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第7讲 比较大小
真题展示
2022新高考一卷第7题
设，，，则　　
A． B． C． D．
【解析】
【解法一】(构造法1)构造函数，，则，，
当时，，∴时，，单调递减；时，，单调递增，
在处取最小值（1），，
，，；
，，，；
，而，，
．故选：．
【解法二】(构造法2)：先比较a与b。设F(x)=(1 x) 1,0再比较a与c。易知≥x+1，当且仅当x=0时取等号，取x=0.1，得>1.1,∴a=0.1>0.11.
设G(x)=2lnx x+,x>1，则(x)=<0,∴G(x)在x>1上减，故G(x)【解法三】：由不等式得，
又因为，所以，所以；
由得，得，所以
所以.所以，综上.故选项C正确.
【试题评价】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
考查目标 试题以三个数值大小的比较为具体情境，通过数值的共性与特点，构建函数模型，研究导函数的符号，得到函数的单调性，从而得到函数不等式和所需结论.试题考查了考生分析问题、解决问题的能力.作为新高考试卷的题目，试题紧扣课程标准，力图引导教学，符合基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，体现了较好的选拔功能.
试题亮点 以往的试题中，大小比较的问题往往通过差值比较或商值比较，结合对数函数与指数函数的性质即可得到结论，试题将函数、导数、不等式这三者通过比较大小的问题有机结合起来，成为一大亮点. 值得注意的是，试题的解法多样，构造函数的方法也不尽相同，这为不同能力层次的考生提供了发挥的空间．但有部分考生应用了泰勒公式等大学数学的知识，这是没有任何基础的．对于泰勒公式的使用条件与结论，很多考生均不清楚，生搬硬套会导致理解不透彻，甚至得到错误答案．对于高中生而言，不应该使用二级结论，对自己不清楚的结论更不能随意使用．试题源于教材，紧扣课标，可以对考生的能力进行很好的区分，具有较好的选拔功能.
知识要点整理
（一）常用技巧和方法
1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：
判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和
（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数
（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数
例如：等
2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了
3、比较大小的两个理念：
（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况
例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同
，从而只需比较底数的大小即可
（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较
4、常用的指对数变换公式：
（1）
（2）
（3）
（4）换底公式：
进而有两个推论：（令）
（二）利用函数单调性比较大小
1、函数单调性的作用：在单调递增，则
(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）
2、导数运算法则：
（1）
（2）
3、常见描述单调性的形式
（1）导数形式：
单调递增；单调递减
（2）定义形式：或：
表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减
4、技巧与方法：
（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点
（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整
（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较
（三）数形结合比较大小
1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系
（1）若关于轴对称，且单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小
（2）若关于轴对称，且单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大
2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.
三年真题
1．设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且的图象关于直线对称，则下面正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为在上以为周期，对称轴为，且在内单调递减，
所以，，
，
，即.
故选：B．
2．如果函数对于任意实数t都有，那么（ ）
A．f(2)C．f(4)【答案】A
【详解】因函数对于任意实数t都有，则其图象对称轴为，且在上递增，
于是得，而，
所以.
故选：A
3．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，函数在上是增函数，再根据函数的图象关于直线对称，可得函数在上是减函数，故离直线越近的点，函数值越小，，，，∴，
故选：B.
4．已知函数，其图象上两点的横坐标，满足，且，则有（ ）
A． B．
C． D．，的大小不确定
【答案】C
【分析】根据函数，作差比较.
【详解】已知函数，
所以，
，
，
因为，，
所以.
故选：C
5．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：注意到， ，，从而有；因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，所以有，而，，所以有，故选Ａ．
考点：１．函数的奇偶性与单调性；２．三角函数的大小．
6．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2﹣|x﹣4|，
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：利用函数的周期性及x∈[3，5]时的表达式f（x）=2-|x-4|，可求得x∈[-1，1]时的表达式，从而可判断逐个选项的正误．
解：∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数，
又当x∈[3，5]时f（x）=2-|x-4|，∴当-1≤x≤1时，x+4∈[3，5]，∴f（x）=f（x+4）=2-|x|，
∴f(sin))=f()=-=f(cos ))，排除A，
f（sin1）=2-sin1＜2-cos1=f（cos1）排除B，
f(sin))=2-＜2-=f(cos )，D正确；
f（sin2）=2-sin2＜2-（-cos2）=f（cos2）排除C．
故选：D
7．已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令
，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
因为，所以，所以，选A．
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，则．
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减．
由，得，即，则，得．
当时，，即．
在上式中，令，又，则，从而，即，
得，
即，所以，
综上可得，，即．
故选：D．
三年模拟
1．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，定义域关于原点对称，
，
所以为上的偶函数，
当时,，设，
则，，，
所以即在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,又因为为偶函数,
所以在上单调递增，
又因为,,
又因为,
因为,，所以,
所以，即,
所以,
所以,
即.
故选：D.
2．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由，同理，，
令，，
当时，，当时，，
可得函数的递减区间为，递增区间为，而2 < e < 3 < 4，
又由，，可得，，
，
又由及的单调性，可知，
故．
故选：C．
3．已知定义在R上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）．
①，②函数为周期函数，③函数为R上的偶函数，④．
A．①② B．②③④ C．②④ D．①②③
【答案】A
【详解】因为为偶函数，所以是的一条对称轴，又关于轴对称后得到，横坐标伸长为原来的3倍得到，向右平移个单位得到，所以时的一条对称轴，则；
因为为奇函数，所以是的一个对称中心，同理可得是的一个对称中心，则，
又为R上的奇函数，所以会经过这个点，代入得，因为是的一条对称轴，所以，故①正确；
由和得，则，，所以是的一个周期，故②正确；
由得，又是的一个周期，所以，则为奇函数，故③错；
因为时，，则在上单调递增，因为为奇函数，所以在上单调递增，即在上单调递增，因为，所以，所以，故④错.
故选：A.
4．已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设 ，则，
由题意知当时，，即，
故在时单调递增，
故 ，即，
故选：D.
5．己知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由于函数为定义在上的奇函数，
所以，，
又，
所以，
所以函数的图像关于直线对称.
又，
所以，
所以函数是周期4的周期函数，
所以.
当时，，
显然在上单调递增.
又，
所以
所以根据在上单调递增
可得.
即.
故选：A.
6．已知函数的定义域为，导函数为，若恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设函数，因为，，
所以，则，
所以在上单调递减，
从而,即.
所以，，，.
故选：B
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，于是，
同理由，可得.
对于，两边同时取对数得，于是.
构造函数，则，，
因为，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
即，又，，，
如图所示，
所以.
故选：A.
8．已知，，，下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，则在上恒成立，
所以在单调递增，
所以，即，
所以，
又在单调递增，
所以，即，
所以；
设，则在上恒成立，
所以在单调递减，
所以，即，
所以，即
所以；
综上所述：，
故选：C
9．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令函数，，求导得：，令，，
有，因此函数在上递减，即有，即，
于是得在上递减，而，则，即，，则，
又，则，即，有，则，
所以.
故选：B
10．已知是定义在R上的函数，是的导函数，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令，则，则是增函数，所以，即，所以.
故选：D．
11．已知是定义在上的奇函数，且，对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以，即函数为偶函数，
因为对于上任意两个不相等实数和，都满足，
所以函数在上单调递增，
因为，
因为，
所以，，即.
故选：A
12．已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则，
由，解得，由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
因为，
所以，即，
所以，所以，
又递增，
所以，即；
，
在同一坐标系中作出与的图象，如图：
由图象可知在中恒有，
又，所以，
又在上单调递增，且
所以，即；
综上可知：，
故选：A
13．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，则.
因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减.
而，，
所以在上有.
所以在上单调递减.
所以，即.故.
故选：D.
14．设，，，则a，b，c之间的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【答案】A
【详解】构造函数， x＞－1，则，
当－1＜x＜0时，，单调递增，当x＞0时，，单调递减，
∴，∴（当x＝0时等号成立），
∴，则c＜b，
构造函数，0＜x＜1，则，
令，0＜x＜1，∴，单调递增，
∴，∴，单调递增，
从而，∴，即，则a＞b．
∴c＜b＜a．
故选：A．
15．设，，，则的大小关系正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由，，
令，构造函数，，
则，因为，所以
得，
下面说明，
因为，所以，即，所以，
所以当时，，所以在是增函数，
因为，所以，
即，整理可得，即，
因为，，
令，构造函数，，
则，令，
则，故在是增函数，
所以 ，所以在是增函数，
所以，即，
所以，即，
综上，.
故选：C.
16．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，则，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，故，即；
又因为，所以，
综上，．
故选：D．
17．已知,,,则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为,构造函数求导易证
所以
所以
因为,构造函数求导易证
所以
所以
因为,构造函数求导易证
所以
而
所以
综上
故选：B
18．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为是定义在R上的奇函数且满足，
，所以的图象关于直线对称，
在上是减函数，则在上是增函数，
又是奇函数，所以在上是增函数，
所以在上是增函数，在上是减函数，
结合奇函数得，所以，
，，，
所以，即，
故选：C．
19．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
所以，，即，则，
，
因此，.
故选：D.
20．已知，，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，，
构造函数，定义域为，
求导得，所以，函数在上单调递增，
因为，，又，则，则，即，即，
因为，，，故.
故选：A.第7讲 比较大小
真题展示
2022新高考一卷第7题
设，，，则　　
A． B． C． D．
考查目标 试题以三个数值大小的比较为具体情境，通过数值的共性与特点，构建函数模型，研究导函数的符号，得到函数的单调性，从而得到函数不等式和所需结论.试题考查了考生分析问题、解决问题的能力.作为新高考试卷的题目，试题紧扣课程标准，力图引导教学，符合基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，体现了较好的选拔功能.
试题亮点 以往的试题中，大小比较的问题往往通过差值比较或商值比较，结合对数函数与指数函数的性质即可得到结论，试题将函数、导数、不等式这三者通过比较大小的问题有机结合起来，成为一大亮点. 值得注意的是，试题的解法多样，构造函数的方法也不尽相同，这为不同能力层次的考生提供了发挥的空间．但有部分考生应用了泰勒公式等大学数学的知识，这是没有任何基础的．对于泰勒公式的使用条件与结论，很多考生均不清楚，生搬硬套会导致理解不透彻，甚至得到错误答案．对于高中生而言，不应该使用二级结论，对自己不清楚的结论更不能随意使用．试题源于教材，紧扣课标，可以对考生的能力进行很好的区分，具有较好的选拔功能.
知识要点整理
（一）常用技巧和方法
1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：
判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和
（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数
（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数
例如：等
2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了
3、比较大小的两个理念：
（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况
例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同
，从而只需比较底数的大小即可
（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较
4、常用的指对数变换公式：
（1）
（2）
（3）
（4）换底公式：
进而有两个推论：（令）
（二）利用函数单调性比较大小
1、函数单调性的作用：在单调递增，则
(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）
2、导数运算法则：
（1）
（2）
3、常见描述单调性的形式
（1）导数形式：
单调递增；单调递减
（2）定义形式：或：
表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减
4、技巧与方法：
（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点
（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整
（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较
（三）数形结合比较大小
1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系
（1）若关于轴对称，且单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小
（2）若关于轴对称，且单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大
2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.
三年真题
1．设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且的图象关于直线对称，则下面正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果函数对于任意实数t都有，那么（ ）
A．f(2)C．f(4)3．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，其图象上两点的横坐标，满足，且，则有（ ）
A． B．
C． D．，的大小不确定
5．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令则
A． B． C． D．
6．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2﹣|x﹣4|，
A． B．
C． D．
7．已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令
，则
A． B． C． D．
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
三年模拟
1．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知定义在R上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）．
①，②函数为周期函数，③函数为R上的偶函数，④．
A．①② B．②③④ C．②④ D．①②③
4．已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．己知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的定义域为，导函数为，若恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
9．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知是定义在R上的函数，是的导函数，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是定义在上的奇函数，且，对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
13．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
14．设，，，则a，b，c之间的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
15．设，，，则的大小关系正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
16．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
17．已知,,,则( )
A． B． C． D．
18．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
19．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
20．已知，，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．

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