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广东省初中学业水平考试2023年模拟测试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的倒数是（ ）
A． B． C．2023 D．－2023
【答案】B
【分析】根据倒数的定义解答即可求解．
【详解】解：的倒数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．熟练掌握倒数定义是解题的关键．
2．下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由完全平方公式可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由幂的乘方运算可判断C，由二次根式的乘法运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，故A符合题意；
，运算正确，故B不符合题意；
，运算正确，故C不符合题意；
，运算正确，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，同底数幂的乘法，幂的乘方运算，二次根式的乘法运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．
3．浙江省“十四五规划”指出，到年，软件和信息技术服务业业务收入将突破亿元数亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：将数据“亿”用科学记数法可表示为．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
4．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．3 B． C． D．0
【答案】A
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，须同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
5．如图所示的钢块零件的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】左视图是从物体的左面看所得到的图形，几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被遮挡看不见的部分的轮廓线画成虚线．
【详解】解：钢块零件的左视图为：
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握画三视图时要注意“长对正，宽相等，高平齐”，被遮挡看不见的部分的轮廓线画成虚线．
6．如图，直线，如图放置，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角形外角性质求出的度数，再由a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补，得到的度数，根据与的度数求出的度数即可．
【详解】解：∵为三角形的外角，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
7．已知m，n 是方程的两个不等实数根，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的定义得到，则 ，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解:∵m是方程的实数根，
，
，
，
∵m，n是方程的两个实数根，
∴ ，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根时，，掌握根与系数的关系是解题关键．
8．一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】设袋子中黄球有x个，根据摸出红球的频率稳定在左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．
【详解】解：设袋子中黄球有x个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解且符合题意，
∴袋子中黄球的个数最有可能是4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
9．如图，在菱形中，，点F为的中点，于E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据菱形的性质可得，则是等边三角形，根据等边三角形三线合一和勾股定理，求出的长度，最后根据含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵点F为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C。
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握菱形四条边都相等，等边三角形三线合一，以及直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
10．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
… 0 1 2 3 …
… 3 0 3 …
以下结论错误的是（ ）
A．抛物线的顶点坐标为
B．当时，y随x增大而增大
C．方程的根为0和2
D．当时，的取值范围是
【答案】D
【分析】根据对称性即可得到顶点，由点与 即可判断增减性，根据对称性即可得到方程的根，根据二次函数的开口及交点即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
由点，可得，对称轴为，
∴抛物线的顶点坐标为，故A正确；
由点与可得，开口向上，当时，y随x增大而增大，故B正确；
由对称性可得，、对称，故C正确；
∵，开口向上，故当时，或，故D错
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据表中点的对称性即可得到顶点、对称轴及与x轴的交点．
二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式： _____．
【答案】
【分析】利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知利用平方差公式分解因式是解题的关键．
12．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】##
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：由题意知，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
13．已知一组数据从小到大依次为，，，，，，其中位数为，则其众数为________．
【答案】6
【分析】先根据中位数的概念找出最中间的两个数的平均数求出值，再根据众数的概念求解．
【详解】一组数据从小到大依次为，，，，，，其中位数为，
，
，
数据出现次，出现次数最多，所以众数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求中位数，众数，掌握中位数与众数的定义是解题的关键．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
14．如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是______．
【答案】3
【分析】将y＝3代入一次函数解析式求出x值，由此即可得出点E的坐标为（3，3），进而可得出△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，根据平移的性质即可得出点A与其对应点间的距离．
【详解】解：当时，，
点的坐标为，
沿轴向右平移个单位得到，
点与其对应点间的距离为，
即点移动的距离是3．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将y＝3代入一次函数解析式中求出点E的横坐标是解题的关键．
15．如图，AB和OC分别是的直径和半径，，点P是直径AB上的一个动点，射线CP与相交于点Q，若是等腰三角形，则______．
【答案】40°或80°或100°
【分析】△OPQ为等腰三角形时，分OP=PQ，OQ=PQ，OP=OQ三种情况进行讨论，且注意点P在OA或OB上两种情况进行讨论，分别求出∠CPB的度数即可．
【详解】解：①当OP=PQ，点P在OB上时，如图所示：
∵OC=OQ，
∴∠OCQ=∠OQC，
∵OP=PQ，
∴∠OQC=∠POQ，
∴∠OCQ=∠OQC=∠POQ，
设∠OCQ=∠OQC=∠POQ=，
∵∠BOC=60°，
∴，
解得：，
；
当OP=PQ，点P在OA上时，如图所示：
∵OC=OQ，
∴∠OCQ=∠OQC，
∵OP=PQ，
∴∠OQC=∠POQ，
∴∠OCQ=∠OQC=∠POQ，
设∠OCQ=∠OQC=∠POQ=x，
∵∠BOC=60°，
∴，
∴，
解得：，
∵∠CPB为△POQ的外角，
；
②当OQ=PQ，如图所示：
∵OC=OQ，
∴∠OCQ=∠OQC=，
∵OQ=PQ，
∴∠QOP=∠OPQ=，
∵∠BOC=60°，
∴根据三角形内角和可得：
，
解得：，
∴∠CPB=∠OPQ=；
③当OP=OQ时，
∵Q在圆上，
∴OQ为圆的半径，
∴OP为圆的半径，
∴点P在圆上，即点P在A点或B点，
∴此时点P与点Q重合，此时三角形不存在；
综上分析可知，∠CPB的度数为40°或80°或100°．
故答案为：40°或80°或100°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，圆的知识，熟练掌握等腰三角形的性质，注意进行分类讨论，是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
16．（1）计算：
（2）如图，，，，，求AC的长．
【答案】（1）；（2）15
【分析】（1）分别利用乘方、绝对值的性质、求特殊角的三角形函数值及零指数幂的运算法则进行化简计算，再合并即可得出结果；
（2）利用平行线分线段成比例定理，列式计算求解即可．
【详解】解：（1）
=1+-1-1+2×
=1+-1-1+1
=；
（2）∵，，，，，
∴，即，
∴BC=10，
∴AC=AB+BC=5+10=15．
【点睛】本题考查了实数的运算，平行线分线段成比例定理，熟记特殊角的三角形函数值，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
17．计算
①解不等式组：；
②先化简，再求值：，其中．
【答案】①；②，．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将的值代入计算即可．
【详解】①解不等式组：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解为：；
②原式=
=
=，
当时，原式=．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序．
18．班主任为了解该班同学的解题能力，该部门随机抽取了名同学某天每人解题的个数，整理数据后，得到条形统计图并计算了部分样本数据的统计量如下：
统计量 平均数 众数 中位数
数值 m n
根据以上信息，解答下列问
(1)上表中m＝　 　，n＝　 　．
(2)为调动学习积极性，班主任根据同学每天解题的个数制定了奖励标准，结果有左右的同学达到或超过这个标准而获得奖励．这个奖励标准“平均数”、“众数”或“中位数”中的哪一个？
(3)发现解题数最多的同学男女各半，决定从中选两人谈解题经验，求出恰好选都是男同学的概率．
【答案】(1)，；
(2)中位数；
(3)；
【分析】（1）根据条形统计图中出现次数即可得到m的值，根据条形统计图找到最中间两个数的落点即可得到答案；
（2）根据老师的要求及“平均数”“众数” “中位数”定义即可得到答案；
（3）根据条形统计图得到男女人数，列树状图找出所有情况及都是男同学的情况即可得到答案．
【详解】（1）解：由条形图知，数据出现的次数最多，
所以众数，
∵，，
∴第、个数落在里，
∴中位数，
故答案为：，；
（2）解：∵有左右的同学达到或超过这个标准而获得奖励，
∴应根据中位数来确定奖励标准比较合适；
（3）解：由条形统计图可得，
解题数最多的有4个同学，若男女各半，则男女各2个，
画树状图如下：
∵共有种等可能性的结果，选都是男同学的结果有2个，
∴恰好选都是男同学的概率为．
【点睛】本题考查求众数中位数，树状图求概率，解题的关键是看懂条形统计图，等到所需数据．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
19．如图，在中，，点在上，作，使与相切于点，与交于点，过点作，交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行线的性质得，证，则是的角平分线，再由切线的性质得，然后由角平分线的性质得，即可得出结论；
（2）由（1）知是的直径，求出，，再由勾股定理得，然后证，求出，然后由锐角三角函数定义求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
是的角平分线，
与相切于点，
是的半径，，
，
，
，
点在上，
，
是的切线；
（2）解：由（1）知：，是的半径，
是的直径，
，
，，
在中，
由勾股定理得：，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握切线的判定与性质，证明是解题的关键．
20．图1是电脑及电脑支架实物图，图2是其示意图，DG是电脑屏幕，托杠，支杠，B，M，F为固定点，，支杠MN，EF可分别绕着点M，F旋转，点E，N分别在AB，BC上滑动．当电脑及电脑支架按如图所示的方式放置时，．
(1)求的度数．
(2)当，时，试通过计算说明点D是否位于点B的正上方．（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)点D不在点B的正上方
【分析】（1）判断∠B的度数，那么必然需要含有∠B的直角三角形，因此，过点F作AB的垂线构造直角三角形，然后求出∠B的三角函数值，通过题干给的参考数据推断出∠B的度数即可．
（2）连接BD，通过CD=CB，有等腰三角形，根据其性质结合三角函数求得的∠C的度数求出∠CBD的度数，进一步结合第一问所求，判断∠DBA是否为90°，是，则点D在点B的正上方，不是则不在正上方．
（1）
解：如图，过点F作于点K
∵ ，，
∴有等腰
∴
∴
∴
（2）
解：如图，连接BD．
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴点D不在点B的正上方
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是理解并应用锐角三角函数的概念，根据其概念求出题干所需的三角函数值，进而根据参考数据确定角度，进一步解答题目，第二问的关键在于求出∠CBD的度数，进一步判断是否为90°．
21．如图，直线的图像与x轴，y轴分别交于点B，A，点B与点C关于原点对称，反比例函数的图像经过平行四边形的顶点D．
(1)求证：．
(2)求反比例函数的解析式．
(3)动点M从点A到点D，动点N从点C到点A，都以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当时，四边形的面积的最小值为
【分析】（1）先求出点，，根据点B，C关于原点对称，得出，根据四边形是平行四边形，得出，求出，，即可得出答案；
（2）根据点求出反比例函数解析式即可；
（3）过点N作于点E，证明，得出，求出，根据，用t表示出四边形的面积，根据二次函数的性质，求出最小值即可．
【详解】（1）证明：令，则，
∴，
令，则，
∴，
∵点B，C关于原点对称，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∴，
∴，
，
∴；
（2）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（3）解：根据点M，N的运动可知，，
∴AN＝5 t，
如图，过点N作于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，四边形的面积的最小值为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行四边形的性质，三角形面积的计算，勾股定理，二次函数的应用，综合性较强，解题的关键是数形结合，作出辅助线，用t表示出四边形的面积．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
22．（1）【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是______；
（2）【类比探究】如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接，则的最小值为______．
【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3）
【分析】（1）通过证明全等，得到；
（2）通过证明得到，，延长相交于点H．可以证明；
（3）作于N，交的延长线于M．首先证明点G的运动轨迹是线段，将的最小值转化为求的最小值．
【详解】解：，
理由：
∵正方形，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：．
理由如下：延长相交于点H．
∵矩形、矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：作于N，交的延长线于M．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点G的运动轨迹是直线，
作点D关于直线的对称点，连接交于G，此时的值最小，最小值为，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴的最小值就是的最小值．
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等．这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值．
23．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验：
(1)已知抛物线经过点，则b＝ ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是 ．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．
问题解决：
(3)已知抛物线．
①若抛物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，…（为正整数）．求的长（用含n的式子表示）．
【答案】(1)；；；
(2)
(3)①；衍生中心的坐标为；②
【分析】（1）把代入 即可求出，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于的对称点，从而可写出原抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式；
（2）先求出抛物线 的顶点是，从而求出 关于的对称点是，得 ，根据两抛物线有交点，可以确定方程 有解，继而求得的取值范围即可；
（3）①先求出抛物线以及抛物线的衍生抛物线为，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；
②根据中心对称，由题意得出 ， … 分别是 ， … 的中位线，继而可得 ， ，… ，再根据点的坐标即可求得的长，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
∴顶点坐标是，
∵关于的对称点，
∴成中心对称的抛物线表达式是：，
即 ，
故答案为：，，；
（2）∵ ，
∴ 顶点是
∵关于的对称点是，
∴ ，
∵ 两抛物线有交点，
∴ 有解，
∴ 有解，
∴ ，
∴ ；
（3）①∵，
∴顶点，
代入 得：①
∵，
∴顶点，
代入 得：②
由① ②得 ，
∵ ，，
∴ ，
∴ 两顶点坐标分别是，，
由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是；
②如图，设，…，与轴分别相于，… ，，
则，，…，分别关于，…， 中心对称，
∴ ， … 分别是 ， … 的中位线，
∴ ， ，… ，
∵ ， ，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，理解题意，画出符合题意的图形借助数形结合思想解决问题是关键．中小学教育资源及组卷应用平台
广东省初中学业水平考试2023年模拟测试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的倒数是（ ）
A． B． C．2023 D．－2023
2．下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．浙江省“十四五规划”指出，到年，软件和信息技术服务业业务收入将突破亿元数亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．3 B． C． D．0
5．如图所示的钢块零件的左视图为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线，如图放置，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知m，n 是方程的两个不等实数根，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
8．一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
9．如图，在菱形中，，点F为的中点，于E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
… 0 1 2 3 …
… 3 0 3 …
以下结论错误的是（ ）
A．抛物线的顶点坐标为
B．当时，y随x增大而增大
C．方程的根为0和2
D．当时，的取值范围是
二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式： _____．
12．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
13．已知一组数据从小到大依次为，，，，，，其中位数为，则其众数为________．
14．如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是______．
15．如图，AB和OC分别是的直径和半径，，点P是直径AB上的一个动点，射线CP与相交于点Q，若是等腰三角形，则______．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
16．（1）计算：
（2）如图，，，，，求AC的长．
17．计算
①解不等式组：；
②先化简，再求值：，其中．
18．班主任为了解该班同学的解题能力，该部门随机抽取了名同学某天每人解题的个数，整理数据后，得到条形统计图并计算了部分样本数据的统计量如下：
统计量 平均数 众数 中位数
数值 m n
根据以上信息，解答下列问
(1)上表中m＝　 　，n＝　 　．
(2)为调动学习积极性，班主任根据同学每天解题的个数制定了奖励标准，结果有左右的同学达到或超过这个标准而获得奖励．这个奖励标准“平均数”、“众数”或“中位数”中的哪一个？
(3)发现解题数最多的同学男女各半，决定从中选两人谈解题经验，求出恰好选都是男同学的概率．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
19．如图，在中，，点在上，作，使与相切于点，与交于点，过点作，交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
20．图1是电脑及电脑支架实物图，图2是其示意图，DG是电脑屏幕，托杠，支杠，B，M，F为固定点，，支杠MN，EF可分别绕着点M，F旋转，点E，N分别在AB，BC上滑动．当电脑及电脑支架按如图所示的方式放置时，．
(1)求的度数．
(2)当，时，试通过计算说明点D是否位于点B的正上方．（参考数据：，，）
21．如图，直线的图像与x轴，y轴分别交于点B，A，点B与点C关于原点对称，反比例函数的图像经过平行四边形的顶点D．
(1)求证：．
(2)求反比例函数的解析式．
(3)动点M从点A到点D，动点N从点C到点A，都以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）
22．（1）【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是______；
（2）【类比探究】如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接，则的最小值为______．
23．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验：
(1)已知抛物线经过点，则b＝ ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是 ．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．
问题解决：
(3)已知抛物线．
①若抛物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，…（为正整数）．求的长（用含n的式子表示）．

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