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9．4 向量应用
【题型归纳目录】
题型一：利用向量证明平面几何问题
题型二：利用向量解决平面几何求值问题
题型三：向量在物理中的应用
题型四：平面几何中的平行（共线）问题
【知识点梳理】
知识点一：向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
（3）把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点二：向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
（1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题．
（2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型．
（3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等．
（4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．
【典型例题】
题型一：利用向量证明平面几何问题
例1．（2022·全国·高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
【解析】证明：设， ．
因为四边形为菱形，所以，
又
则，故．
所以.
【方法技巧与总结】
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③利用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
例2．（2022·全国·高一课时练习）如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
【解析】设，，，则.
由，可设，
又，，可设，
∵，
∴，
综上，有，即，
由于与不共线，则，解得，
∴.同理，，.
∴.
例3．（2022·全国·高一课时练习）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，用向量的方法证明：．
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系：
设正方形的边长为2，则
，
，即
题型二：利用向量解决平面几何求值问题
例4．（2022·全国·高二课时练习）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．
(1)求和的值；
(2)若，，，求与所成角的余弦值．
【解析】（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点
则
又由可得，
（2）是与所成的角，设向量与所成的角为
，则
，则
则，
因为
所以
所以与所成角的余弦值为.
【方法技巧与总结】
（1）用向量法求长度的策略
①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解．
②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则．
（2）用向量法解决平面几何问题的两种思想
①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解．
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
例5．（2022·重庆·高一期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.
(1)求线段，的长；
(2)求的余弦值.
【解析】(1)由题意，，，
又，
所以，
，即，
=
，
，即；
(2)，
==，
与的夹角即为，
.
例6．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）如图，在中，D是的中点，.
(1)若，求；
(2)若，求的值.
【解析】（1）因为，
所以，
故.
（2）因为，所以，所以，
设.
因为，
所以，.
变式1．（2022·全国·高一课时练习）已知菱形ABCD的三个顶点，，，求：
(1)第四个顶点D的坐标；
(2)菱形ABCD的面积．
【解析】(1)设，由，
得，解得，，
所以点的坐标为.
(2)∵，，，，
∴，
∴菱形的面积.
题型三：向量在物理中的应用
例7．（2022·全国·高一专题练习）三个大小相同的力、、作用在同一物体上，使物体沿方向做匀速运动，设，，，判断的形状．
【解析】由题意可得，由于合力作用后做匀速运动，则，所以，，
作，则平行四边形为菱形，因为，
故为等边三角形，则，
因为，则，同理可得，
所以，，因此，为等边三角形.
【方法技巧与总结】
用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．
（2）模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．
（3）参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．
（4）问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．
例8．（2022·全国·高一专题练习）如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为 ，水流速度的大小为 ，设和的夹角为，北岸在A的正北方向．
(1)当时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当多大时，游船能到达处？需航行多长时间？
【解析】(1)时，游船水平方向的速度大小为=1 ，方向水平向左，故最终到达北岸时游船在点的左侧；
(2)若游船能到处，则有，
则有，
此时游船垂直江岸方向的速度 ，
时间 h.
例9．（2022·湖南·高一课时练习）如图，一物体在表面粗糙的斜面上不动，斜面沿水平方向做匀速直线运动，若物体的质量为，斜面的倾角为，位移大小为s，求物体与斜面之间的摩擦力所做的功．
【解析】设物体与斜面之间的摩擦力为，
则，
又因为在方向上的位移为，
所以物体与斜面之间的摩擦力所做的功
为.
故答案为：.
题型四：平面几何中的平行（共线）问题
例10．（2022·陕西宝鸡·高一期末）如图，已知分别是的三条高，试用向量的方法求证：相交于同一点．
【解析】设交于点，以下只需证明点在上，
因为，，
所以，.
即，，
两式相减，得：即，
所以，，又，
所以，三点共线，在上．
【方法技巧与总结】
利用向量方法可以解决平面几何中的平行（共线）等问题，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．
例11．（2022·全国·高一课时练习）如图，点O是平行四边形的中心，分别在边上，且，求证点在同一直线上.
【解析】证明：设，，
由，知分别是的三等分点，
所以，
.
所以.又为和的公共点，所以点在同一直线上.
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·山东·高一阶段练习）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（ ）．
A．7 B． C． D．1
【答案】D
【解析】根据三力平衡得，即，
两边同平方得，
即
即,
解得
故选：D.
2．（2022·福建省厦门第二中学高二阶段练习）图为某种礼物降落伞的示意图，其中有根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为．已知礼物的质量为，降落伞自身的重量为，每根绳子的拉力大小相同．则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（ ）（重力加速度取，精确到）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，如图，
，在上的投影向量为，
根绳子拉力的合力；
降落伞匀速下落，，
，解得：.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（　　）
A．的最小值为
B．的范围为
C．当时，
D．当时，
【答案】B
【解析】如图，对于选项A：当、方向同向时，有，此时取得最小值，且最小值为，A正确；
对于选项B：当时，有，行李包不会处于平衡状态，即，B错误；
对于选项C：当行李包处于平衡时，，若，
则有，变形得，
，即，正确；
对于D选项：若，则有则有，变形可得则有，D正确，
故选：B．
4．（2022·陕西渭南·高一期末）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可得物体的重力大小等于与合力的大小，
因为，与水平夹角均为，
所以，的夹角为，
所以，
所以物体的重力大小为，
故选：A
5．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，
所以的大小为，
故选：B
6．（2022·全国·高二课时练习）已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为（ ）（）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】由题可知，以木块运动的方向为正方向，
则力在水平方向的分量为：，在竖直方向的分量为：，
则摩擦力为：，
则力做功为,摩擦力做功.
故选：A.
7．（2022·四川内江·高一期末（文））是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
【答案】D
【解析】 是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且
则以C为原点，CB所在的直线为x轴，平面内过C垂直于CB的直线为y轴，如图所示：
则
因为点D、E分别在边AC、BC上，且
设且，则
所以
故当时，的最小值为.
故选：D.
8．（2022·四川内江·高一期末（理））四边形ABCD中，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
【答案】D
【解析】延长交于，因为，，
∴，为等边三角形，
设，则，
∴，
所以当时，的最小值为.
故选：D.
二、多选题
9．（2022·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（ ）
A．船受到的拉力不断增大 B．船受到的拉力不断变小
C．船受到的浮力不断变小 D．船受到的浮力保持不变
【答案】AC
【解析】设水的阻力为，船受到的拉力为 ，与水平方向的夹角为，
则 ，故 ，因为不断增大，所以不断减小，
故 不断增大.因为 不断增大，所以船受到的浮力不断减小；
故选：AC.
10．（2022·广东佛山·高一期末）一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为4N，水平拉力的大小为3N，另一力未知，则（ ）
A．当该物体处于平衡状态时，
B．当与方向相反，且时，物体所受合力大小为
C．当物体所受合力为时，
D．当时，
【答案】ACD
【解析】A选项：由题知，的大小等于重力与水平拉力的合力大小，由图知，故A正确；
B选项：如图，物体所受合力应等于向量与的和向量的大小，显然B错误；
C选项；当物体所受合力为时，说明与的合力为，所以，C正确；
D选项：由上知，重力与水平拉力的合力为，N，易知当与同向时合力最大，最大值为7N，反向时合力最小，最小值为3N，
即，故D正确.
故选：ACD
11．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知正方形的对角线长为，是它的内切圆一条弦，点为正方形四条边上的一个动点，当弦的长度最大时，不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为正方形的对角线长为，所以边长为.
建立如图示的平面直角坐标系，则正方形的内切圆的方程为
当弦的长度最大时，为圆的直径.设，则,且.
当点P在CD上时，可设.
则，所以.
因为，所以.即.
当点P在AB上时，可设.
则，所以.
因为，所以.即.
当点P在BC上时，可设.
则，所以.
因为，所以.即.
当点P在AD上时，可设.
则，所以.
因为，所以.即.
综上所述：.
对照四个选项,不可能为：AD.
故选：AD.
12．（2022·全国·高一期末）一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为，水平拉力的大小为，力未知，则（ ）
A．当该物体处于平衡状态时，Ν
B．当物体所受合力为时，Ν
C．当时，
D．当时，必存在实数，使得
【答案】ABD
【解析】对于A选项，当该物体处于平衡状态时，如图1，此时的合力大小为，方向与重力方向相反，故，正确；
对于B选项，当物体所受合力为时，结合向量加法的平行四边形法则，如图2，，正确；
对于C选项，当时，设重力与水平拉力的合力为，大小为，如图3，当与方向相同时，取得最大值，当与方向相反时，取得最小值，故，错误；
对于D选项，当时，若存在实数，使得，则，其中为力的夹角，所以存在实数，使得，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）如图，已知是半径为圆心角为的一段圆弧上的一点，若，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，则，，， ，
由，则，即有，
∵，∴.
故答案为：
14．（2022·广东·佛山市南海区南海执信中学高二开学考试）已知为内一点，且满足，则为的________心．
【答案】重
【解析】
如图，取的中点由．得，
又，故，则与共线，
又，有公共点，
故三点共线，且，
因此可得为的重心．
故答案为：重.
15．（2022·全国·高一课时练习）已知，两个力作用于同一个质点，使点从点移到点，则对质点做的功______（即与的数量积）．
【答案】
【解析】，，
.
故答案为：.
16．（2022·全国·高一课时练习）已知，，现有动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒，另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒，设P，Q在时分别在，处，则当时所需的时间t为______s.
【答案】2
【解析】由题意得，则，与其方向相同的单位向量为，，则，与其方向相同的单位向量为，
如图，
则，，
故，，
又，，
∴，，
，
∴.
∵，
∴，
即，解得.
故当时所需的时间t为.
故答案为：2
四、解答题
17．（2022·全国·高一课时练习）如图，在平行四边形中，已知，，对角线，试用向量的方法求对角线的长．
【解析】设，，则，，
，解得：，
，解得：，
即对角线的长为.
18．（2022·山东枣庄·高一期末）在中，是线段的靠近点的三等分点．
(1)用表示；
(2)求的长度．
【解析】(1)由题意知，
所以．
(2)
，所以．
19．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，，，，，，其中，，设DE中点为M，AB中点为N．
(1)若，求证：C、M、N三点共线；
(2)若，求的最小值．
【解析】（1）当时， ，，故，故C、M、N三点共线，即得证
（2）当时，，，故，故，故当时，取得最小值，即的最小值为
20．（2022·江苏·连云港高中高一期中）在直角坐标平面内，已知向量，，，为满足条件（）的动点．当取得最小值时，求：
(1)向量的坐标；
(2)的值；
(3)求点A到直线的距离．
【解析】（1），，，
∴
当取得最小值时，t＝2．∴（2，4）．
（2），，，，
∴．
（3）设点A到直线PB的距离为h，则h＝．
21．（2022·福建·高一期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，设.
(1)计算的大小；
(2)甲在Ox上距O点3千米的点A处，乙在Oy上距O点1千米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以4千米/小时的速度行走；
①若过半小时后甲到达C点，乙到达D点，请用与来表示；
②若t时刻，甲到达G点，乙到达H点，求的最小值.
【解析】(1)因为，
所以 .
(2)①因为，
所以，所以；
②两人在t时刻相距，
所以
当时，即小时后，他们两人相距最短．
22．（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（4，3），点B的坐标为（－1，6），作，垂足为点D．
(1)求，，；
(2)求；
(3)求．
【解析】(1)，，由于，所以；
(2)，故；
(3)由（2）得：，所以，由勾股定理得：，所以.9．4 向量应用
【题型归纳目录】
题型一：利用向量证明平面几何问题
题型二：利用向量解决平面几何求值问题
题型三：向量在物理中的应用
题型四：平面几何中的平行（共线）问题
【知识点梳理】
知识点一：向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
（3）把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点二：向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
（1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题．
（2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型．
（3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等．
（4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．
【典型例题】
题型一：利用向量证明平面几何问题
例1．（2022·全国·高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
【方法技巧与总结】
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③利用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
例2．（2022·全国·高一课时练习）如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
例3．（2022·全国·高一课时练习）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，用向量的方法证明：．
题型二：利用向量解决平面几何求值问题
例4．（2022·全国·高二课时练习）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．
(1)求和的值；
(2)若，，，求与所成角的余弦值．
【方法技巧与总结】
（1）用向量法求长度的策略
①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解．
②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则．
（2）用向量法解决平面几何问题的两种思想
①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解．
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
例5．（2022·重庆·高一期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.
(1)求线段，的长；
(2)求的余弦值.
例6．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）如图，在中，D是的中点，.
(1)若，求；
(2)若，求的值.
变式1．（2022·全国·高一课时练习）已知菱形ABCD的三个顶点，，，求：
(1)第四个顶点D的坐标；
(2)菱形ABCD的面积．
题型三：向量在物理中的应用
例7．（2022·全国·高一专题练习）三个大小相同的力、、作用在同一物体上，使物体沿方向做匀速运动，设，，，判断的形状．
【方法技巧与总结】
用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．
（2）模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．
（3）参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．
（4）问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．
例8．（2022·全国·高一专题练习）如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为 ，水流速度的大小为 ，设和的夹角为，北岸在A的正北方向．
(1)当时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当多大时，游船能到达处？需航行多长时间？
例9．（2022·湖南·高一课时练习）如图，一物体在表面粗糙的斜面上不动，斜面沿水平方向做匀速直线运动，若物体的质量为，斜面的倾角为，位移大小为s，求物体与斜面之间的摩擦力所做的功．
题型四：平面几何中的平行（共线）问题
例10．（2022·陕西宝鸡·高一期末）如图，已知分别是的三条高，试用向量的方法求证：相交于同一点．
【方法技巧与总结】
利用向量方法可以解决平面几何中的平行（共线）等问题，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．
例11．（2022·全国·高一课时练习）如图，点O是平行四边形的中心，分别在边上，且，求证点在同一直线上.
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·山东·高一阶段练习）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（ ）．
A．7 B． C． D．1
2．（2022·福建省厦门第二中学高二阶段练习）图为某种礼物降落伞的示意图，其中有根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为．已知礼物的质量为，降落伞自身的重量为，每根绳子的拉力大小相同．则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（ ）（重力加速度取，精确到）．
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（　　）
A．的最小值为
B．的范围为
C．当时，
D．当时，
4．（2022·陕西渭南·高一期末）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为 （ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为（ ）（）
A．， B．， C．， D．，
7．（2022·四川内江·高一期末（文））是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
8．（2022·四川内江·高一期末（理））四边形ABCD中，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
二、多选题
9．（2022·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（ ）
A．船受到的拉力不断增大 B．船受到的拉力不断变小
C．船受到的浮力不断变小 D．船受到的浮力保持不变
10．（2022·广东佛山·高一期末）一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为4N，水平拉力的大小为3N，另一力未知，则（ ）
A．当该物体处于平衡状态时，
B．当与方向相反，且时，物体所受合力大小为
C．当物体所受合力为时，
D．当时，
11．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知正方形的对角线长为，是它的内切圆一条弦，点为正方形四条边上的一个动点，当弦的长度最大时，不可能为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国·高一期末）一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为，水平拉力的大小为，力未知，则（ ）
A．当该物体处于平衡状态时，Ν
B．当物体所受合力为时，Ν
C．当时，
D．当时，必存在实数，使得
三、填空题
13．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）如图，已知是半径为圆心角为的一段圆弧上的一点，若，则的取值范围是__________．
14．（2022·广东·佛山市南海区南海执信中学高二开学考试）已知为内一点，且满足，则为的________心．
15．（2022·全国·高一课时练习）已知，两个力作用于同一个质点，使点从点移到点，则对质点做的功______（即与的数量积）．
16．（2022·全国·高一课时练习）已知，，现有动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒，另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度大小为每秒，设P，Q在时分别在，处，则当时所需的时间t为______s.
四、解答题
17．（2022·全国·高一课时练习）如图，在平行四边形中，已知，，对角线，试用向量的方法求对角线的长．
18．（2022·山东枣庄·高一期末）在中，是线段的靠近点的三等分点．
(1)用表示；
(2)求的长度．
19．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，，，，，，其中，，设DE中点为M，AB中点为N．
(1)若，求证：C、M、N三点共线；
(2)若，求的最小值．
20．（2022·江苏·连云港高中高一期中）在直角坐标平面内，已知向量，，，为满足条件（）的动点．当取得最小值时，求：
(1)向量的坐标；
(2)的值；
(3)求点A到直线的距离．
21．（2022·福建·高一期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，设.
(1)计算的大小；
(2)甲在Ox上距O点3千米的点A处，乙在Oy上距O点1千米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以4千米/小时的速度行走；
①若过半小时后甲到达C点，乙到达D点，请用与来表示；
②若t时刻，甲到达G点，乙到达H点，求的最小值.
22．（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（4，3），点B的坐标为（－1，6），作，垂足为点D．
(1)求，，；
(2)求；
(3)求．

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