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第8讲 球与几何体的切接问题
真题展示
2022新高考一卷第8题
已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【思路分析】画出图形，由题意可知求出球的半径，设正四棱锥的底面边长为，高为，由勾股定理可得，又，所以，由的取值范围求出的取值范围，又因为，所以该正四棱锥体积，利用导数即可求出的取值范围．
【解析】【解法一】(统一为h)：如图所示，正四棱锥各顶点都在同一球面上，连接与交于点，连接，则球心在直线上，连接，
设正四棱锥的底面边长为，高为，
在中，，即，
球的体积为，球的半径，
在中，，即，
，，
，又，，
该正四棱锥体积，
，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
（4），
又，，且，
，
即该正四棱锥体积的取值范围是，，
故选：．
【解法二】(统一为l)：由球的体积为36π，得球的半径R=3.
设正四棱锥的底面边长为a，高为h，则= ，=+，解得h=，=2 ,于是正四棱锥的体积V=h=(2 )，设x=∈[9,27]，则V=,求导得=),由>0得9≤x<24, 由<0得24注：亦可以运用三元基本不等式+边界值求解。
知识要点整理
球与各种几何体切、接问题
近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。
首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.
一、球与柱体的切接
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
球与正方体
（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；
数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.
（2）正方体的棱切球，如图2. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.
（3）正方体的外接球，如图3. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；
数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.
例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）
A． B． C． D．
思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面截面所得圆面的半径得知直线被球截得的线段就是球的截面圆的直径.
球与长方体
例2 自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值．
结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线．
例 3（全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. B. C. D.
思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.
球与正棱柱
（1）结论1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
（2）结论2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
二、 球与锥体的切接
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1、正四面体与球的切接问题
（1） 正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；
数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；
例4　正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为______．
【解析】　如图正四面体A－BCD的中心为O，即内切球球心，内切球半径R即为O到正四面体各面的距离．∵AB＝a, ∴正四面体的高h＝a，又VA－BCD＝4VO－BCD，（）∴R＝h＝a.
（2）正四面体的外接球，位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；
数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；（可用正四面体高减去内切球的半径得到）
例5 求棱长为1的正四面体外接球的半径。
设SO1是正四面体S－ABC的高，外接球的球心O在SO1上，设外接球半径为R，AO1＝r，
则在△ABC中，用解直角三角形知识得r＝，
从而SO1＝＝＝，
在Rt△AOO1中，由勾股定理得R2＝(－R)2＋()2，解得R＝.
结论：正四面体的高线与底面的交点是△ABC的中心且其高线通过球心，这是构造直角三角形解题的依据．此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的，内切球的半径是正四面体高的.
（3） 正四面体的棱切球，位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；
数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有
例6
例7设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．
思路分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．
（4）为什么正四面体外接球和内切球心是同一个点？
2.其它棱锥与球的切接问题
（1）球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
（2）球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.
结论1：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．
结论2：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．
途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．
途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．
途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．
途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．
例8 正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
思路分析：此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系，由等体积法可得：，得到．
例9（福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .
思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法.三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.
点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这是解决几何体与球切接问题常用的方法．
例10【2012年新课标高考卷】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，是球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
思路分析：的外接圆是球面的一个小圆，由已知可得其半径，从而得到点到面的距离.由为球的直径点到面的距离即可求得棱锥的体积.
练习：
3、由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．
4、内切球问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
三、 球与球相切问题
对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.
例11 已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为 .
思路分析：结合图形，分析四个球的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB中点为E、CD中点为F，连结EF.在△ABF中可得，在△EBF中可得.
由于对称性可得第五个球的球心O在EF上，连结OA、OD.设第五个球的半径为r，根据OE+OF=EF建立的方程.
例12把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．
思路分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．
四、球与几何体的各条棱相切问题
球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：.
例13 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ）
A．l0cm B．10 cm
C．10cm D．30cm
思路分析：根据题意球心O在图中AP上，过O作BP的垂线ON垂足为N，ON=R，OM=R，由各个棱都为20，得到AM=10，BP=20,BM=10，AB=,设，在BPM中，由,得.在PAM中, 由,得.在ABP中得, ，在ONP中得, ,从而，.在OAM中, 由,建立方程即可得解.
球与旋转体切接问题
首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．
例14 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．
例15 在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．
思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图中，观察与和棱长间的关系即可．
综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相结合，题目的难易不一，在复习中切忌好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目的类型，升华解题的境界.
三年真题
1．已知正四面体的表面积为，其四个面的中心分别为，设四面体的表面积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，正四面体四个面的中心分别为、、、，
四面体也是正四面体．
连接并延长与交于点，
连接并延长与交于点．
、分别为面的中心，
．．
又，．
面积比是相似比的平方，两四面体的面积比为；．
故选：．
2．已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．平面，
到平面的距离等于到平面的距离，由题计算得，在中，，边上的高，所以，所以，利用等体积法，得: ,解得:
考点：利用等体积法求距离
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
分析：由题意连接A1C1，则∠AC1A1为所求的角，在△AC1A1计算．
解：连接A1C1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．
在△AC1A1中，sin∠AC1A1===．
故选D．
4．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）.
A．直线AA1 B．直线A1B1
C．直线A1D1 D．直线B1C1
【答案】D
【详解】试题分析：
只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与都是异面直线，故选D．
5．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
6．正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.
故选：D.
7．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
8．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】B
【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，
所以积水厚度，属于中雨.
故选：B.
9．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，
所以，
又，
则，
所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故选：C.
11．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为，则，
当且仅当即时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，
(当且仅当，即时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高.
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，
，，单调递增， ，，单调递减，
所以当时，最大，此时．
故选：C.
三年模拟
1．已知正四面体的棱长为6，设集合，点平面，则表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】过点作平面于点，
则，
因为，则，
则表示的区域为以为圆心，2为半径的圆及其内部，
面积为，
故选：C.
2．已知直线l与平面相交，则下列命题中，正确的个数为（ ）
①平面内的所有直线均与直线l异面；
②平面内存在与直线l垂直的直线；
③平面内不存在直线与直线l平行；
④平面内所有直线均与直线l相交.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】在长方体中，取平面为平面，直线为直线，
则直线l与平面相交，满足条件，
对于命题①，因为直线平面，直线与直线相交，所以命题①错误，
对于命题④，因为直线平面，直线与直线不相交，所以命题④错误，
对于命题②，若直线l与平面垂直，则任取直线，都有，即平面内存在与直线l垂直的直线；若直线l与平面不垂直，如图，，在直线上任取异于点的点，过点作平面，垂足为，连接，在平面过点作直线，因为平面，，所以，又，，平面，所以平面，直线平面，所以直线，故平面内存在与直线l垂直的直线；命题②正确，
对于命题③，如图，假设平面内存在直线与直线l平行；
因为，，，所以，与矛盾，所以平面内不存在直线与直线l平行；命题③正确，
故选：B.
3．如图，长方体中，，，，点，分别为，的中点，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：在长方体中，连接，，
三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，
在中，取中点，连接，则为边的垂直平分线，
所以的外心在上，设为点，连接．
同理可得的外心，连接，则三棱柱外接球的球心为的中点，设为点．
由图可得，，又，，解得，
所以，所以.
故选：B．
4．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，
易得.
取的中点O，连接，易得，
∴.
∴多面体的体积
，
故选：A.
5．在三棱柱中，底面，，点是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】取中点，连接，
由题意知：为等边三角形，则为等边三角形，，
平面，平面平面，平面，
又平面，，
平面，平面，
不妨设，则，，，
，，
，，
，即截面分棱柱的两部分的体积比为.
故选：D.
6．已知边长为的菱形中，，沿对角线把折起，使二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，三棱锥中，，平面平面，
取BD中点E，连接CE，AE，则，而平面平面，平面，
则平面，平面，因此平面平面，同理平面平面，
令点分别为正，正的中心，在平面内分别过点作的垂线，它们交于点O，连OC，
因此平面，平面，而分别为三棱锥的外接球被平面，平面所截得的小圆圆心，
则是三棱锥的外接球的球心，而，，
显然四边形为正方形，，则球半径，
所以三棱锥的外接球的表面积.
故选：A
7．在棱长为的正方体中，为的中点，点在正方体各棱及表面上运动且满足，则点轨迹所围成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分别取、的中点、，连接、、，设，
在正方体中，且，
因为、分别为、的中点，则且，
故四边形为平行四边形，故且，
因为且，且，故四边形为平行四边形，
因为，，，故，
所以，，则，
所以，，故，
平面，、平面，，，
，、平面，平面，
若点在的边上运动时（不包括点），则平面，故，
由勾股定理可得，易知四边形为矩形，
故点轨迹所围成图形的面积即为矩形的面积，即为.
故选：A.
8．已知在四棱锥中，底面于点，且，和均是边长为2的等边三角形，则底面的面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，设分别为的中点，连接，
因为底面，面，
所以，
又因和均是边长为2的等边三角形，
所以，
又平面，
所以平面，
因为平面，所以，
同理，
在中，，
则，
同理，
，
在中，因为为的中点，且，
所以为等腰直角三角形，且，
同理为等腰直角三角形，且，
设，则，
则，
故，
所以底面的面积为.
故选：A.
9．在正四棱锥中，，则该四棱锥内切球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】过点作平面，则为正方形的中心，连接，如图，
因为，所以，所以，
则四棱锥的体积，
四棱锥的表面积.
设四棱锥内切球的半径为，内切球的球心为，
由，可得，即，
解得，故四棱锥内切球的表面积是.
故选：C
10．已知A，B，C均在球O的球面上运动，且满足，若三棱锥体积的最大值为6，则球O的体积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，当点C位于垂直于平面的直径端点时，三棱锥的体积最大，
设球O的半径为R，此时，
故，则球O的体积为.
故选：C．
11．已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆锥的内切球的半径为，则，所以.又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为，圆锥的底面半径为， 则圆锥的体积.
故选：C.
12．四面体ABCD的顶点都在半径为2的球面上，正三角形ABC的面积为，则四面体ABCD的体积最大为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设正三角形的边长为，，
所以，
由正弦定理为的外接圆的半径)
所以，
所以球心到平面的距离，
则四面体体积最大为.
故选：B
13．如图，在正四棱柱中，，，分别为和的中点，过，，三点的平面截正四棱柱得一多边形，则该多边形在平面上的投影图形的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【详解】解：正四棱柱中，，与必相交，记交点为，
连接延长交于，交于，连接并延长交于，连接，，
则四边形为截面四边形，过作于，连接，
则截面在平面上的投影图形为，
截面与正四棱柱的交线，，∴截面是平行四边形，可得是平行四边形，
，，∴为中点，，为的中点，∴，得，平行四边形底为1高为3，
故投影四边形的面积为．
故选：D．
14．在正方体中,动点在棱上,动点在线段上,为底面的中心,若,,则四面体的体积（ ）
A．与,都有关 B．与,都无关
C．与有关,与无关 D．与有关,与无关
【答案】B
【详解】解:由题意连接,,,,,,如图所示,
平面,
到平面的距离等于到平面的距离,
也等于到平面的距离,即为定值,
,
到直线的距离为两平行线之间的距离,即为定值,
为定值,
的面积为定值,
,
四面体的体积是与,无关的定值.
故选:B
15．如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点，点G是棱的中点，则过线段AG且平行于平面的截而图形为（ ）
A．等腰梯形 B．三角形 C．正方形 D．矩形
【答案】A
【详解】取BC中点H，连接AH，GH，，.如下图所示：
由题意得，.又平面，平面，
平面，同理平面.又，平面，平面平面，故过线段且与平面平行的截面为四边形，显然四边形为等腰梯形.故选：A第8讲 球与几何体的切接问题
真题展示
2022新高考一卷第8题
已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
知识要点整理
球与各种几何体切、接问题
近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。
首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.
一、球与柱体的切接
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
球与正方体
（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；
数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.
（2）正方体的棱切球，如图2. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.
（3）正方体的外接球，如图3. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；
数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.
例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）
B． C． D．
球与长方体
例2 自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值．
例 3（全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. B. C. D.
球与正棱柱
（1）结论1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
（2）结论2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
二、 球与锥体的切接
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1、正四面体与球的切接问题
（1） 正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；
数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；
例4　正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为______．
例5 求棱长为1的正四面体外接球的半径。
结论：正四面体的高线与底面的交点是△ABC的中心且其高线通过球心，这是构造直角三角形解题的依据．此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的，内切球的半径是正四面体高的.
（3） 正四面体的棱切球，位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；
数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有
例6
例7设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．
（4）为什么正四面体外接球和内切球心是同一个点？
2.其它棱锥与球的切接问题
（1）球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
（2）球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.
结论1：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．
结论2：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．
途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．
途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．
途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．
途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．
例8 正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
例9（福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .
思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法.三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.
点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这是解决几何体与球切接问题常用的方法．
例10【2012年新课标高考卷】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，是球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
思路分析：的外接圆是球面的一个小圆，由已知可得其半径，从而得到点到面的距离.由
练习：
3、由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．
4、内切球问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
三、 球与球相切问题
对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.
例11 已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为 .
思路分析：结合图形，分析四个球的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB中点为E、CD中点为F，连结EF.在△ABF中可得，在△EBF中可得.
由于对称性可得第五个球的球心O在EF上，连结OA、OD.设第五个球的半径为r，根据OE+OF=EF建立的方程.
例12把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．
思路分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体
四、球与几何体的各条棱相切问题
球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：.
例13 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ）
A．l0cm B．10 cm
C．10cm D．30cm
球与旋转体切接问题
首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．
例14 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
例15 在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．
综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相结合，题目的难易不一，在复习中切忌好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目的类型，升华解题的境界.
三年真题
1．已知正四面体的表面积为，其四个面的中心分别为，设四面体的表面积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为
A．2 B． C． D．1
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为
A． B． C． D．
4．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）.
A．直线AA1 B．直线A1B1
C．直线A1D1 D．直线B1C1
5．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
6．正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
7．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
8．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
9．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
三年模拟
1．已知正四面体的棱长为6，设集合，点平面，则表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线l与平面相交，则下列命题中，正确的个数为（ ）
①平面内的所有直线均与直线l异面；
②平面内存在与直线l垂直的直线；
③平面内不存在直线与直线l平行；
④平面内所有直线均与直线l相交.
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，长方体中，，，，点，分别为，的中点，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱柱中，底面，，点是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A． B． C． D．
6．已知边长为的菱形中，，沿对角线把折起，使二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在棱长为的正方体中，为的中点，点在正方体各棱及表面上运动且满足，则点轨迹所围成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知在四棱锥中，底面于点，且，和均是边长为2的等边三角形，则底面的面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．在正四棱锥中，，则该四棱锥内切球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
10．已知A，B，C均在球O的球面上运动，且满足，若三棱锥体积的最大值为6，则球O的体积为（ ）．
A． B． C． D．
11．已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．四面体ABCD的顶点都在半径为2的球面上，正三角形ABC的面积为，则四面体ABCD的体积最大为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，在正四棱柱中，，，分别为和的中点，过，，三点的平面截正四棱柱得一多边形，则该多边形在平面上的投影图形的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
14．在正方体中,动点在棱上,动点在线段上,为底面的中心,若,,则四面体的体积（ ）
A．与,都有关 B．与,都无关
C．与有关,与无关 D．与有关,与无关
15．如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点，点G是棱的中点，则过线段AG且平行于平面的截而图形为（ ）
A．等腰梯形 B．三角形 C．正方形 D．矩形

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