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第9讲 空间角
真题展示
2022新高考一卷第9题
已知正方体，则　　
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为
D．直线与平面所成的角为
【思路分析】求出异面直线所成角判断；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断；分别求出线面角判断与．
【解析】如图，
连接，由，，得四边形为平行四边形，
可得，，直线与所成的角为，故正确；
，，，平面，而平面，
，即直线与所成的角为，故正确；
设，连接，可得平面，即为直线与平面所成的角，
，直线与平面所成的角为，故错误；
底面，为直线与平面所成的角为，故正确．
故选：．
【试题评价】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
试题亮点 正方体是最常见的几何形体之一，它虽然结构简单，但却拥有丰富的几何性质.试题简洁明了，考查目的明确，考查内容源于教材，属于学生知识储备中的基础性知识。考生只需具有基本的空间想象能力和构图能力，通过简单的运算求解即可得到正确答案．试题对中学数学教学具有积极的引导作用和指导意义.试题面向全体考生，同时也为不同能力层次的考生提供了多样性展示平台，增强考生自信心，促进考生正常发挥水平.
知识要点整理
一、线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2.
二、　线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则
l∥α u⊥n u·n＝0.
三、　面面平行的向量表示
设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2 .
四、线线垂直的向量表示
设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则
l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0.
五、　线面垂直的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l α，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn.
六、　面面垂直的向量表示
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
七、两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
八、　 空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝
两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
三年真题
一、单选题
1．如图，是直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
可得，，
，
此时，与所成角的余弦值是.
故选：A
2．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
所以，
故选：D
3．正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（ ）
A．60° B．90° C．45° D．120°
【答案】B
【详解】设，，，，
则，，
，
∴，∴与所成的角的大小是，
故选：B
4．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝
5．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1）∴ =（-2，0，1）， =（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
二、解答题
6．如图，平面平面，，直线AM与直线PC所成的角为，又．
(1)求证：；
(2)求二面角的大小；
(3)求多面体的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，由平面，
得；
（2）
由(1)知，建立如图空间直角坐标系，设，
则，有，
又直线AM与直线PC所成的角为，得，
即，解得，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
易知平面的一个法向量为，
则，
又二面角的所成角为锐角，
所以二面角的所成角的余弦值为，
故二面角的大小为；
（3）由题意知，
多面体即为四棱锥，
则
，
即多面体的体积为.
7．如图，是直角梯形，，，，，又，，，直线与直线所成的角为．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：，则，
又因为，，、平面，平面，
平面，平面平面.
（2）解：因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且与垂直的直线作轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
，，
由题意可得，解得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，，
由图可知，二面角为锐角，故二面角的大小为.
（3）解：，，则，，
由（2）可知点到平面的距离为，
因此，.
8．如图，在长方体中，E、P分别是的中点，分别是的中点，．
(1)求证：面；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，
则：
∵分别是的中点
∴
取，显然面
，∴
又面 ∴面
（2）过作，交于，取的中点，则
设，则
又
由，及在直线上，可得:
解得，
∴ ∴ 即
∴与所夹的角等于二面角的大小.
，故二面角的大小为.
9．如图，已知长方体，直线与平面所成的角为，垂直于E，F为的中点．
(1)求异面直线与所成的角；
(2)求平面与平面所成的二面角（锐角）的大小；
(3)求点A到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
因为直线与平面所成的角为，即，又因为，所以，
设，，
因为，设，即，，
，解得，，
，因为，所以，解得，
所以，设异面直线与所成的角为，
则，所以异面直线与所成的角为；
（2）显然平面的一个法向量为，设平面的法向量为，
则，即，令得，，即，
所以，所以平面与平面所成的二面角（锐角）的大小为；
（3）由向量法可知，点A到平面的距离，即点A到平面的距离为.
三年模拟
一、单选题
1．如图， 在棱长为 2 的正方体 中，均为所在棱的中点， 则下列结论正确的有（ ）
①棱 上一定存在点， 使得
②三棱锥的外接球的表面积为
③过点 作正方体的截面， 则截面面积为
④设点 在平面内， 且平面， 则与所成角的余弦值的最大值为
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【详解】建立如图空间直角坐标系，
设， 其中，
所以 ，
若棱 上存在点， 使得， 则，
整理得， 此方程无解， ①不正确;
设 的中点为， 则四边形是边长为的正方形， 其外接圆的半径为，
又 底面， 所以三棱锥的外接球的半径为；
所以其表面积为 ，②正确;
过点 作正方体的截面， 截面如图中六边形所示，
因为边长均为 ， 且对边平行， 所以截面六边形为正六边形，
其面积为， ③正确;
点 在平面内，设，
则，
设 是平面的一个法向量， 则，
令 可得， 即，
因为平面， 所以， 即，
设与所成角为， 则，
当时，取最小值，
所以 与所成角的余弦值的最大值为，故④正确;
故选：C.
2．在各棱长均相等的直三棱柱中，点M在上，点N在AC上且，则异面直线与NB所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设棱长为3，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，．设异面直线与BN所成角为，
则，∴，∴异面直线与BN所成角的正切值为.
故选：B．
3．如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）
①∥平面； ②平面平面；
③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，
，
由正方体的性质可知：平面，则平面的法向量为，
，因为，所以，而平面，
因此∥平面，故①对；
设平面的法向量为，，，
所以有，
同理可求出平面的法向量，
因为，所以，因此平面平面，故②正确；
因为，，
所以，
因为异面直线所成的角范围为，所以直线与所成的角为，故③正确；
设直线与平面所成的角为，
因为，平面的法向量为，
所以，
所以直线与平面所成的角不是，因此④错误，
一共有个结论正确，
故选：C
4．如图，直三棱柱的底面为正三角形，M，N分别为AC，的中点，若，则异面直线与MN所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【详解】解法一：
如图，设直三棱柱的底面边长为2，，连接，
则，，，
因为，所以在中，由勾股定理可得，得.
连接，交于点P，取的中点Q，连接PQ，AQ，则，，
所以为异面直线与MN所成的角或其补角.
易知，故为等边三角形，，
所以异面直线与MN所成角的大小为60°.
解法二：
设直三棱柱的底面边长为2，，连接，
则，，，
因为，所以在中，由勾股定理可得，得.
如图，把三棱柱补成一个四棱柱，连接，，
则，，故为异面直线与所成的角或其补角.
连接AD，易知，故为等边三角形，，
所以异面直线与所成角的大小为60°.
解法三 由题可以A为坐标原点，分别以AB，所在直线为y，z轴，
在平面ABC上过点A作与AB垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设直三棱柱的底面边长为2，高为h，则，，，，
所以，，，由可得，
所以，得，所以，，则，
因为异面直线所成角的取值范围为，所以异面直线与MN所成角的大小为60°.
故选：C
5．在三棱锥中，为等边三角形，平面 ，，，点G是P在平面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，取的中点D，连接，为等边三角形，∴，
由题意知平面，平面，
故,又， ，则，
所以，而平面,所以平面,
又平面, 所以平面平面,平面平面,
∴点P在平面内的射影在直线上，连接PG，则，
在中，，，则，，
故，则,∴点G是的重心.
以P为坐标原点，过点P作的垂线为x轴，以 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，则，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为,
故选:C.
另解：同解法一得出点G是的重心.
如图，取的中心E，连接EG，则 ,故，
则异面直线与所成的角为，
因为平面，故平面，
连接CE，在中，，，,
∴，故异面直线与所成角的余弦值为,
故选：C.
6．在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①四面体外接球的表面积为
②点与点之间的距离为
③四面体的体积为
④异面直线与所成的角为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于①，取的中点，连接、，则，
因为，所以，，
所以，为四面体的外接球球心，球的表面积为，①对；
对于②③④，过点在平面内作，垂足为点，过点作交于点，
则二面角的平面角为，
在中，，，，则，，
，则，，，
，，，平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的垂线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，则、、、，
，②错，
，，③对，
，，
，故异面直线与所成角为，④错.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
7．如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．直线与直线相交
B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点
C．存在点，使得直线与直线所成角为
D．三棱锥的体积为定值
【答案】D
【详解】A：由题意知，，平面，平面
所以平面，
又平面，所以与不相交，故A错误；
B：连接，如图，
当点为的中点时，，又，所以，
若点在平面的射影为，则平面，垂足为，
所以，设正方体的棱长为2，则，
在中，，所以，
即不成立，故B错误；
C：建立如图空间直角坐标系，连接，则，
所以异面直线与所成角为直线与所成角，
设正方体的棱长为2，若存在点使得与所成角为，
则，所以，
所以，又，
得，解得，
不符合题意，故不存在点使得与所成角为，故C错误；
D：如图，
由等体积法可知，
又，
为定值，所以为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故D正确.
故选：D.
二、多选题
8．已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且分别为的中点.则（ ）
A．与平面夹角余弦值为
B．与所成角为
C．平面
D．平面平面
【答案】BCD
【详解】对于A、B：如图1，建立空间之间坐标系，设，则有：
∴
设平面的法向量为
则有，令，则
∴
则
∴与平面夹角的正弦值为，则余弦值为，A错误；
∵
∴与所成角的余弦值为，则夹角为，B正确；
如图2：
对于C：连接，设，连接
分别为的中点，则且
∴为平行四边形，则O为的中点
又∵F为的中点，则
平面，平面
∴平面，C正确；
对于D：平面即为平面
由题意可得：
，平面
∴平面
平面，则
又∵为正方形，则
，平面
平面
平面
∴平面平面，即平面平面，D正确；
故选：BCD.
9．在正方体中，，，，，分别为，，，，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直
B．点与点到平面的距离相等
C．直线与平面平行
D．与的夹角为
【答案】ABC
【详解】在正方体中，以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令，
则，
对于A，，，则，A正确；
对于B，，即，而，则，
而平面，平面，因此平面，所以点与点到平面的距离相等，B正确；
对于C，，即，而，则，
又平面，平面，因此平面，C正确；
对于D，，令与的夹角为，
则，显然，D不正确.
故选：ABC
10．如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为
B．平面
C．过点作正方体的截面，所得截面的面积是
D．异面直线与所成的角的余弦值为
【答案】ABC
【详解】
对于A，，故A正确；
对于B，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，
则，，，，，，
则平面EFG，B正确；
对于C，作中点N，的中点M，的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，则正六边形EFMGNT为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故C正确；
对于D，，，，故D错误．
故选:ABC.
11．在直三棱柱中，，，为的中点，点是线段上的点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得直线与所成的角是
C．当点是线段的中点时，三棱锥外接球的表面积是
D．当点是线段的中点时，直线与平面所成角的正切值为．
【答案】AD
【详解】易知AB、BC、两两垂直，如图建立空间直角坐标系
则
所以，，，
记
因为，所以，A正确；
因为
记直线与所成的角为，则，
因为，所以，故B错误；
当点是线段的中点时，点P坐标为
易知的外心坐标为，故设三棱锥外接球的球心为，
则，即，解得，
所以三棱锥外接球的半径，表面积，C错误；
当点是线段的中点时，，
易知为平面的一个法向量，记直线与平面所成角为，
则，
因为，所以，
所以，D正确.
故选：AD
三、填空题
12．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．
【答案】##
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，，
所以可得，
所以，
所以，
所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.
故答案为：.
13．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______．
【答案】
【详解】由题意，,,
所以，
，
，
所以
故答案为：.
四、解答题
14．如图，在直三棱柱中，D，E，F分别是的中点，．
(1)证明：平面；
(2)若，求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，
所以面ABC，又面ABC，则，
又因为，且，平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）知：平面，建立如图所示空间直角坐标系：
设AD=2，则，
所以，
设异面直线与所成的角为，
所以.
15．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点．
(1)求证：；
(2)若直线与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）在矩形中，，D为的中点，
所以，所以，
因为是正三角形，D为的中点，
所以，又因为是正三棱柱，所以平面，
而平面，所以，而平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为平面，点P为线段上，
所以平面，而平面，所以；
（2）如图以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
则，设，
则，
所以，即，解得，
所以，
设为平面的法向量，则
令，则，所以，
取为平面的法向量，所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
16．如图所示，设有底面半径为的圆锥．已知圆锥的侧面积为，为中点，．
(1)求圆锥的体积；
(2)求异面直线与所成角．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设圆锥母线长为，
，，即，
圆锥的高，
.
（2）解法一：取边上中点，连结，，，
是的中位线，；
垂直于底面，垂直于底面，；
，为中点，，即；
，平面，平面，
又平面，，即异面直线与所成角为.
解法二：取圆弧中点，连结，则；
以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，即，异面直线与所成角为.第9讲 空间角
真题展示
2022新高考一卷第9题
已知正方体，则　　
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为
D．直线与平面所成的角为
试题亮点 正方体是最常见的几何形体之一，它虽然结构简单，但却拥有丰富的几何性质.试题简洁明了，考查目的明确，考查内容源于教材，属于学生知识储备中的基础性知识。考生只需具有基本的空间想象能力和构图能力，通过简单的运算求解即可得到正确答案．试题对中学数学教学具有积极的引导作用和指导意义.试题面向全体考生，同时也为不同能力层次的考生提供了多样性展示平台，增强考生自信心，促进考生正常发挥水平.
知识要点整理
一、线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2.
二、　线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则
l∥α u⊥n u·n＝0.
三、　面面平行的向量表示
设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2 .
四、线线垂直的向量表示
设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则
l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0.
五、　线面垂直的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l α，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn.
六、　面面垂直的向量表示
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
七、两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
八、　 空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝
两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
三年真题
一、单选题
1．如图，是直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（ ）
A．60° B．90° C．45° D．120°
4．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
6．如图，平面平面，，直线AM与直线PC所成的角为，又．
(1)求证：；
(2)求二面角的大小；
(3)求多面体的体积．
7．如图，是直角梯形，，，，，又，，，直线与直线所成的角为．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求三棱锥的体积．
8．如图，在长方体中，E、P分别是的中点，分别是的中点，．
(1)求证：面；
(2)求二面角的大小．
9．如图，已知长方体，直线与平面所成的角为，垂直于E，F为的中点．
(1)求异面直线与所成的角；
(2)求平面与平面所成的二面角（锐角）的大小；
(3)求点A到平面的距离．
三年模拟
一、单选题
1．如图， 在棱长为 2 的正方体 中，均为所在棱的中点， 则下列结论正确的有（ ）
①棱 上一定存在点， 使得
②三棱锥的外接球的表面积为
③过点 作正方体的截面， 则截面面积为
④设点 在平面内， 且平面， 则与所成角的余弦值的最大值为
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．在各棱长均相等的直三棱柱中，点M在上，点N在AC上且，则异面直线与NB所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）
①∥平面； ②平面平面；
③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，直三棱柱的底面为正三角形，M，N分别为AC，的中点，若，则异面直线与MN所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．在三棱锥中，为等边三角形，平面 ，，，点G是P在平面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①四面体外接球的表面积为
②点与点之间的距离为
③四面体的体积为
④异面直线与所成的角为
A． B． C． D．
7．如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．直线与直线相交
B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点
C．存在点，使得直线与直线所成角为
D．三棱锥的体积为定值
二、多选题
8．已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且分别为的中点.则（ ）
A．与平面夹角余弦值为
B．与所成角为
C．平面
D．平面平面
9．在正方体中，，，，，分别为，，，，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直
B．点与点到平面的距离相等
C．直线与平面平行
D．与的夹角为
10．如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为
B．平面
C．过点作正方体的截面，所得截面的面积是
D．异面直线与所成的角的余弦值为
11．在直三棱柱中，，，为的中点，点是线段上的点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得直线与所成的角是
C．当点是线段的中点时，三棱锥外接球的表面积是
D．当点是线段的中点时，直线与平面所成角的正切值为．
三、填空题
12．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．
13．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______．
四、解答题
14．如图，在直三棱柱中，D，E，F分别是的中点，．
(1)证明：平面；
(2)若，求异面直线与所成角的余弦值．
15．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点．
(1)求证：；
(2)若直线与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值．
16．如图所示，设有底面半径为的圆锥．已知圆锥的侧面积为，为中点，．
(1)求圆锥的体积；
(2)求异面直线与所成角．

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