资源简介

第三讲 平面向量的线性运算
真题展示
2022新高考一卷第三题
在中，点在边上，．记，，则　　
A． B． C． D．
【解析】
【解法一】(向量回路)：如图，
，
，即．故选：．
【解法二】 (特殊化建系)：取C为直角，并以C为原点，CA、CB所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设A(3a,0),B(0,3b)，由BD=2DA知D为靠近A的三等分点，从而D(2a,b)，∴。
【试题评价】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
试题亮点
（1）试题考查考生对平面向量基础知识的理解与掌握，
试题解法多样，既可以利用平面向量的线性运算按部就班地推演得到答案，也可以利用三角形的几何性质直观地看出问题的答案.
（2）试题虽较为简单，但设计精巧，为不同思维水平的考生提供了发挥的空间.
（3）试题给定了两个基向量 CA，CD，由此可以唯一确定其他向量的代数表示.在高中数学教学中，教师可以引导学生研究此类问题.这种代数表示的系数实际上是仿射坐标系中的坐标，如试题中 CB=-2CA+3CD表示了 CB相对于坐标原点为C.在基向量为CA和CD的坐标系中，CB的坐标分别是-2和3.教师在指导学生研究此题时，还可以引导学生考虑其他基向量下 CB的坐标表示或者其他向量的坐标表示，以此提高学生对平面向量基本定理深刻且全面的理解．试题在考查三角形和平面向量必备知识的同时，意在引导高中数学教学对平面向量基本定理的深刻理解与把握，引导学生要对向量几何有深刻的理解和把握.
知识要点整理
　一.平面向量基本定理
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
反思感悟　平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．
二、两向量的夹角与垂直
1．夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．
2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
三、　向量数量积的定义
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
思考　若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0
答案　在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
四、　投影向量
1．如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b的投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
2．如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
五、　平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
三年真题
1．已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.
故选：D
2．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D

3．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
4．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
5．在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
6．已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
7．（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
8．（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
9．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
【答案】
【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．
10．已知向量．若，则______________．
【答案】##
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
11．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
12．已知向量，，，_______．
【答案】
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
13．已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】由题意，设，
则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
14．已知向量，若，则__________．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
15．若向量满足，则_________.
【答案】
【详解】∵
∴
∴.
故答案为：.
16．已知向量．若，则________．
【答案】.
【详解】,
，解得,
故答案为：.
17．已知向量，若，则_________．
【答案】
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
四、双空题
18．在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________
【答案】
【详解】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
19．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
【答案】 1
【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
20．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________；________.
【答案】 0 3
【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，
，，
.
故答案为：0；3.
三年模拟
一、单选题
1．已知圆的弦AB的中点为，直线AB交y轴于点M，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【详解】由题设可得，圆心，则．
根据圆的性质可知，，
∴AB所在直线的方程为，即．
联立方程，可得：，
设，，则，故，
中，令，得，
∴.
故选：A．
2．如图，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：A
3．设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由，得，
所以，
又，
所以，
即，
得，又，所以，
所以k的取值可以是2.
故选：B.
4．若向量满足（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】向量满足，
则，解得，
所以.
故选：C
5．已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得，
设，则.
由于，所以A，B，D三点共线，如图所示，
∵与反向共线，，∴，∴，
∴.
故选：D
6．已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知，
因为，所以.
所以在方向上的投影向量为.
故选：B．
二、填空题
7．已知向量，若，则___________.
【答案】##
【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得，再利用平面向量线性运算与模的坐标表示即可求得结果.
【详解】因为，，
所以，得，则，
所以，
故.
故答案为：.
8．已知向量，若，则______.
【答案】3
【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式即可求出结果.
【详解】因为向量且，
所以解得，
故答案为：3
9．已知，，则______．
【答案】
【详解】由题意得，，所以．
故答案为：．
10．如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，，则的最小值为______.
【答案】8
【详解】设，，则，，，，所以，
所以，又，
所以，所以，
因为，，所以，，所以，
即，同理可得，若则，，因为，，所以，所以，即，此时三点重合，与已知矛盾，所以，同理
所以，
当且仅当，即，时取等号；
所以的最小值为8．
故答案为：8．
11．已知，，且，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由题意，，故均在圆心为原点，半径为2的圆上.
①当为直径时，，
又为在直径上的投影，故，此时；
②当不为直径时，，设，
数形结合可得在上的投影，
故，即，
故当，时有最小值，此时.
综上可得的取值范围是.
故答案为：
12．已知，，且，则的最小值是_____________．
【答案】
【详解】解：由题知，三点共圆，圆心为坐标原点，半径为，
所以，，
设，
数形结合可得在上的投影，
所以，，即，
故当，时有最小值，此时.
当时，时有最大值，
所以，
综上，的取值范围是，
所以，的最小值是
故答案为：
13．已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为______．
【答案】
【详解】设向量与的夹角为，，则，
，
所以当时，取得最小值为，
即，
所以.
如图所示，设，三角形是等边三角形，
设是的中点，则，
由于，所以，
所以点的轨迹是以为直径的圆，圆的半径为，
根据圆的几何性质可知，即的取值范围为.
故答案为：
14．已知平面向量、满足，，则在方向上的数量投影的最小值是______.
【答案】2
【详解】因为在方向上的数量投影为，
所以当最小时，数量投影取得最小值.
设，则.
因为，则当时，有最小值6.
所以，在方向上的数量投影的最小值是.
故答案为：2.
15．在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为____________.
【答案】
【详解】解:由题知在方向上的数量投影是-2,
,
,
,即,
记,
则,
若求的最小值即求的最小值,
过点作的垂线交于点,此时最小,
如图所示:
,
故答案为:
16．设向量，满足，则__________.
【答案】3
【详解】由题意得，
故答案为：3
17．在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为_________.
【答案】
【分析】先求出和的坐标，再根据投影向量的定义可得答案.
【详解】依题意：
所以在方向上的投影向量为：
故答案为：
三、解答题
18．在中，内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
即，
所以，
由余弦定理及得：
，
又，
所以，
即，
所以，
所以.
（2）由，
所以，
由（1），
所以，
因为为边上的中线，
所以，
所以
，
所以，
所以边上的中线的长为：.第三讲 平面向量的线性运算
真题展示
2022新高考一卷第三题
在中，点在边上，．记，，则　　
A． B． C． D．
试题亮点
（1）试题考查考生对平面向量基础知识的理解与掌握，
试题解法多样，既可以利用平面向量的线性运算按部就班地推演得到答案，也可以利用三角形的几何性质直观地看出问题的答案.
（2）试题虽较为简单，但设计精巧，为不同思维水平的考生提供了发挥的空间.
（3）试题给定了两个基向量 CA，CD，由此可以唯一确定其他向量的代数表示.在高中数学教学中，教师可以引导学生研究此类问题.这种代数表示的系数实际上是仿射坐标系中的坐标，如试题中 CB=-2CA+3CD表示了 CB相对于坐标原点为C.在基向量为CA和CD的坐标系中，CB的坐标分别是-2和3.教师在指导学生研究此题时，还可以引导学生考虑其他基向量下 CB的坐标表示或者其他向量的坐标表示，以此提高学生对平面向量基本定理深刻且全面的理解．试题在考查三角形和平面向量必备知识的同时，意在引导高中数学教学对平面向量基本定理的深刻理解与把握，引导学生要对向量几何有深刻的理解和把握.
知识要点整理
　一.平面向量基本定理
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
反思感悟　平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．
二、两向量的夹角与垂直
1．夹角：已知两个 a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．
当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b反向．
2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
三、　向量数量积的定义
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
思考　若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0
答案　在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
四、　投影向量
1．如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b的 ，叫做向量a在向量b上的投影向量．
2．如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
五、　平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b| |a||b|.
三年真题
1．已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
4．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
7．（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
8．（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
10．已知向量．若，则______________．
11．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
12．已知向量，，，_______．
13．已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.
14．已知向量，若，则__________．
15．若向量满足，则_________.
16．已知向量．若，则________．
17．已知向量，若，则_________．
四、双空题
19．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
三年模拟
一、单选题
1．已知圆的弦AB的中点为，直线AB交y轴于点M，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
2．如图，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若向量满足（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知向量，若，则___________.
8．已知向量，若，则______.
9．已知，，则______．
10．如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，，则的最小值为______.
11．已知，，且，则的取值范围是___________.
12．已知，，且，则的最小值是_____________．
13．已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为______．
14．已知平面向量、满足，，则在方向上的数量投影的最小值是______.
15．在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为____________.
16．设向量，满足，则__________.
17．在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为_________.
三、解答题
18．在中，内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.

展开更多......

收起↑