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9.2 向量运算
【题型归纳目录】
题型一：向量加法法则
题型二：向量加法运算律的应用
题型三：向量加法的实际应用
题型四：向量的减法运算
题型五：向量减法法则的应用
题型六：向量的线性运算
题型七：用已知向量表示其他向量
题型八：向量共线的判定及应用
题型九：三点共线的常用结论（鸡爪定理）
题型十：求两向量的数量积
题型十一：向量的模和夹角的计算问题
题型十二：与垂直有关的问题
【知识点梳理】
知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1、向量加法的概念及三角形法则
已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2、向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量，我们规定．
知识点诠释：
两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．
知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律
1、向量求和的多边形法则的概念
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有
2、向量加法的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：
知识点三：向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
（1）当不共线时，；
（2）当同向且共线时，同向，则；
（3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
知识点四：向量的减法
1、向量的减法
（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
知识点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．
（3）两个向量的差仍是一个向量．
2、向量减法的作图方法
（1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点五：数乘向量
1、向量数乘的定义
实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
（1）；
（2）①当时，的方向与的方向相同；
②当时．的方向与的方向相反；
③当时，．
2、向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．
3、向量数乘的运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
知识点六：向量共线的条件
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理
是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理
若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
知识点诠释：
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．
知识点七：平面向量的数量积
1、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0．
2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．
知识点诠释：
1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定．
（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
（3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0．
2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．
3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有．
知识点八：平面向量数量积的几何意义
数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即．
事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以．
知识点九：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．
1、
2、
3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或
4、
5、
知识点十：向量数量积的运算律
1、交换律：
2、数乘结合律：
3、分配律：
知识点诠释：
1、已知实数、、（），则．但是；
2、在实数中，有，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线．
【典型例题】
题型一：向量加法法则
例1．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知，求作.
(1)；
(2)
【方法技巧与总结】
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形法则 （1）首尾相接 （2）适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则 （1）共起点 （2）仅适用于不共线的两个向量求和
例2．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
例3．（2022·全国·高一课时练习）如图，请在图中直接标出：
(1)＋．
(2)＋＋＋．
题型二：向量加法运算律的应用
例4．（2022·全国·高一课时练习）化简
(1)；
(2) .
【方法技巧与总结】
向量加法运算律的意义和应用原则
（1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
（2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
例5．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，点分别为的三边的中点.
求证：
(1)；
(2).
例6．（2022·全国·高一课前预习）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
变式1．（2022·全国·高一课前预习）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)；
(2).
题型三：向量加法的实际应用
例7．（2022·全国·高一课时练习）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
【方法技巧与总结】
应用向量解决实际问题的基本步骤
（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．
（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
例8．（2022·全国·高一课时练习）如图，一艘船从A点出发，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时，河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与水流方向的夹角表示）．
例9．（2022·全国·高一课时练习）一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量、、以及．
题型四：向量的减法运算
例10．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知向量和向量，用三角形法则作出
【方法技巧与总结】
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如，可以先作，然后作即可．
（2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
例11．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知，，，，试用表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3).
例12．（2022·全国·高一专题练习）如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．
题型五：向量减法法则的应用
例13．（2022·全国·高一课前预习）化简.
(1)；
(2).
【方法技巧与总结】
（1）向量减法运算的常用方法
（2）向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和．
②起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
例14．（2022·湖南·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
例15．（2022·湖南·高一课时练习）如图，在梯形ABCD中，，AC与BD交于点O，化简．
变式2．（2022·全国·高一单元测试）化简下列各式：
(1)；
(2)．
题型六：向量的线性运算
例16．（2022·全国·高三专题练习）计算：
(1)；
(2).
【方法技巧与总结】
向量线性运算的基本方法
（1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
（2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．
例17．（2022·全国·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
例18．（2022·湖南·高一课时练习）已知，，求，与．
题型七：用已知向量表示其他向量
例19．（2022·宁夏·平罗中学高一阶段练习（文））如图所示，平行四边形中，，，，， 试用向量，来表示，．
【方法技巧与总结】
用已知向量表示其他向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
例20．（2022·江苏·高一课时练习）如图，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设，，试用表示向量，.
例21．（2022·全国·高一课时练习）如图，在△中，D，E为边的两个三等分点，，求．
变式3．（2022·全国·高一课前预习）如图所示，是平行四边形，，C是其对角线的交点，试用表示向量．
题型八：向量共线的判定及应用
例22．（2022·全国·高三专题练习）两个非零向量不共线．
(1)若，求证：A、B、D三点共线；
(2)求实数k使与共线．
【方法技巧与总结】
（1）证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可．
（2）利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．
例23．（2022·广东·高三学业考试）已知向量，不共线，若，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
例24．（2022·江苏淮安·高一期末）已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
题型九：三点共线的常用结论（鸡爪定理）
例25．（2022·湖南·长郡中学高一期中）（1）如图，，不共线，是直线上的动点，证明：存在实数，，使得，并且.
（2）用向量法证明下列结论：三角形的三条中线交于一点.
【方法技巧与总结】
应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且．
例26．（2022·全国·高一课时练习）已知，，点G是△OAB的重心，过点G的直线PQ与OA、OB分别交于P、Q两点．
（1）用、表示；
（2）若m，n，试问是否为定值，证明你的结论．
例27．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高一阶段练习）设G为的重心，过点G作直线分别交AB AC于P，Q.已知，，求的值.
题型十：求两向量的数量积
例28．（2022·全国·高二课时练习）在中，，，，求，，的值.
【方法技巧与总结】
求平面向量数量积的方法
计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
例29．（2022·广西·高二学业考试）已知向量与的夹角满足，且，，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
例30．（2022·江西赣州·高一期末）若向量，满足，且，则在方向上的投影为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
变式4．（2022·全国·模拟预测（文））在中，，，，为的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2022·北京·日坛中学高三阶段练习）已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（ ）
A． B． C．4 D．-4
变式6．（2022·上海·格致中学高三阶段练习）已知为非零向量，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
变式7．（2022·河南·高三阶段练习（文））设向量的夹角的余弦值为，且，则（ ）
A．3 B．4 C． D．6
题型十一：向量的模和夹角的计算问题
例31．（2022·山东聊城一中高一期中）已知与的夹角为．
(1)求的值；
(2)设，求的夹角．
【方法技巧与总结】
（1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方．
（2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解．
例32．（2022·河北·魏县第五中学高一期中）已知，，.
(1)求 与 的夹角 ；
(2)求 与 的夹角的余弦值．
例33．（2022·上海市陆行中学高一期末）已知向量 的夹角为，且，设，.
(1)求；
(2)试用来表示的值；
(3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.
变式8．（2022·广东·阳江市第一中学高一期中）已知向量满足，且.
(1)求；
(2)记向量与向量的夹角为，求.
变式9．（2022·湖北·高三阶段练习）已知向量满足，则向量与向量的夹角是______.
变式10．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知向量，则夹角的余弦值是__________.
变式11．（2022·福建泉州·高三开学考试）已知，为单位向量，，则_____．
变式12．（2022·西藏·拉萨中学高二阶段练习（文））已知向量、是两个非零向量，且，则与的 夹角为___________．
题型十二：与垂直有关的问题
例34．（2022·全国·高一课时练习）已知向量，不共线，向量，，.
(1)若，求实数k的值；
(2)若，为相互垂直的单位向量，且，求实数t的值.
【方法技巧与总结】
解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）．
例35．（2022·全国·高三专题练习）已知，与的夹角是.
(1)求的值及的值；
(2)当为何值时，？
例36．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，为两个夹角成的单位向量，，.
(1)求；
(2)设，问是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
变式13．（2022·山东·枣庄市第三中学高一阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E点是AB的中点，F，G点分别是AD，BC的四等分点（，）．设，，
(1)用，表示，；
(2)如果，EF、EG 有什么位置关系？用向量的方法证明你的结论．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·陕西省榆林中学高三阶段练习（理））已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二开学考试）下列关于向量的说法中正确的是（ ）
A．向量且，则向量与的方向相同或相反
B．若，则
C．若，则向量与的长度相等且方向相同或相反
D．对任意的向量满足
3．（2022·江西·九江一中高三阶段练习（理））已知三个单位向量，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海普陀·一模）设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·四川成都·一模（理））若向量满足（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2022·辽宁辽阳·高三阶段练习）在△ABC中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·河北张家口·高三期中）已知中，，设点M，N满足，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．或3
二、多选题
9．（2022·安徽·高三阶段练习）若单位向量满足，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·江苏·海安高级中学高三阶段练习）已知与均为单位向量，其夹角为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知的外接圆的圆心为O，半径为2，，且，下列结论正确的是（ ）
A．在方向上的投影长为
B．
C．在方向上的投影长为
D．
三、填空题
13．（2022·广西柳州·高三阶段练习（理））已知，，，则与的夹角是___________.
14．（2022·山东·高一阶段练习）在中，，若D为BC中点，则为_________．
15．（2022·山东·高一阶段练习）如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则_________．
16．（2022·上海交大附中高一期末）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则______．
四、解答题
17．（2022·黑龙江·哈九中高一期中）已知向量，，与的夹角为.
(1)求及；
(2)求．
18．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一阶段练习）设向量满足，．
(1)求向量的夹角；
(2)求．
19．（2022·江苏淮安·高三期中）（1）构造一个图形并解释这个公式（、均为非零向量）的几何意义；
（2）中为中点,证明：
20．（2022·全国·高一课时练习）已知向量，且，与的夹角为.，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值；
（4）若与的夹角为，求的值.
21．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足．
(1)求的值；
(2)已知的最小值为，求实数的值．
22．（2022·全国·高三专题练习）如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，，，E是BC边的中点.
(1)试用，表示，；
(2)求的值.9.2 向量运算
【题型归纳目录】
题型一：向量加法法则
题型二：向量加法运算律的应用
题型三：向量加法的实际应用
题型四：向量的减法运算
题型五：向量减法法则的应用
题型六：向量的线性运算
题型七：用已知向量表示其他向量
题型八：向量共线的判定及应用
题型九：三点共线的常用结论（鸡爪定理）
题型十：求两向量的数量积
题型十一：向量的模和夹角的计算问题
题型十二：与垂直有关的问题
【知识点梳理】
知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1、向量加法的概念及三角形法则
已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2、向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量，我们规定．
知识点诠释：
两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．
知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律
1、向量求和的多边形法则的概念
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有
2、向量加法的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：
知识点三：向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
（1）当不共线时，；
（2）当同向且共线时，同向，则；
（3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
知识点四：向量的减法
1、向量的减法
（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
知识点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．
（3）两个向量的差仍是一个向量．
2、向量减法的作图方法
（1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点五：数乘向量
1、向量数乘的定义
实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
（1）；
（2）①当时，的方向与的方向相同；
②当时．的方向与的方向相反；
③当时，．
2、向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．
3、向量数乘的运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
知识点六：向量共线的条件
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理
是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理
若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
知识点诠释：
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．
知识点七：平面向量的数量积
1、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0．
2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．
知识点诠释：
1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定．
（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
（3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0．
2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．
3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有．
知识点八：平面向量数量积的几何意义
数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即．
事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以．
知识点九：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．
1、
2、
3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或
4、
5、
知识点十：向量数量积的运算律
1、交换律：
2、数乘结合律：
3、分配律：
知识点诠释：
1、已知实数、、（），则．但是；
2、在实数中，有，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线．
【典型例题】
题型一：向量加法法则
例1．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知，求作.
(1)；
(2)
【解析】（1）在平面内任取一点，如图所示
作则.
（2）在平面内任取一点，如图所示
作则.
【方法技巧与总结】
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形法则 （1）首尾相接 （2）适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则 （1）共起点 （2）仅适用于不共线的两个向量求和
例2．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解析】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
例3．（2022·全国·高一课时练习）如图，请在图中直接标出：
(1)＋．
(2)＋＋＋．
【解析】（1），如图所示：
（2）＋＋＋，如图所示：
题型二：向量加法运算律的应用
例4．（2022·全国·高一课时练习）化简
(1)；
(2) .
【解析】（1）=
（2）==.
【方法技巧与总结】
向量加法运算律的意义和应用原则
（1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
（2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
例5．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，点分别为的三边的中点.
求证：
(1)；
(2).
【解析】(1)证明：由向量加法的三角形法则，
因为，所以.
(2)证明：由向量加法的平行四边形法则，
因为，
所以
.
例6．（2022·全国·高一课前预习）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
【解析】①＋＝+＝；
②＋＋＝＋＋＝；
③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.
变式1．（2022·全国·高一课前预习）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)；
(2).
【解析】（1）；
（2）.
题型三：向量加法的实际应用
例7．（2022·全国·高一课时练习）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
【解析】设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，
则四边形为平行四边形.
所以，，
因为，于是，
所以，，
故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为.
【方法技巧与总结】
应用向量解决实际问题的基本步骤
（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．
（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
例8．（2022·全国·高一课时练习）如图，一艘船从A点出发，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时，河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与水流方向的夹角表示）．
【解析】如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以，为邻边作平行四边形，则就是船实际航行的速度．
在中，，，
，
，
．
故船实际航行速度的大小为，方向与水流速间的夹角为．
例9．（2022·全国·高一课时练习）一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量、、以及．
【解析】根据题意，、、以及的示意图如下图所示：
题型四：向量的减法运算
例10．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知向量和向量，用三角形法则作出
【解析】作法：作向量，向量，则向量,
如图所示，作向量，则
【方法技巧与总结】
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如，可以先作，然后作即可．
（2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
例11．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知，，，，试用表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3).
【解析】(1)
(2)
(3)
例12．（2022·全国·高一专题练习）如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．
【解析】证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以．
因为，
，
所以，
即．
题型五：向量减法法则的应用
例13．（2022·全国·高一课前预习）化简.
(1)；
(2).
【解析】(1)；
(2)
【方法技巧与总结】
（1）向量减法运算的常用方法
（2）向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和．
②起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
例14．（2022·湖南·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】(1).
(2).
(3).
例15．（2022·湖南·高一课时练习）如图，在梯形ABCD中，，AC与BD交于点O，化简．
【解析】因为在梯形ABCD中，，AC与BD交于点O，
故.
即.
变式2．（2022·全国·高一单元测试）化简下列各式：
(1)；
(2)．
【解析】(1)
(2).
题型六：向量的线性运算
例16．（2022·全国·高三专题练习）计算：
(1)；
(2).
【解析】（1）原式=
.
（2）原式=
.
【方法技巧与总结】
向量线性运算的基本方法
（1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
（2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．
例17．（2022·全国·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
例18．（2022·湖南·高一课时练习）已知，，求，与．
【解析】因为，，则，
，
.
题型七：用已知向量表示其他向量
例19．（2022·宁夏·平罗中学高一阶段练习（文））如图所示，平行四边形中，，，，， 试用向量，来表示，．
【解析】由，即，
所以，
由，则，
所以；
【方法技巧与总结】
用已知向量表示其他向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
例20．（2022·江苏·高一课时练习）如图，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设，，试用表示向量，.
【解析】因为，
所以，，
解得.
例21．（2022·全国·高一课时练习）如图，在△中，D，E为边的两个三等分点，，求．
【解析】∵，
∴．又D，E为边的两个三等分点，
∴，
∴，．
变式3．（2022·全国·高一课前预习）如图所示，是平行四边形，，C是其对角线的交点，试用表示向量．
【解析】因为，所以，所以，
又因为，
所以.
题型八：向量共线的判定及应用
例22．（2022·全国·高三专题练习）两个非零向量不共线．
(1)若，求证：A、B、D三点共线；
(2)求实数k使与共线．
【解析】(1)证明：因为，
所以，则，
所以共线，两个向量有公共点，
所以A、B、D三点共线.
(2)若与共线，则存在实数，使得，
所以，
所以.
【方法技巧与总结】
（1）证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可．
（2）利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．
例23．（2022·广东·高三学业考试）已知向量，不共线，若，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
【答案】B
【解析】对于A，因为，，
若A，B，C三点共线，则存在实数使得，
则，无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误；
对于B，∵，
∴，又∵A是公共点，∴A，B，D三点共线，
故B正确；
对于C，因为，，所以，
若A，C，D三点共线，则存在实数使得，又，
所以，无解，所以A，C，D三点不共线，故C错误；
对于D，若B，C，D三点共线，则存在实数使得，
又，，所以，无解，
所以B，C，D三点不共线，故D错误；
故选：B.
例24．（2022·江苏淮安·高一期末）已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，
，
又因为A，B，C三点共线，
所以，即，
所以，解得，
故选：A
题型九：三点共线的常用结论（鸡爪定理）
例25．（2022·湖南·长郡中学高一期中）（1）如图，，不共线，是直线上的动点，证明：存在实数，，使得，并且.
（2）用向量法证明下列结论：三角形的三条中线交于一点.
【解析】（1）证明：因为是直线上的动点，
所以不妨设（为实数），
则，，
令，，
则有，并且,
所以存在实数，，使得，并且.
（2）如图，中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，
求证：AD、BE、CF交于一点.
证明：不妨设BE、CF交于一点G，连接AG，
因为D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，
所以，，，
根据（1）的结论得，
在中，，，，为实数.
在中，，，，为实数.
所以 ， ，解得 ，
所以，
即，，A、G、D三点共线，
所以AD、BE、CF交于一点.
【方法技巧与总结】
应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且．
例26．（2022·全国·高一课时练习）已知，，点G是△OAB的重心，过点G的直线PQ与OA、OB分别交于P、Q两点．
（1）用、表示；
（2）若m，n，试问是否为定值，证明你的结论．
【解析】（1）点G是△OAB的重心，
延长OG交AB于D，即有D为AB的中点，
可得（）（）；
（2）为定值3．
理由：由m，n，
可得，，
即有，
由三点P，G，Q共线，可得1，
即为3．
则为定值3．
例27．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高一阶段练习）设G为的重心，过点G作直线分别交AB AC于P，Q.已知，，求的值.
【解析】连接AG并延长交BC于M，因为G是重心，所以M为BC的中点.
，，
因为，，所以，
又因为P，G，Q三点共线，所以，所以.
题型十：求两向量的数量积
例28．（2022·全国·高二课时练习）在中，，，，求，，的值.
【解析】因为，，，所以，即所以.
如图所示：
所以.
，
.
【方法技巧与总结】
求平面向量数量积的方法
计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
例29．（2022·广西·高二学业考试）已知向量与的夹角满足，且，，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由题意知，.
故选：A
例30．（2022·江西赣州·高一期末）若向量，满足，且，则在方向上的投影为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】依题意在方向上的投影为.
故选：C
变式4．（2022·全国·模拟预测（文））在中，，，，为的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题易知，，
则
故选：B
变式5．（2022·北京·日坛中学高三阶段练习）已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（ ）
A． B． C．4 D．-4
【答案】C
【解析】.
故选：C
变式6．（2022·上海·格致中学高三阶段练习）已知为非零向量，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设向量的夹角为，则在方向上的投影为
又由向量数量积的定义知，所以，即则在方向上的投影为.
故选：A.
变式7．（2022·河南·高三阶段练习（文））设向量的夹角的余弦值为，且，则（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【答案】C
【解析】由题意可得.
故选：C.
题型十一：向量的模和夹角的计算问题
例31．（2022·山东聊城一中高一期中）已知与的夹角为．
(1)求的值；
(2)设，求的夹角．
【解析】（1）由已知，得：，
∴，
∴；
（2）∵，
，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵，∴.
【方法技巧与总结】
（1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方．
（2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解．
例32．（2022·河北·魏县第五中学高一期中）已知，，.
(1)求 与 的夹角 ；
(2)求 与 的夹角的余弦值．
【解析】（1）由已知，得，
因为，所以.
又，
所以cos，
因为，所以.
（2）因为，所以，
因为，所以.
所以.
例33．（2022·上海市陆行中学高一期末）已知向量 的夹角为，且，设，.
(1)求；
(2)试用来表示的值；
(3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.
【解析】（1）.
（2）
.
（3）由于与的夹角为钝角，于是且与不平行.
其中，而，
于是实数的取值范围是.
变式8．（2022·广东·阳江市第一中学高一期中）已知向量满足，且.
(1)求；
(2)记向量与向量的夹角为，求.
【解析】（1）因为，所以.
因为向量满足，所以，所以.
所以.
（2）因为，
所以.
变式9．（2022·湖北·高三阶段练习）已知向量满足，则向量与向量的夹角是______.
【答案】
【解析】由题意可得，即，则，
所以，
又，
所以，
故答案为：
变式10．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知向量，则夹角的余弦值是__________.
【答案】
【解析】，
因为，所以，
.
故答案为：.
变式11．（2022·福建泉州·高三开学考试）已知，为单位向量，，则_____．
【答案】
【解析】因为，为单位向量，，
所以，
所以，
则.
故答案为：.
变式12．（2022·西藏·拉萨中学高二阶段练习（文））已知向量、是两个非零向量，且，则与的 夹角为___________．
【答案】
【解析】设与的 夹角为，
设，所以，
则，
即，
即，又因为，
所以，即与的 夹角为.
故答案为：.
题型十二：与垂直有关的问题
例34．（2022·全国·高一课时练习）已知向量，不共线，向量，，.
(1)若，求实数k的值；
(2)若，为相互垂直的单位向量，且，求实数t的值.
【解析】（1）∵，，，
∴，.
∵，
∴由向量共线定理可得，存在实数，使得，
则，
∵，不共线,,解得.
所以实数k的值为.
（2）∵，，
∴.
∵，∴，
即.
∵，为相互垂直的单位向量，
∴，，
∴，即，解得.
所以实数t的值为.
【方法技巧与总结】
解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）．
例35．（2022·全国·高三专题练习）已知，与的夹角是.
(1)求的值及的值；
(2)当为何值时，？
【解析】（1）∵，与的夹角是，
∴，
；
（2）由题意，，
即，
解得，
即时，.
例36．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，为两个夹角成的单位向量，，.
(1)求；
(2)设，问是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)，
.
(2)，，
若是以为斜边的直角三角形，则，
，
化简得：，解得.
存在满足条件.
变式13．（2022·山东·枣庄市第三中学高一阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E点是AB的中点，F，G点分别是AD，BC的四等分点（，）．设，，
(1)用，表示，；
(2)如果，EF、EG 有什么位置关系？用向量的方法证明你的结论．
【解析】(1)由已知，得，，
所以，
(2)，
如果，那么，即
所以EF与EG互相垂直
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·陕西省榆林中学高三阶段练习（理））已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，
又向量与的夹角为且为单位向量，
∴，解得.
故选：D
2．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二开学考试）下列关于向量的说法中正确的是（ ）
A．向量且，则向量与的方向相同或相反
B．若，则
C．若，则向量与的长度相等且方向相同或相反
D．对任意的向量满足
【答案】A
【解析】对于A，向量且，故向量与共线，且均为非零向量，故向量与的方向相同或相反，故A选项正确；
对于B，向量的模有大小，向量不能比较大小，故B选项错误；
对于C，只能说明模相等，无法说明方向的关系，故C选项错误；
对于D，向量数量积没有结合律，故D选项错误.
故选：A
3．（2022·江西·九江一中高三阶段练习（理））已知三个单位向量，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，设与的夹角为
则
当与反向时，有最小值，
故选：B．
4．（2022·上海普陀·一模）设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由，得，
所以，
又，
所以，
即，
得，又，所以，
所以k的取值可以是2.
故选：B.
5．（2022·四川成都·一模（理））若向量满足（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】向量满足，
则，解得，
所以.
故选：C
6．（2022·辽宁辽阳·高三阶段练习）在△ABC中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，则，
又∵，
∴，即：，，
∴.
故选：B.
7．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，
因为，所以.
所以在方向上的投影向量为.
故选：B．
8．（2022·河北张家口·高三期中）已知中，，设点M，N满足，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．或3
【答案】D
【解析】,,
所以
,
即
解得：或.
故选：D
二、多选题
9．（2022·安徽·高三阶段练习）若单位向量满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为，所以，
所以，因为为单位向量，
两边平方，得，
即，
所以或，故A错误；
所以故B正确；
所以，故C正确；
，
，所以，故D正确.
故选:BCD.
10．（2022·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对于A，实数与向量的乘法是向量，故A错误；
对于B，都是实数，故等号左边是的共线向量，同理右边是的共线向量，但与的方向未必相同或相反，且左右两边的模长未必相等，故B错误；
对于C，因为皆为非零向量，故，故C正确；
对于D，根据数量积的运算性质及运算律可知该式成立，故D正确．
故选：AB．
11．（2022·江苏·海安高级中学高三阶段练习）已知与均为单位向量，其夹角为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】，其中，
因为，所以，B正确；
且，所以，A正确；
，
因为，所以，故C错误；
，
当，，所以，
故，
所以，D正确.
故选：ABD
12．（2022·全国·高三专题练习）已知的外接圆的圆心为O，半径为2，，且，下列结论正确的是（ ）
A．在方向上的投影长为
B．
C．在方向上的投影长为
D．
【答案】BCD
【解析】由得，即，
所以四边形OBAC为平行四边形．
又O为外接圆的圆心，所以，
又，
所以为正三角形．因为的外接圆半径为2，
所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以，
对于A、C：在方向上的投影长为，
即选项A错误，选项C正确；
对于B：因为，
，
则，即选项B正确；
对于D：因为，
，
则，即选项D正确．
故选：BCD.
三、填空题
13．（2022·广西柳州·高三阶段练习（理））已知，，，则与的夹角是___________.
【答案】
【解析】，
因为，所以，
与的夹角是.
故答案为：.
14．（2022·山东·高一阶段练习）在中，，若D为BC中点，则为_________．
【答案】
【解析】，所以，
故，
，
两式相减得 ，
所以，
所以＝.
故答案为：
15．（2022·山东·高一阶段练习）如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则_________．
【答案】
【解析】设正六边形边长为1，则与的夹角为 ，
故在向量上的投影向量为，
所以.
故答案为：
16．（2022·上海交大附中高一期末）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则______．
【答案】
【解析】如图，连接，则，
不妨设，则，即，
∴，则，
故.
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·黑龙江·哈九中高一期中）已知向量，，与的夹角为.
(1)求及；
(2)求．
【解析】（1），
（2）
18．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一阶段练习）设向量满足，．
(1)求向量的夹角；
(2)求．
【解析】（1）因为，，
所以，
又，所以.
（2）.
19．（2022·江苏淮安·高三期中）（1）构造一个图形并解释这个公式（、均为非零向量）的几何意义；
（2）中为中点,证明：
【解析】（1）设，，以、为邻边构造平行四边形，如下图所示：
则，，
由，可得，
故的几何意义为“平行四边形对角线平方和等于四边平方和”；
（2）.
故原等式得证.
20．（2022·全国·高一课时练习）已知向量，且，与的夹角为.，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值；
（4）若与的夹角为，求的值.
【解析】（1）证明：因为，与的夹角为，
所以，
所以.
（2）由得，即.
因为，，
所以，，
所以，
即.所以或.
（3）由知，即，即.
因为，，所以，，
所以.所以.
（4）由前面解答知，，.
而，
所以.
因为，
由得，
化简得，
所以或.
经检验知不成立，故.
21．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足．
(1)求的值；
(2)已知的最小值为，求实数的值．
【解析】（1），
．
（2），
,
又，所以
当时，当时，取最小值1与已知相矛盾；
当时，当时，取最小值，得（舍），
当时，当时，取得最小值，得，
综上所述，为所求．
22．（2022·全国·高三专题练习）如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，，，E是BC边的中点.
(1)试用，表示，；
(2)求的值.
【解析】(1)，
.
(2)，
，
.

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