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专题2：
变力做功
问题与思考
功的计算公式W＝Flcos α只适用于恒力做功的情况，关于变力做功的问题自然就成了我们学习的难点。我们有哪些方法可以解决变力做功的问题呢？或者说我们能不能把变力转化成恒力来处理呢？
现结合例题讲一下变力做功的五种常用解法（除动能定理外）：
目录
01
等效转换法
02
功率法
03
平均力法
04
图像法
05
微元法
方法一：等效转换（等值）法
一、例题
【典例1】如图，用恒力F通过跨过光滑定滑轮的轻绳，将静止于水平面上的物体从位置A拉到位置B，物体和滑轮的大小均忽略，定滑轮距水平面高为h，物体在位置A、B时，细绳与水平面的夹角分别为α和β，求绳的拉力F对物体做的功．
【分析】功是能量转化的量度，轻绳不存储能量，恒力F做功通过绳子将能量转移到物体上，故此恒力F做功应该等于绳子对物体做的功。
h
A
B
F
二、变式训练
【变式1】人在A点拉着绳通过一个光滑定滑轮以加速度a匀加速吊起质量为m的物体，如图所示，保持人手与滑轮间的竖直距离不变，大小为h,开始时绳与水平方向成 600 角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动到B点时，绳与水平方向成300 角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦）
h
三、关键点拨
求某个过程中的变力做功，可以通过等效法把求该变力转换成恒力，此时可用功的定义式W＝Flcos α求恒力的功即可。等效转换的关键是分析清楚该变力做功到底与哪个恒力的功是相同的。
方法二：功率法
一、例题
【典例2】质量为5000Kg的汽车，在平直公路上以60kW的恒定功率从静止开始启动，速度达到24m/s的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车运动的时间.
一、例题
二、变式训练
【变式2】（多选）为了获取某款车的有关数据，某次试车过程中，试车员驾驶汽车从静止开始沿平直公路启动，并控制汽车功率按图示规律变化。已知汽车的质量为m，额定功率为P0，汽车在行驶过程中所受阻力恒为车重的K倍，在t2时刻汽车刚好获得最大速度。则下列说法正确的是（　　）
A．在t1~t2时间内汽车做匀速直线运动
B．在0~t1时间内汽车平均功率为
C．在0~t2时间内汽车发动机所做的功为
D．在t2时刻汽车的运动速度为
【参考答案】BD
二、变式训练
三、关键点拨
涉及到机车的启动、吊车吊物体等问题，如果在某个过程中保持功率P恒定，随着机车或物体速度的改变，牵引力也改变，要求该过程中牵引力的功，可以通过W=Pt求变力做功。
方法三：平均力法
二、例题
【典例3】如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k＝200 N/m的轻质弹簧相连，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4 m，求上述过程中拉力所做的功．
一、例题
【变式3】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比．已知铁锤第一次使铁钉进入木板的深度为d，接着敲第二锤，如果铁锤第二次敲铁钉时对铁钉做的功与第一次相同，那么，第二次使铁钉进入木板的深度为(　)
二、变式训练
二、变式训练
2.平均值法:如果物体受到的力是随着位移均匀变化的，则可以利用公式 求变力做功，物体受到的平均力的大小 ，其中F1为物体初状态时受到的力，F2为物体末状态时受到的力．
1.分段法:力在全程是变力,但在每一个阶段是恒力,这样就可以先计算每个阶段做的功,再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功。
三、关键点拨
方法四：图像法
在F x图像中，图线与x轴所围的“面积”的代数和表示F做的功．“面积”有正负，在x轴上方的“面积”为正，在x轴下方的“面积”为负．如图甲、乙所示，这与运动学中由v t图像求位移的原理相同．
一、关键点拨
二、例题分析
【例题4】一个物体所受的力F随位移l变化的图像如图所示,在这一过程中,力F对物体做的功为(　　)
A.3 J B.6 J C.7 J D.8 J
【参考答案】B
【解析】力F对物体做的功等于l轴上方梯形“面积”所表示的正功与l轴下方三角形“面积”所表示的负功的代数和。W1= ×(3+4)×2 J=7 J,
W2=- ×(5-4)×2 J=-1 J,所以力F对物体做的功为W=7 J-1 J=6 J,选项B正确。
二、例题分析
【变式4】如图1所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化关系如图2所示，图线为半圆。则小物块运动到x0处时F所做的总功为（　　）
A．0 B． Fmx0
C． Fmx0 D．
【参考答案】C
三、变式训练
方法五：微元法
一、例题
【例题5】如图所示，在西部的偏远山区，人们至今还通过“驴拉磨”的方式把小麦颗粒加工成粗面来食用。假设驴拉磨的平均拉力大小为300 N，驴做圆周运动的等效半径r=1.5m，则驴拉磨转动一周所做的功约为（　　）
A．0 B．300J C．1400J D．2800J
【参考答案】D
一、例题
【变式5】（多选）如图所示，半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度v在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为μ，设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做功分别为W1和W2，在这一周内摩擦力做的总功为W3，则下列关系式正确的是（　　）
A．W3=0 B．W3=W1+W2
C．W1=W2 D．W1>W2
【参考答案】BD
做曲线运动的物体，当力的大小不变,力的方向时刻与速度同向(或反向)时,把物体的运动过程分为很多小段,这样每一小段可以看成直线,先求力在每一小段上做的功,再求和即可。用微元累积法的关键是如何选择恰当的微元，如何对微元作恰当的物理和数学处理。
例如,滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反,可把运动过程细分,其中每一小段都是恒力做功,整个运动过程中所做的总功是各个阶段所做功的和,即力与路程的乘积。
三、关键点拨
四、拓展
【经典例题】如图所示，质量为m的小车以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，试求小车从轨道最低点运动到最高点的过程中，克服摩擦力做的功。
四、拓展

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