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9．3 向量基本定理及坐标表示
【题型归纳目录】
题型一：平面向量基本定理的理解
题型二：用基底表示向量
题型三：平面向量的坐标表示
题型四：平面向量加、减运算的坐标表示
题型五：平面向量数乘运算的坐标表示
题型六：向量共线的判定
题型七：利用向量共线的坐标表示求参数
题型八：定比分点坐标公式及应用
题型九：数量积的坐标运算
题型十：平面向量的模
题型十一：平面向量的夹角、垂直问题
题型十二：平面向量数量积的综合应用
【知识点梳理】
知识点一：平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
这说明如果且，那么．
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
知识点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．
2、如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算．
知识点二：平面向量的坐标表示
1、正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点诠释：
如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
知识点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中，．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
知识点三：平面向量的坐标运算
1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
运算 坐标语言
加法与减法 记， ，
实数与向量的乘积 记，则
2、如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示
1、平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量，则，即，或．
知识点诠释：
若，则不能表示成因为分母有可能为0．
2、三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线．
知识点五：向量数量积的坐标表示
1、已知两个非零向量，，
2、设，则或
3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．
知识点六：向量在几何中的应用
（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件
（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件
（3）求夹角问题，利用
（4）求线段的长度，可以利用或
【典型例题】
题型一：平面向量基本定理的理解
例1．（2022·全国·高一课时练习）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【解析】∵，是平面内的一组基底，∴，不共线，而，
则根据向量共线定理可得，与共线，根据基底的定义可知，选项D不符合题意．
其他三组中的向量均为不共线向量，故可作为基底向量．
故选：D．
【方法技巧与总结】
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
例2．（2022·河南·新乡市第一中学高一阶段练习）已知，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】A选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；
B选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；
C选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；
D选项：易知，即与共线，不能作为平面向量基底．
故选：D
例3．（2022·甘肃武威·高一期末）如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（ ）
A．，是该平面所有向量的一组基底，
B．，是该平面所有向量的一组基底，
C．，不是该平面所有向量的一组基底，
D．，不是该平面所有向量的一组基底，
【答案】A
【解析】由图可知，平面向量，不共线，是该平面所有向量的一组基底，
且，
故选：A．
变式1．（2022·北京房山·高三期末（文））向量在正方形网格中的位置如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图可知：，，
所以．
故选：C．
题型二：用基底表示向量
例4．（安徽省部分学校2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题）如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，取的中点，连接，
因为是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，
所以，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又为上靠近的一个四等分点，
所以
．
故选：C．
【方法技巧与总结】
平面向量基本定理的作用以及注意点
（1）根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
（2）基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量．
例5．（2022·福建·高三阶段练习）在中，点在边上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点在边上，，
所以，即，
所以．
故选：B．
例6．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在△ABO中，，，AD与BC交于点M．设，．
（1）试用向量，表示；
（2）在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，，其中，．证明：为定值，并求出该定值．
【解析】（1）设，
由A，M，D三点共线，可知存在（，且），使得，
则，
因为，所以，
由平面向量基本定理得，即，①
同理，由B，M，C三点共线，可知存在（，且），使得，
则，
又，所以，
由平面向量基本定理得 即，②
由①②得，，
故；
（2）由于E，M，F三点共线，则存在实数（，且）使得，即，
于是，
又，，
所以，
由平面向量基本定理得，消去，
得，
故为定值，该定值为5．
变式2．（2022·全国·高一期末）如图，已知四边形为平形四边形，，，设，．
（1）用向量，表示；
（2）若点P是线段CM上的一动点，（其中），求的最小值．
【解析】（1）依题意，，，
所以，所以；
（2）因为
因为在线段上，即、、三点共线，
所以存在实数，，使得
又，所以，
所以
因为，所以当时取得最小值；
变式3．（2022·浙江·温岭中学高一阶段练习）在中，设，若，与交于点，
（1）用表示；
（2）在线段，上分别取，使过点，设，求的最小值．
【解析】（1）因为三点共线，所以可设，
因为三点共线，所以可设，
根据平面向量基本定理可得，解得，
所以．
（2）因为，且三点共线，
所以，依题意知，
所以，
当且仅当，时，取得等号，
所以的最小值为．
变式4．（2022·全国·高一专题练习）过的重心任作一条直线分别交，于点，，若，，且，试求的值．
【解析】如图，设，，
是重心，是的中点，
则，
，，三点共线，
设，
，，，
所以，即，
，所以，，
得，，
则，
即．
题型三：平面向量的坐标表示
例7．（2022·河南·郑州外国语学校高一期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设平面直角坐标系为O，由题得，．
则．
故选：C
【方法技巧与总结】
在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．
例8．（2022·全国·高一专题练习）在平面直角坐标系xOy中，向量、、的方向如图所示，且、、，分别计算出它们的坐标．
【解析】设、、，
则，，所以；
，，所以；
，，所以．
例9．（2022·广东·高二学业考试）已知点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
故选：D．
变式5．（2022·江西·临川一中高一期中）已知，，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，，因，
从而有，解得，
所以P点的坐标为．
故选：A
题型四：平面向量加、减运算的坐标表示
例10．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）（1）已知向量，，，求；
（2）化简：．
【解析】（1），，，
，，
，，，，；
（2）
．
【方法技巧与总结】
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
例11．（2022·湖北武汉·高一期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则，，，
设向量，
则，
所以．
故选：A
题型五：平面向量数乘运算的坐标表示
例12．（2022·广东·韶关市永翔实验中学高一阶段练习）已知向量，，．
（1）求；
（2）求满足的实数，；
【解析】（1），，，
．
（2）因为，
所以，
所以，解得．
即、．
【方法技巧与总结】
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
例13．（2022·全国·高一专题练习）已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4）．设．
（1）求；
（2）求满足的实数m，n的值．
【解析】（1）因为A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），
所以==（5，－5），==（－6，－3），==（1，8）．
=3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1，8）=（6，－42）．
（2）因为=（－6m＋n，－3m＋8n），
所以解得
例14．（2022·全国·高一课时练习）已知点及．
（1）当t为何值时，点P在x轴上 点P在y轴上 点P在第二象限
（2）O，A，B，P四点能否构成平行四边形 若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
【解析】（1）．
①若点P在x轴上，则，所以；
②若点P在y轴上，则，所以；
③若点Р在第二象限，则，所以．
（2）因为，即，所以，故与共线，
即三点共线，故O，A，B，P四点不能构成平行四边形．
题型六：向量共线的判定
例15．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高一期中）下列各组的两个向量，共线的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】对于A中，由，，可得，所以两向量不共线；
对于B中，由，，可得，所以两向量不共线；
对于C中，由，，可得，所以两向量共线；
对于D中，由，，可得，所以两向量不共线．
故选：C．
【方法技巧与总结】
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
例16．（2022·北京·清华附中朝阳学校高一阶段练习）已知向量，，那么与共线的一个向量是（ ）
A．（6，4） B．（4，6） C．（0，4） D．（1，6）
【答案】A
【解析】由题设，，显然，A正确，
对于B、C、D，不存在使坐标所对应的向量等于．
故选：A
例17．（2022·全国·高一课时练习）已知，若，，
（1）求点的坐标及向量的坐标；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）设点的坐标为，点的坐标为，
由得所以 故
由得所以 故
所以
（2）所以且
满足，所以
变式6．（2022·全国·高一课时练习）已知点A（-1，-1）， B（1，3）， C（1，5）， D（2，7），向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
【解析】因点A（-1，-1）， B（1，3）， C（1，5）， D（2，7），则=（2，4）， =（1，2），
显然有2×2-1×4=0，于是得∥，
因= （2，6）， 而=（2，4），即有2×4-2×6≠0，则与不平行，即点A，B，C不共线，因此，AB与CD不重合，
所以直线AB与CD平行．
变式7．（2022·安徽宣城·高一阶段练习）已知，，，且，．
（1）求点E，F的坐标；
（2）求证：．
【解析】（1）设点，
∵，即，
∴解得故．
设点，
∵，即，
∴解得故．
（2）证明：，，故，∴．
变式8．（2022·吉林·四平市第一高级中学高三阶段练习）如图，在中，已知．
（1）用向量分别表示与；
（2）证明：三点共线．
【解析】（1）因为，
则，．
（2）因为，
所以．
又因为与有公共点，所以三点共线．
变式9．（2022·全国·高一单元测试）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，．
（1）用向量与表示向量，；
（2）若，求证：三点共线．
【解析】（1）∵，，
∴，
；
（2）证明：∵，
∴与平行，
又∵与有公共点，
∴三点共线．
变式10．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点．
求证：（1）；
（2）D，M，B三点共线．
【解析】以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．
令，则，因为，，
所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为
．
（1）因为，，
所以，即．
（2）因为M为的中点，所以，
所以，，
所以，所以．
又与有公共点，所以D，M，B三点共线．
题型七：利用向量共线的坐标表示求参数
例18．（2022·上海市甘泉外国语中学高一期末）已知向量，且，则_____．
【答案】或
【解析】因为，所以，解得或4．
故答案为：-1或4．
【方法技巧与总结】
利用向量平行的条件处理求值问题的思路
（1）利用向量共线定理列方程组求解．
（2）利用向量平行的坐标表达式直接求解．
提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值．
例19．（2022·四川省岳池中学高三阶段练习（理））已知，，向量，，则当时，的最小值为_____．
【答案】
【解析】因为，则，由基本不等式可得，
可得，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为．
故答案为：．
例20．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）已知向量．
（1）求；
（2）求满足的实数和的值；
（3）若，求实数k的值．
【解析】（1）因为，
故，
故．
（2）因为，，
即，
故可得，
解得，
故实数分别为．
（3）因为，
则，，
因为，
故可得，解得，
故实数的值为．
变式11．（2022·河南濮阳·高一期中）已知向量．
（1）求；
（2）若，求实数的值；
（3）若，求实数的值．
【解析】（1），
．
（2），
又，，
所以，解得，
所以．
（3），
，
，
，
，
解得．
变式12．（2022·河北·魏县第五中学高一期中）已知
（1）当k为何值时，与共线？
（2）若，且A，B，C三点共线，求m的值．
【解析】（1）因为
所以，，
因为与共线，
所以，解得；
（2）因为
所以，
，
因为A，B，C三点共线，
所以，解得．
变式13．（2022·全国·高一课时练习）已知点，试用向量的方法求AC与BD的交点坐标．
【解析】设AC与BD的交点P的坐标为，则，，
因为与共线，．
所以，即，
因为与共线，，
所以，即．
解得．
故交点坐标为．
变式14．（2022·全国·高一专题练习）设，是正交单位向量，如果，，，若，，三点在一条直线上，且，求，的值．
【解析】以为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则，，，
，，
又，，三点在一条直线上，
，
，与构成方程组
，
解得或．
变式15．（2022·全国·高一课时练习）设梯形的其中3个顶点的坐标分别为，且，，求点C的坐标．
【解析】在梯形中，因，则有，
设，则，而，
于是得，即，解得，
所以点C的坐标为．
题型八：定比分点坐标公式及应用
例21．（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点P满足，则点P的坐标为__________．
【答案】
【解析】设点P的坐标为，
因为点，，
所以，，
因为，所以，解得，
所以点P的坐标为
故答案为：
【方法技巧与总结】
用有向线段的定比分点坐标公式，可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法．
例22．（2022·上海市民办文绮中学高二期中）已知点分线段的比为-2，若，则点的坐标为_______
【答案】
【解析】因为点分线段的比为-2，所以，根据定比分点公式：
， ，
故答案为：．
例23．（2022·上海师大附中高二期中）若点分有向线段所成的比为，则点分有向线段PA所成的比是_______
【答案】
【解析】因为点分有向线段所成的比为，
所以，
所以．
故答案为
变式16．（2022·四川省越西中学高一阶段练习）已知点，，直线上一点满足，则点坐标是__________．
【答案】或
【解析】设点坐标为，
是直线上一点，
，
又，
或，
，
或，
解得：或，
则点坐标为或．
故答案为：或．
变式17．（2022·全国·高一课时练习）设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）．
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
【解析】（1）（1）如图，由向量的线性运算可知，
所以点P的坐标是．
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，或，
若，如图（1），那么
，
即点P的坐标是．
同理，如果，如图（2），那么点P的坐标是．
题型九：数量积的坐标运算
例24．（2022·吉林·四平市第一高级中学高三阶段练习（文））已知向量，，，若，则______．
【答案】
【解析】，，解得：，，，，
．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
进行数量积运算时，要正确使用公式，并能灵活运用以下几个关系．
例25．（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）在平行四边形中，为一条对角线，若，．
（1）；
（2）．
【解析】（1）∵四边形为平行四边形，，，
∴
∴；
（2）因为，
所以．
例26．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高一期末）已知向量，，则向量在方向上的数量投影为___________．
【答案】
【解析】因为向量，，
所以向量在方向上的数量投影为 ，
故答案为：
变式18．（2022·北京大兴精华学校高三阶段练习）如图，四边形是边长为4的正方形，若，且为的中点，则______．
【答案】5
【解析】以A为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
则，，
所以．
故答案为：5．
变式19．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】因为向量与向量的夹角为钝角，所以且向量与不反向共线．
，解得．
当时，，解得或．
其中，与反向共线，所以，且，即或．
故答案为：．
变式20．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知向量，则在方向上的投影向量是_____．
【答案】
【解析】在方向上的投影向量是．
故答案为：
变式21．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三阶段练习）已知向量，，，则_________．
【答案】
【解析】，，
，，，
，
，解得．
故答案为：．
题型十：平面向量的模
例27．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知平面向量，，若，则________．
【答案】
【解析】因为，，且，
所以，即，
解得，所以，
则．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
求向量的模的常见思路及方法
（1）求模问题一般转化为求模的平方，即，求模时，勿忘记开方．
（2）或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
例28．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）如果向量，，那么______．
【答案】
【解析】由题意得：
故答案为：
例29．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知向量，，若，则________．
【答案】
【解析】，，，，
．
故答案为：
变式22．（2022·全国·高三竞赛）已知向量，则的最大值是___________．
【答案】5
【解析】，当时等号成立
故答案为：5．
变式23．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知向量，且满足，则_______．
【答案】
【解析】因为，所以，
故由知，
解得或．又因为，所以
故答案为：．
题型十一：平面向量的夹角、垂直问题
【方法技巧与总结】
解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）求解方法：由直接求出．
（2）注意事项：利用三角函数值求的值时，应注意角的取值范围是．利用判断的值时，要注意时，有两种情况：一是是钝角，二是为；时，也有两种情况：一是是锐角，二是为．
例30．（2022·湖南·邵阳市第二中学高二开学考试）已知向量，．
（1）当时，求；
（2）当，，求向量与的夹角．
【解析】（1）向量，，则，．
由，可得即，即，
解得或，当，则，则，所以，
当，， ，综上 ．
（2）由，，则
由，可得，解得，
所以，，
又，所以．
例31．（2022·上海中学东校高一期末）已知向量，．
（1）求；
（2）若向量与互相垂直，求的值．
【解析】（1）由，，
．
（2）若向量与互相垂直，
则，
所以．
例32．（2022·全国·高二专题练习）已知向量，．
（1）求；
（2）已知，且，求向量与向量的夹角．
【解析】（1）由题知，，
所以，
所以．
（2）由题知，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
向量与向量的夹角为．
变式24．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））已知平面向量，满足，，其中．
（1）若，求实数m的值．
（2）若，若与夹角的余弦值．
【解析】（1）因为，，
所以，
即，
所以，
又，
所以，
解得；
（2）因为，
所以，
解得，
所以，
所以，，
所以，，
所以．
变式25．（2022·全国·高二课时练习）已知
（1）求；
（2）设的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求的值．
【解析】（1）因为，
所以；
（2）由题意得，
，
故；
（3）因为向量与互相垂直，故，
即．
变式26．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高一期末）已知，，，，且．
（1）求的值；
（2）求向量与向量夹角的余弦．
【解析】（1）根据题意，，，，，
则，
因为，则有，解得
（2）由（1）可知，
设与的夹角为，
则
变式27．（2022·山东·新泰市第一中学北校高三期中）已知平面向量，，．
（1）若，求；
（2）若与的夹角为锐角，求x的取值范围．
【解析】（1）由题意得：，解得：或，
当时，，所以；
当时，，
所以；
（2）因为与的夹角为锐角，
所以，且与不同向共线，
即，
解得：，且，
综上：x的取值范围是．
题型十二：平面向量数量积的综合应用
例33．（2022·安徽省舒城中学高二阶段练习）如图，在矩形中，为边的中点，若为折线段上的动点，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】以点为坐标系原点，所在直线为轴，DA所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
设，
则，
所以
因为，所以，所以的最小值为．
故答案为：
【方法技巧与总结】
坐标法
例34．（2022·福建省宁化第一中学高一阶段练习）在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则的最大值是______．
【答案】
【解析】因为在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，
所以设，
则，，
所以，
因为，所以，
所以的最大值是．
故答案为：．
例35．（2022·甘肃省民乐县第一中学高一期中）已知坐标平面内，，，，．
（1）若与共线，求的值，并指出此时与是同向还是反向；
（2）当取最小值时，求的坐标，并求的值．
【解析】（1） 因为，，，，
所以，，
，
因为与共线，所以，解得．
此时，所以，即与是反向；
（2），，
，
当时，取得最小值，
此时，，，，，
．
变式28．（2022·广东·金山中学高一阶段练习）已知是坐标原点
（1）当A，B，C三点共线时，求的值．
（2）当取何值时，取最小值？并求出最小值
【解析】（1）因为，所以，，因为三点共线，所以，交集，解得
（2）因为，所以，
所以
所以当时，
变式29．（2022·山西现代双语学校南校高一阶段练习）在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．
（1）若，求x－y的值；
（2）求的取值范围；
（3）若为线段的中点，直线与相交于点M，求·．
【解析】（1）（1）∵，所以
∵，
又，
∴，∴；
（2）设，（）
因为在三角形中，，，，
∴，
∴
；
又，所以，
故的取值范围为
（3）∵三点共线，
∴存在实数，使得，
∵为的中点，
∴，
又三点共线，∴存在使得，
∴，
∴，解得，
．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·山东聊城一中高一期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，
即，
所以
故选：A．
2．（2022·山东聊城一中高一期中）已知，若与方向相同，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】，若与方向相同，
则有，解得．
故选：C
3．（2022·山东·高一阶段练习）已知向量，若，则实数m的值是（ ）
A．3或 B．或1 C．3或1 D．或
【答案】C
【解析】，，
则，
即
解得或3．
故选：C．
4．（2022·山东·高一阶段练习）已知G是的重心，点D满足，若，则为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为，
所以为中点，
又因为G是的重心，
所以，
又因为为中点，
所以，
所以，
所以，
所以．
故选：A
5．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）在中，，为线段的中点，为线段上靠近点的三等分点，两条直线与相交于点，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知，，
∴，解得
∴
∴，
故选：A．
6．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】依题意，
设，则
，
所以，
所以
，
当且仅当时等号成立．
故选：D
7．（2022·吉林·四平市第一高级中学高三阶段练习（文））在平行四边形中，，，点E是BC的中点，，则（ ）
A． B． C．2 D．6
【答案】D
【解析】，
，
∴
．
故选：D．
8．（2022·辽宁·本溪高中高三阶段练习）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，
若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们数量积为正值，
即，且，
解得，且，
所以实数的取值范围为．
故选：A
二、多选题
9．（2022·山东·高一阶段练习）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，则第四个顶点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】由题意，设，，，第四个顶点，
当，时，或，
由，，，
则或，解得或；
当，时，或，
由，，，
则或，解得或；
故点的坐标为，，．
故选：ABC．
10．（2022·广东·普宁市华美实验学校高三阶段练习）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角为 D．向量在上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】由题意得，所以，故A正确；
，故B正确；
，
，∴，故C错误；
向量在上的投影向量为，故D正确，
故选：．
11．（2022·广西·高二阶段练习）已知平面直角坐标系中三个点，，，点为线段上靠近的三等分点，下列说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形 B．在上的投影向量为
C． D．若四边形为平行四边形，则点为
【答案】ACD
【解析】三点位置如图所示，，．
因为不共线，所以三点可构成三角形，
又，所以为钝角，A项正确；
因为，所以在上的投影向量为
，B项错误；
．因为，点为线段上靠近的三等分点，
所以，，，
所以，，
所以有，C项正确；
设，则，
因为若四边形为平行四边形，所以，即，
即，解得，所以．D项正确．
故选：ACD．
12．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点M在直线BC上
B．若＝＋，则点M是三角形的重心
C．若，则点M在边BC的中线上
D．若，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
【答案】ABD
【解析】对选项A，，所以，即．
所以，又因为为公共点，所以三点共线，即点在直线上，
故A正确．
对选项B，设为的中点，所以，
所以点是的重心，故B正确．
对选项C，因为，则在的平分线上，
不一定在的中线上，故C错误．
对选项D，因为，且，
所以，且，
设，则，且，
即三点共线．
又因为，所以为的中点，如图所示：
所以，故D正确．
故选：ABD
三、填空题
13．（2022·宁夏·吴忠中学高二阶段练习（理））在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为____________．
【答案】9
【解析】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以，又，
故，
当且仅当，即时等号成立．
故答案为：9．
14．（2022·山东聊城一中高一期中）已知平面向量，则与的夹角为______．
【答案】
【解析】由题意得，，，
故答案为：
15．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知向量，，．若，且，则______．
【答案】
【解析】，
由于、，
所以，解得．
故答案为：
16．（2022·上海市南洋模范中学高二阶段练习）在平行四边形中，，若，则______
【答案】
【解析】如图，由可知，为的角平分线，
又四边形为平行四边形，故四边形为菱形，
不妨设，则，
由同时平方得：，即，
所以和夹角为，即，
设，则．
故答案为：
四、解答题
17．（2022·山东聊城一中高一期中）已知平面向量．
（1）若，求满足的和的值；
（2）若，求m的值．
【解析】（1）当时，
∴
∴，解之得
（2）由，可得，
又，则
解得：或
18．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高一期末）已知．
（1）若，求实数的值；
（2）若与夹角为锐角，求实数的取值范围．
【解析】（1）若，则，解得．
（2）若与夹角为锐角，设该夹角为，则，
故只需，解得
且与不同向共线，即，
所以实数的取值范围为且．
19．（2022·上海·格致中学高一期中）如图，梯形，，，，为中点，．
（1）当时，用向量表示的向量；
（2）若为大于零的常数），求的最小值，并指出相应的实数的值．
【解析】（1）过作交于，如图，
因为，所以，，
则四边形是平行四边形，故，即是的中点，
所以，
当时，，
所以．
．
（2）因为，所以，
所以，
因为，，，
所以，
所以当，即时，取得最小值．
所以的最小值为，此时．
20．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）如图，在梯形ABCD中，，E、F是DC的两个三等分点，G，H是AB的两个三等分点，线段BC上一动点P满足．AP分别交EG、FH于M，N两点，记，．
（1）当时，用，表示；
（2）若，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，则
所以
（2）连接，则
，
，
因为三点共线，三点共线，
设 ，
所以，
，
因为，所以，得
因为，所以，
所以，
，
因为，
所以，即，代入得
，
因为，所以解得，
因为，令，则，
因为在上单调递减，所以，
所以，
所以的取值范围为
21．（2022·全国·高三专题练习）已知D为等边所在平面内的一点，，且线段BC上存在点E，使得．
（1）试确定点E的位置，并说明理由；
（2）求的值．
【解析】（1）因为，所以，
所以，
从而，
故点E为靠近点B的一个三等分点．
（2）因为，
所以，
，
．
22．（2022·湖北·襄阳四中高二开学考试）如图，在正六边形中，，为上一点，且（），，交于点．
（1）当时，试用，表示；
（2）试用，表示．
【解析】（1）由正六边形性质可知，，
因为，所以，
所以，
（2）如图过点作交于点，
则，所以，
由，所以，又，所以，
不妨令，则，所以，
所以，即，
所以9．3 向量基本定理及坐标表示
【题型归纳目录】
题型一：平面向量基本定理的理解
题型二：用基底表示向量
题型三：平面向量的坐标表示
题型四：平面向量加、减运算的坐标表示
题型五：平面向量数乘运算的坐标表示
题型六：向量共线的判定
题型七：利用向量共线的坐标表示求参数
题型八：定比分点坐标公式及应用
题型九：数量积的坐标运算
题型十：平面向量的模
题型十一：平面向量的夹角、垂直问题
题型十二：平面向量数量积的综合应用
【知识点梳理】
知识点一：平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
这说明如果且，那么．
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
知识点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．
2、如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算．
知识点二：平面向量的坐标表示
1、正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点诠释：
如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
知识点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中，．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
知识点三：平面向量的坐标运算
1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
运算 坐标语言
加法与减法 记， ，
实数与向量的乘积 记，则
2、如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示
1、平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量，则，即，或．
知识点诠释：
若，则不能表示成因为分母有可能为0．
2、三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线．
知识点五：向量数量积的坐标表示
1、已知两个非零向量，，
2、设，则或
3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．
知识点六：向量在几何中的应用
（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件
（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件
（3）求夹角问题，利用
（4）求线段的长度，可以利用或
【典型例题】
题型一：平面向量基本定理的理解
例1．（2022·全国·高一课时练习）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【方法技巧与总结】
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
例2．（2022·河南·新乡市第一中学高一阶段练习）已知，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
例3．（2022·甘肃武威·高一期末）如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（ ）
A．，是该平面所有向量的一组基底，
B．，是该平面所有向量的一组基底，
C．，不是该平面所有向量的一组基底，
D．，不是该平面所有向量的一组基底，
变式1．（2022·北京房山·高三期末（文））向量在正方形网格中的位置如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：用基底表示向量
例4．（安徽省部分学校2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题）如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
平面向量基本定理的作用以及注意点
（1）根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
（2）基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量．
例5．（2022·福建·高三阶段练习）在中，点在边上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
例6．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在△ABO中，，，AD与BC交于点M．设，．
（1）试用向量，表示；
（2）在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，，其中，．证明：为定值，并求出该定值．
变式2．（2022·全国·高一期末）如图，已知四边形为平形四边形，，，设，．
（1）用向量，表示；
（2）若点P是线段CM上的一动点，（其中），求的最小值．
变式3．（2022·浙江·温岭中学高一阶段练习）在中，设，若，与交于点，
（1）用表示；
（2）在线段，上分别取，使过点，设，求的最小值．
变式4．（2022·全国·高一专题练习）过的重心任作一条直线分别交，于点，，若，，且，试求的值．
题型三：平面向量的坐标表示
例7．（2022·河南·郑州外国语学校高一期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．
例8．（2022·全国·高一专题练习）在平面直角坐标系xOy中，向量、、的方向如图所示，且、、，分别计算出它们的坐标．
例9．（2022·广东·高二学业考试）已知点，，则（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2022·江西·临川一中高一期中）已知，，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型四：平面向量加、减运算的坐标表示
例10．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）（1）已知向量，，，求；
（2）化简：．
【方法技巧与总结】
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
例11．（2022·湖北武汉·高一期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）
A． B．
C． D．
题型五：平面向量数乘运算的坐标表示
例12．（2022·广东·韶关市永翔实验中学高一阶段练习）已知向量，，．
（1）求；
（2）求满足的实数，；
【方法技巧与总结】
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
例13．（2022·全国·高一专题练习）已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4）．设．
（1）求；
（2）求满足的实数m，n的值．
例14．（2022·全国·高一课时练习）已知点及．
（1）当t为何值时，点P在x轴上 点P在y轴上 点P在第二象限
（2）O，A，B，P四点能否构成平行四边形 若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
题型六：向量共线的判定
例15．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高一期中）下列各组的两个向量，共线的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【方法技巧与总结】
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
例16．（2022·北京·清华附中朝阳学校高一阶段练习）已知向量，，那么与共线的一个向量是（ ）
A．（6，4） B．（4，6） C．（0，4） D．（1，6）
例17．（2022·全国·高一课时练习）已知，若，，
（1）求点的坐标及向量的坐标；
（2）求证：．
变式6．（2022·全国·高一课时练习）已知点A（-1，-1）， B（1，3）， C（1，5）， D（2，7），向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
变式7．（2022·安徽宣城·高一阶段练习）已知，，，且，．
（1）求点E，F的坐标；
（2）求证：．
变式8．（2022·吉林·四平市第一高级中学高三阶段练习）如图，在中，已知．
（1）用向量分别表示与；
（2）证明：三点共线．
变式9．（2022·全国·高一单元测试）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，．
（1）用向量与表示向量，；
（2）若，求证：三点共线．
变式10．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点．
求证：（1）；
（2）D，M，B三点共线．
题型七：利用向量共线的坐标表示求参数
例18．（2022·上海市甘泉外国语中学高一期末）已知向量，且，则_____．
【方法技巧与总结】
利用向量平行的条件处理求值问题的思路
（1）利用向量共线定理列方程组求解．
（2）利用向量平行的坐标表达式直接求解．
提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值．
例19．（2022·四川省岳池中学高三阶段练习（理））已知，，向量，，则当时，的最小值为_____．
例20．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）已知向量．
（1）求；
（2）求满足的实数和的值；
（3）若，求实数k的值．
变式11．（2022·河南濮阳·高一期中）已知向量．
（1）求；
（2）若，求实数的值；
（3）若，求实数的值．
变式12．（2022·河北·魏县第五中学高一期中）已知
（1）当k为何值时，与共线？
（2）若，且A，B，C三点共线，求m的值．
变式13．（2022·全国·高一课时练习）已知点，试用向量的方法求AC与BD的交点坐标．
变式14．（2022·全国·高一专题练习）设，是正交单位向量，如果，，，若，，三点在一条直线上，且，求，的值．
变式15．（2022·全国·高一课时练习）设梯形的其中3个顶点的坐标分别为，且，，求点C的坐标．
题型八：定比分点坐标公式及应用
例21．（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点P满足，则点P的坐标为__________．
【方法技巧与总结】
用有向线段的定比分点坐标公式，可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法．
例22．（2022·上海市民办文绮中学高二期中）已知点分线段的比为-2，若，则点的坐标为_______
例23．（2022·上海师大附中高二期中）若点分有向线段所成的比为，则点分有向线段PA所成的比是_______
变式16．（2022·四川省越西中学高一阶段练习）已知点，，直线上一点满足，则点坐标是__________．
变式17．（2022·全国·高一课时练习）设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）．
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
题型九：数量积的坐标运算
例24．（2022·吉林·四平市第一高级中学高三阶段练习（文））已知向量，，，若，则______．
【方法技巧与总结】
进行数量积运算时，要正确使用公式，并能灵活运用以下几个关系．
例25．（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）在平行四边形中，为一条对角线，若，．
（1）；
（2）．
例26．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高一期末）已知向量，，则向量在方向上的数量投影为___________．
变式18．（2022·北京大兴精华学校高三阶段练习）如图，四边形是边长为4的正方形，若，且为的中点，则______．
变式19．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______．
变式20．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知向量，则在方向上的投影向量是_____．
变式21．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三阶段练习）已知向量，，，则_________．
题型十：平面向量的模
例27．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知平面向量，，若，则________．
【方法技巧与总结】
求向量的模的常见思路及方法
（1）求模问题一般转化为求模的平方，即，求模时，勿忘记开方．
（2）或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
例28．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）如果向量，，那么______．
例29．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知向量，，若，则________．
变式22．（2022·全国·高三竞赛）已知向量，则的最大值是___________．
变式23．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知向量，且满足，则_______．
题型十一：平面向量的夹角、垂直问题
【方法技巧与总结】
解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）求解方法：由直接求出．
（2）注意事项：利用三角函数值求的值时，应注意角的取值范围是．利用判断的值时，要注意时，有两种情况：一是是钝角，二是为；时，也有两种情况：一是是锐角，二是为．
例30．（2022·湖南·邵阳市第二中学高二开学考试）已知向量，．
（1）当时，求；
（2）当，，求向量与的夹角．
例31．（2022·上海中学东校高一期末）已知向量，．
（1）求；
（2）若向量与互相垂直，求的值．
例32．（2022·全国·高二专题练习）已知向量，．
（1）求；
（2）已知，且，求向量与向量的夹角．
变式24．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））已知平面向量，满足，，其中．
（1）若，求实数m的值．
（2）若，若与夹角的余弦值．
变式25．（2022·全国·高二课时练习）已知
（1）求；
（2）设的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求的值．
变式26．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高一期末）已知，，，，且．
（1）求的值；
（2）求向量与向量夹角的余弦．
变式27．（2022·山东·新泰市第一中学北校高三期中）已知平面向量，，．
（1）若，求；
（2）若与的夹角为锐角，求x的取值范围．
题型十二：平面向量数量积的综合应用
例33．（2022·安徽省舒城中学高二阶段练习）如图，在矩形中，为边的中点，若为折线段上的动点，则的最小值为___________．
【方法技巧与总结】
坐标法
例34．（2022·福建省宁化第一中学高一阶段练习）在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则的最大值是______．
例35．（2022·甘肃省民乐县第一中学高一期中）已知坐标平面内，，，，．
（1）若与共线，求的值，并指出此时与是同向还是反向；
（2）当取最小值时，求的坐标，并求的值．
变式28．（2022·广东·金山中学高一阶段练习）已知是坐标原点
（1）当A，B，C三点共线时，求的值．
（2）当取何值时，取最小值？并求出最小值
变式29．（2022·山西现代双语学校南校高一阶段练习）在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．
（1）若，求x－y的值；
（2）求的取值范围；
（3）若为线段的中点，直线与相交于点M，求·．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·山东聊城一中高一期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东聊城一中高一期中）已知，若与方向相同，则（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2022·山东·高一阶段练习）已知向量，若，则实数m的值是（ ）
A．3或 B．或1 C．3或1 D．或
4．（2022·山东·高一阶段练习）已知G是的重心，点D满足，若，则为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）在中，，为线段的中点，为线段上靠近点的三等分点，两条直线与相交于点，则=（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
7．（2022·吉林·四平市第一高级中学高三阶段练习（文））在平行四边形中，，，点E是BC的中点，，则（ ）
A． B． C．2 D．6
8．（2022·辽宁·本溪高中高三阶段练习）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022·山东·高一阶段练习）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，则第四个顶点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·广东·普宁市华美实验学校高三阶段练习）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角为 D．向量在上的投影向量为
11．（2022·广西·高二阶段练习）已知平面直角坐标系中三个点，，，点为线段上靠近的三等分点，下列说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形 B．在上的投影向量为
C． D．若四边形为平行四边形，则点为
12．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点M在直线BC上
B．若＝＋，则点M是三角形的重心
C．若，则点M在边BC的中线上
D．若，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
三、填空题
13．（2022·宁夏·吴忠中学高二阶段练习（理））在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为____________．
14．（2022·山东聊城一中高一期中）已知平面向量，则与的夹角为______．
15．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知向量，，．若，且，则______．
16．（2022·上海市南洋模范中学高二阶段练习）在平行四边形中，，若，则______
四、解答题
17．（2022·山东聊城一中高一期中）已知平面向量．
（1）若，求满足的和的值；
（2）若，求m的值．
18．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高一期末）已知．
（1）若，求实数的值；
（2）若与夹角为锐角，求实数的取值范围．
19．（2022·上海·格致中学高一期中）如图，梯形，，，，为中点，．
（1）当时，用向量表示的向量；
（2）若为大于零的常数），求的最小值，并指出相应的实数的值．
20．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）如图，在梯形ABCD中，，E、F是DC的两个三等分点，G，H是AB的两个三等分点，线段BC上一动点P满足．AP分别交EG、FH于M，N两点，记，．
（1）当时，用，表示；
（2）若，求的取值范围．
21．（2022·全国·高三专题练习）已知D为等边所在平面内的一点，，且线段BC上存在点E，使得．
（1）试确定点E的位置，并说明理由；
（2）求的值．
22．（2022·湖北·襄阳四中高二开学考试）如图，在正六边形中，，为上一点，且（），，交于点．
（1）当时，试用，表示；
（2）试用，表示．

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