；当）时，，即，在（1，+∞）上单调递减，故，令得，当时，，，当时，，，若有两极值点，只要和的图象在（0，+∞）上有两个交点，所以，故实数m的取值范围是.
故答案为：.
16．已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【分析】等价于 有2个零点，再运用参数分离的方法构造函数，根据该函数的性质求解.
【详解】函数 有2个极值点等价于 有2个零点，
令 ， ，令 ，
，当 时 ，当 时， 是增函数，
当 时， 是减函数， ，当x趋于0时， 趋于 ，
当 时， ， ，当x趋于 时 趋于0，
的图像大致如下：
所以a的取值范围是 ；
故答案为：.
四、解答题
17．已知是函数的极值点，则：
(1)求实数的值．
(2)求函数在区间上的最值．
【答案】(1)；
(2)在上的最小值为，最大值为.
【分析】（1）由求得的值；
（2）结合函数的单调性来求得函数在区间上的最值.
【详解】（1），
由题意知，
或，
时，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以为函数的极值点，满足要求；
时，，
因为，当且仅当时，，
所以函数在上单调递增，
不是函数的极值点，不符合题意.
则.
（2）由（1）知，且在单调递减，在单调递增，
又，，，
则，.
18．已知函数在处有极值.
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的最值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据题意列出方程，求得的值，可得答案.
（2）求出函数的极值点，求得函数的极值以及区间端点处的函数值，比较可得答案.
【详解】（1），
，
解得，
则，
若，则；若，则或,
即函数在处有极大值且极大值为，符合题意，
故：
（2）由（1）知，，
，
若，则；若，则或,
在上单调递增，在上单调递减,
又，
.
19．已知.
(1)若在处有极大值，求的值；
(2)若，求在区间上的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)求出，令，解得，再分别讨论，利用函数在处有极大值，从而得出答案；
(2)确定函数的单调性，即可求在区间上的最小值.
【详解】（1）由题知，，
由题意，，得或，
当时，在上，在上，
此时，在处有极小值，不符题意；
当时，在上，在上，
此时，在处有极大值，符合题意.
综上，.
（2）令，得或，
由，则在上，在上，
即在上单调递增，在上单调递减.
由题意，，
当时，在区间上单调递减，则，
当时，在区间上单调递减，在上单调递增，则，
当时，在区间上单调递增，则，
综上，.
20．已知函数为自然对数的底数.
(1)若是函数的唯一极值点，求正实数的取值范围；
(2)令函数，若存在实数，使得，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对求导，令，要使是函数的唯一极值点，即，利用导数研究的单调性即可得出答案；
（2）令，将函数变形为，设，要证明，即证明，不妨设，结合的单调性即证明，构造函数，研究其单调性即可证明.
【详解】（1）
，
令，则，令，解得，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
.
因为是函数的唯一极值点，又，
所以，即时，恒成立，
所以当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，
故有且仅有一个极值点.
所以正实数的取值范围为.
（2）证明：的定义域为，
令，则上述函数变形为，
对于，则，
即在上单调递增，
由已知存在实数使得，
不妨设，所以存在对应的，使得，
对于，则，
因为，所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的唯一极小值点，
所以，则，
令，
则
，
所以在上单调递减，所以，
即，又，所以，
又由的单调性可知，即有成立，
所以.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解极值点问题、证明不等式问题；本题证明不等式的基本思路是：证明，即证明，再将所证不等式构造为的形式，从而将多变量问题转化为单一变量问题.
21．已知函数.
(1)若为的一个极值点，求实数a的值并此函数的极值；
(2)若恰有两个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）由求得，结合函数的单调性求得的极值.
（2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.
【详解】（1），依题意，
此时，所以在区间递减；
在区间递增.
所以的极小值为，无极大值.
（2）依题意①有两个解，
，所以不是①的解，
当时，由①得，
构造函数，
，
所以在区间递增；
在区间递减.
当时，；当时，，
，要使与的图象有两个交点，
则需.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】根据极值点求参数，要注意的是由求得参数后，要根据函数的单调区间进行验证，因为导数为零的点，不一定是极值点.利用导数研究函数的零点，可以考虑分离常数法，通过分离常数，然后利用构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.
22．已知函数．
(1)当为函数的极值点时，求函数的单调区间．
(2)当时，求证：．
【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增.
(2)证明见解析
【分析】（1）由为函数的极值点知，，求得的值，并进行检验，即可求得函数的单调区间；
（2）构造函数结合隐零点求最值即可证明
【详解】（1）的定义域为，
，
若为函数的极值点，则，解得，
当时，，，
令，则，
∴在区间上单调递增，
∵，
∴当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
∴当时，为函数的极小值点，满足题意，
即当为函数的极值点时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）当时，
设，，
则，易知在上单调递增，
又∵，，
∴，使，（即），
∴当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
在处取得极小值，也是最小值，，
当时，，∴，
∴，，
∴当且时，，原命题得证.
【点睛】通过零点存在定理，确定导函数零点所在区间，并通过代入、放缩等方式求解或证明与函数最值有关的不等式，是处理隐零点问题常用的方法.极值点求参
一、单选题
1．若函数在处取得极大值，则（ ）
A． B．
C． D．
2．设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
3．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在正项等比数列中，、是函数的极值点，则（ ）
A．或2 B． C． D．2
6．已知函数的两个极值点分别为和2，若的极大值为1，则的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
7．若函数在上有极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知1是函数的一个极值点，则（ ）
A． B．在单调递增
C．1是函数的极大值点 D．的对称中心为
10．已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B．
C． D．的图象关于点中心对称
11．已知存在两个极小值点,则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
12．若函数有两个极值点，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若是函数的极大值点，则的取值范围为______．
14．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是______．
15．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围是______.
16．已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为___________．
四、解答题
17．已知是函数的极值点，则：
(1)求实数的值．
(2)求函数在区间上的最值．
18．已知函数在处有极值.
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的最值.
19．已知.
(1)若在处有极大值，求的值；
(2)若，求在区间上的最小值.
20．已知函数为自然对数的底数.
(1)若是函数的唯一极值点，求正实数的取值范围；
(2)令函数，若存在实数，使得，证明：.
21．已知函数.
(1)若为的一个极值点，求实数a的值并此函数的极值；
(2)若恰有两个零点，求实数a的取值范围.
22．已知函数．
(1)当为函数的极值点时，求函数的单调区间．
(2)当时，求证：．

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