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第9章 平面向量 章末题型归纳总结
章末题型归纳目录
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：向量的线性运算
经典题型二：三点共线定理的应用
经典题型三：向量的数乘运算
经典题型四：向量的数量积运算
经典题型五：向量的模、向量的夹角
经典题型六：向量的投影、投影向量
经典题型七：平面向量的实际应用
经典题型八：平面向量范围与最值问题
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：向量的线性运算
例1．（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023春·广西南宁·高一校考阶段练习）在中，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2023春·广西玉林·高一校考阶段练习）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例4．（2023春·广西桂林·高一校考期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
例5．（2023春·湖南株洲·高一校联考期中）在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）如图，在平行四边形中，设．试用求表示及．
经典题型二：三点共线定理的应用
例7．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）已知．
(1)当k为何值时，与共线；
(2)若且A，B，C三点共线，求m的值．
例8．（2023·北京昌平·高一统考期末）如图，在中，.设.
(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.
例9．（2023·北京房山·高一统考期末）已知向量，不共线，且，，．
(1)将用，表示；
(2)若，求的值；
(3)若，求证：A，B，C三点共线．
例10．（2023·高一课时练习）设两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使和共线．
例11．（2023·高一课时练习）已知中，，为角平分线．
（1）求 的长度；
（2）过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，求的值，并说明理由．
例12．（2023春·广西桂林·高一校考期末）如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
(1)试用向量表示；
(2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值.
例13．（2023·高一课时练习）如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，，求的值；
经典题型三：向量的数乘运算
例14．（2023·北京昌平·高一统考期末）如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例15．（2023·新疆喀什·高一莎车县第一中学校考阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
例16．（2023·高一课时练习）在中，已知是边上一点，若，则（ ）
A．2 B．１
C．-2 D．－1
例17．（2023春·江苏苏州·高一苏州中学校考阶段练习）已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（　　）
A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部
例18．（2023·高一单元测试）在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
例19．（2023·高一课时练习）如图，设P，Q是线段的三等分点（点P靠近点A），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
经典题型四：向量的数量积运算
例20．（2023·高一课时练习）在中，，，，则________．
例21．（2023·高一课时练习）两个单位向量与的夹角为，则________．
例22．（2023·高一课时练习）已知，，且与的夹角为，则________．
例23．（2023·高一课时练习）已知，，若，，则______．
例24．（2023·高一单元测试）已知、满足，，则______．
例25．（2023·高一课时练习）已知，，且与的夹角为，则______．
经典题型五：向量的模、向量的夹角
例26．（2023·高一课时练习）已知，，、的夹角，若，则m=______．
例27．（2023·高一课时练习）已知，，则________．
例28．（2023·高一课时练习）已知向量，，则与的夹角________．
例29．（2023·高一课时练习）已知，，且与的夹角为，则k=______．
例30．（2023·高一课时练习）已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是_____;
例31．（2023·高一课时练习）已知，向量在向量方向上的投影数量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
例32．（2023·高一课时练习）在直角三角形ABC中，若斜边，直角边，则________．
例33．（2023·高一课时练习）已知，且在上的数量投影为，则与的夹角________．
例34．（2023·高一课时练习）设，是x，y轴正方向上的单位向量，，，则向量，的夹角为______．
例35．（2023·高一课时练习）已知，，若，则与的夹角为______．
经典题型六：向量的投影、投影向量
例36．（2023·高一课时练习）已知两个向量，，，，则在方向上的数量投影为________．
例37．（2023·高一课时练习）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量方向上的投影向量是________．
例38．（2023·高一课时练习）设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则________．
例39．（2023·高一课时练习）已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为______．
例40．（2023·高一课时练习）已知，，当时，在方向上的投影数量为______；当时，在方向上的数量投影为______；当时，在方向上的数量投影为______．
例41．（2023·全国·高一专题练习）已知点，，，，则向量在方向上的数量投影为______．
例42．（2023·高一课时练习）已知，．若在方向上的数量投影为3，则实数______．
例43．（2023·高一课时练习）已知，，，则在方向上的数量投影为________．
例44．（2023·高一课时练习）若，，和的夹角为30°，则在方向上的投影为______．
例45．（2023·高一单元测试）已知，，与的夹角为．求：
(1)；
(2)；
(3)．
例46．（2023·高一课时练习）中，，，，求．
例47．（2023·高一课时练习）已知非零向量，满足，，试求，的夹角．
例48．（2023·高一课时练习）若，，和的夹角为135°，求的值．
例49．（2023·高一课时练习）已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与夹角的大小．
例50．（2023·高一课时练习）已知向量与的夹角，，，求
(1)；
(2)．
例51．（2023·高一课时练习）已知向量且与夹角为，
（1）求；
（2）若，求实数的值.
例52．（2023·高一课时练习）已知，，，，求与的夹角．
经典题型七：平面向量的实际应用
例53．（2023·高一课时练习）已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；
(2)，的合力对质点所做的功．
例54．（2023·高一课时练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标．
例55．（2023·高一课时练习）已知质点O受到三个力，，的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都是，求合力的大小和方向.
例56．（2023·高一课时练习）某人骑摩托车以20千米／小时的速度向西行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40千米／小时，感到风从西南方向吹来，求实际风向和风速的大小.
例57．（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形中，已知，，对角线，试用向量的方法求对角线的长．
例58．（2023·云南·高二校联考开学考试）已知A，B，C三点的坐标分别为，，，是否存在实数m，使得A，B，C三点能构成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，请说明理由．
经典题型八：平面向量范围与最值问题
例59．（2023·高一单元测试）在平面内，，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例60．（2023春·贵州贵阳·高一统考期末）在中，是线段上的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例61．（2023·高一课时练习）已知，，则的取值范围是______．
例62．（2023·高一课时练习）已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是_____;
例63．（2023春·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是__．
例64．（2023·全国·高一假期作业）已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____．
例65．（2023春·陕西西安·高一统考期末）已知点，其中，则的取值范围为___________.
例66．（2023春·上海浦东新·高一校考期末）已知.
(1)若，求实数的值；
(2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围.
例67．（2023春·河北邯郸·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且.设，.
(1)若，以，为基底表示向量与；
(2)若，求的取值范围.
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想
例68．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．
（1）若，，三点共线，求与满足的关系式；
（2）若 A，B ，C 三点共线，且，求点的坐标．
例69．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知向量，且
（1）当时，求及的值；
（2）若函数的最小值是，求实数的值.
②转化与化归思想
例70．（2023春·浙江温州·高一统考期末）如图，在梯形中，，，是的两个三等分点，，是的两个三等分点，线段上一动点满足，分别交，于，两点，记，．
（1）当时，用，表示：
（2）若，试写出和的关系，并求出的取值范围．
例71．（2023春·辽宁大连·高一校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，其中.
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
③数形结合思想
例72．（2023春·浙江台州·高一温岭中学校考阶段练习）在中，设，若，与交于点，
(1)用表示；
(2)在线段，上分别取，使过点，设，求的最小值.
例73．（2023春·高一单元测试）如图，两个长度为1的平面向量和，夹角为，点C在以O为圆心的圆弧上移动，若，求的最大值.
例74．（2023·全国·高三专题练习）已知向量为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
例75．（2023春·贵州黔东南·高一统考期末）已知平面向量满足，，且，若向量，的夹角为60°，则的最大值是________第9章 平面向量 章末题型归纳总结
章末题型归纳目录
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：向量的线性运算
经典题型二：三点共线定理的应用
经典题型三：向量的数乘运算
经典题型四：向量的数量积运算
经典题型五：向量的模、向量的夹角
经典题型六：向量的投影、投影向量
经典题型七：平面向量的实际应用
经典题型八：平面向量范围与最值问题
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：向量的线性运算
例1．（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可知，＝﹣
＝＝
=.
故选：C.
例2．（2023春·广西南宁·高一校考阶段练习）在中，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意如下图所示：
根据向量加法法则可知，又，所以
即，
可得.
故选：A
例3．（2023春·广西玉林·高一校考阶段练习）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】对于A，，不可以作为基底，A错误；
对于B，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，B正确；
对于C，，共线，不可以作为基底，C错误；
对于D，，共线，不可以作为基底，D错误.
故选：B.
例4．（2023春·广西桂林·高一校考期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】A
【解析】对于A，因为，所以和共线，则这组向量不能作为平面内的一组基底，故A正确；
对于B，假设和共线，则，故，
所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，
则和能作为平面内的一组基底，故B错误；
对于C，假设和共线，则，即，
由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，
则和能作为平面内的一组基底，故C错误；
对于D，假设和共线，则，即，
由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，
则和能作为平面内的一组基底，故D错误.
故选：A.
例5．（2023春·湖南株洲·高一校联考期中）在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平行四边形的对角线与交于点，如图，
则，而点为的中点，
有，由得：，
则有，
所以.
故选：C
例6．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）如图，在平行四边形中，设．试用求表示及．
【解析】在平行四边形中,,
所以
进而得
经典题型二：三点共线定理的应用
例7．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）已知．
(1)当k为何值时，与共线；
(2)若且A，B，C三点共线，求m的值．
【解析】（1），，
，，
又与共线，
，即；
（2），，
、、三点共线，
，即．
例8．（2023·北京昌平·高一统考期末）如图，在中，.设.
(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.
【解析】（1）由题图，，
.
（2）由，
又，所以，故三点共线.
例9．（2023·北京房山·高一统考期末）已知向量，不共线，且，，．
(1)将用，表示；
(2)若，求的值；
(3)若，求证：A，B，C三点共线．
【解析】（1）因为，，
所以；
（2）因为，，，
所以，即，又向量，不共线，
所以，解得，
即的值为；
（3）当时， ，，，
所以，
所以，又有公共点，
所以A，B，C三点共线．
例10．（2023·高一课时练习）设两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使和共线．
【解析】（1）证明：，，，
，共线，
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（2）和共线，
∴存在实数λ，使，
即，.
，是两个不共线的非零向量，
，.
例11．（2023·高一课时练习）已知中，，为角平分线．
（1）求 的长度；
（2）过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，求的值，并说明理由．
【解析】（1）根据角平分线定理：，所以，
所以
所以：，
所以.
（2）因为，，
所以，
因为三点共线，所以，
所以.
例12．（2023春·广西桂林·高一校考期末）如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
(1)试用向量表示；
(2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值.
【解析】（1）因为三点共线，
所以存在实数使得，
又因为三点共线，
所以存在实数使得，
根据向量相等可得，解得，
所以.
（2）设，
由（1）可得①，②，
又三点共线，所以③，
由①②可得，，代入③式可得，
即不论点在线段上如何移动，为定值.
例13．（2023·高一课时练习）如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，，求的值；
【解析】（1）因，
所以，
又因为的中点，
所以，
所以，又，
所以；
（2）因，，，，
所以，，又因，
所以，
又因，，三点共线，
所以，即.
经典题型三：向量的数乘运算
例14．（2023·北京昌平·高一统考期末）如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图知：，故A错误；不相等，即，故B错误；
，故C错误；，故D正确.
故选：D
例15．（2023·新疆喀什·高一莎车县第一中学校考阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据向量运算公式可知，
.
故选：B
例16．（2023·高一课时练习）在中，已知是边上一点，若，则（ ）
A．2 B．１
C．-2 D．－1
【答案】C
【解析】如图所示：
因为，
所以为线段的三等分点中靠近的点，
所以=,
所以，
所以.
故选：C.
例17．（2023春·江苏苏州·高一苏州中学校考阶段练习）已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（　　）
A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部
【答案】A
【解析】∵，
∴，则，则
∴
∴P点在AC边所在直线上．
故选：A．
例18．（2023·高一单元测试）在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】在平行四边形中，，所以．
故选：B．
例19．（2023·高一课时练习）如图，设P，Q是线段的三等分点（点P靠近点A），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，，又与方向相同，∴，故A错误；
，又与方向相反，∴，故B正确；
，又与方向相反，∴，故C错误；
，又与方向相反，∴，故D错误.
故选：B.
经典题型四：向量的数量积运算
例20．（2023·高一课时练习）在中，，，，则________．
【答案】
【解析】由题知，，，，
所以与的夹角为，
所以，
故答案为：.
例21．（2023·高一课时练习）两个单位向量与的夹角为，则________．
【答案】
【解析】两个单位向量与的夹角为，
，
故答案为：.
例22．（2023·高一课时练习）已知，，且与的夹角为，则________．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
例23．（2023·高一课时练习）已知，，若，，则______．
【答案】
【解析】因为，
所以即，
所以.
故答案为：.
例24．（2023·高一单元测试）已知、满足，，则______．
【答案】10
【解析】由题意有，作差可得．
故答案为：
例25．（2023·高一课时练习）已知，，且与的夹角为，则______．
【答案】
【解析】因为，，且与的夹角为，
所以
故答案为：
经典题型五：向量的模、向量的夹角
例26．（2023·高一课时练习）已知，，、的夹角，若，则m=______．
【答案】
【解析】由得，
即，
因为，，、的夹角，
所以，
解得.
故答案为：．
例27．（2023·高一课时练习）已知，，则________．
【答案】
【解析】因为，，
所以，
所以
故答案为：
例28．（2023·高一课时练习）已知向量，，则与的夹角________．
【答案】
【解析】因为向量，，设与的夹角，
所以，
因为，
所以，
故答案为：.
例29．（2023·高一课时练习）已知，，且与的夹角为，则k=______．
【答案】-5
【解析】，解得：.
故答案为：
例30．（2023·高一课时练习）已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是_____;
【答案】
【解析】因为与的夹角为钝角，所以与的数量积小于0且不平行，
即且，所以.
例31．（2023·高一课时练习）已知，向量在向量方向上的投影数量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设向量与向量的夹角为，由向量在向量方向上的投影数量为，即，又，所以，因为，所以
故选：B
例32．（2023·高一课时练习）在直角三角形ABC中，若斜边，直角边，则________．
【答案】
【解析】在直角三角形ABC中，斜边，直角边，
所以，
即.
故答案为：.
例33．（2023·高一课时练习）已知，且在上的数量投影为，则与的夹角________．
【答案】
【解析】因为，且在上的数量投影为，
所以，
所以，又，
所以.
故答案为：.
例34．（2023·高一课时练习）设，是x，y轴正方向上的单位向量，，，则向量，的夹角为______．
【答案】
【解析】①，
②,
得，
得，
，
例35．（2023·高一课时练习）已知，，若，则与的夹角为______．
【答案】
【解析】因为，
所以，又，，
所以，又，
所以向量与的夹角为.
故答案为：.
经典题型六：向量的投影、投影向量
例36．（2023·高一课时练习）已知两个向量，，，，则在方向上的数量投影为________．
【答案】或
【解析】，，，
在方向上的数量投影为或.
故答案为：或.
例37．（2023·高一课时练习）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量方向上的投影向量是________．
【答案】
【解析】因为向量、的夹角等于，，为单位向量，
所以向量在向量上的投影向量是.
故答案为：.
例38．（2023·高一课时练习）设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则________．
【答案】
【解析】因为为在方向上的投影向量，，
所以，又，且，
所以.
故答案为；.
例39．（2023·高一课时练习）已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为______．
【答案】
【解析】在方向上的投影向量为，
故答案为：.
例40．（2023·高一课时练习）已知，，当时，在方向上的投影数量为______；当时，在方向上的数量投影为______；当时，在方向上的数量投影为______．
【答案】 0
【解析】在方向上的投影数量为：
当时或者，所以
当时，所以
当时，所以
故答案为：
例41．（2023·全国·高一专题练习）已知点，，，，则向量在方向上的数量投影为______．
【答案】
【解析】，
所以向量在方向上的数量投影为.
故答案为：.
例42．（2023·高一课时练习）已知，．若在方向上的数量投影为3，则实数______．
【答案】
【解析】由题意知，，
因为在方向上的投影为，所以，解得.
故答案为：
例43．（2023·高一课时练习）已知，，，则在方向上的数量投影为________．
【答案】
【解析】记向量与的夹角为，
所以在方向上的数量投影为.
故答案为：
例44．（2023·高一课时练习）若，，和的夹角为30°，则在方向上的投影为______．
【答案】
【解析】在方向上的投影为．
故答案为：．
例45．（2023·高一单元测试）已知，，与的夹角为．求：
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】（1）因为，，与的夹角为，
所以；
（2）由（1），
所以；
（3）由（1），
所以.
例46．（2023·高一课时练习）中，，，，求．
【解析】
如图，，，，根据勾股定理，
，故，，
，
，
，
故答案为：
例47．（2023·高一课时练习）已知非零向量，满足，，试求，的夹角．
【解析】因为，，
所以，，
即，
所以，，，
所以，又，
所以，即，的夹角为．
例48．（2023·高一课时练习）若，，和的夹角为135°，求的值．
【解析】由条件得，，
，同理得，
所以
例49．（2023·高一课时练习）已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与夹角的大小．
【解析】因为、都是非零向量，
由与垂直，
则，
即， ①
由与垂直，
则，
即， ②
①②得：， ③
③代入①得：，
设与夹角为，则，
因为，所以，
所以与的夹角为.
例50．（2023·高一课时练习）已知向量与的夹角，，，求
(1)；
(2)．
【解析】（1）根据数量积的定义可得
（2），
所以
例51．（2023·高一课时练习）已知向量且与夹角为，
（1）求；
（2）若，求实数的值.
【解析】（1）因为，所以，
又因为，与的夹角为 ，
∴，
所以;
（2）由，
得，即，
，
解得.
例52．（2023·高一课时练习）已知，，，，求与的夹角．
【解析】设，与的夹角为，
则，
因为，所以，
，解得：，
所以，
经典题型七：平面向量的实际应用
例53．（2023·高一课时练习）已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；
(2)，的合力对质点所做的功．
【解析】（1）依题意有，，，
则做的功为，
做的功为．
（2）由，
所以做的功为．
例54．（2023·高一课时练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标．
【解析】设，，，第四个顶点，
由题意，该平行四边形的四个顶点顺序不确定，讨论如下：
①若平行四边形为，则，
因为，，所以，解得；
②若平行四边形为，则，
因为，，所以，解得；
③若平行四边形为，则，
因为，，所以，解得；
综上第四个顶点的坐标为或或.
例55．（2023·高一课时练习）已知质点O受到三个力，，的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都是，求合力的大小和方向.
【解析】以为原点，为轴正方向建立直角坐标系，如图
由题意得,，,，,，
所以，
所以三个力的合力坐标为，
所以三个力的合力大小为：，
设合力方向与轴正方向夹角为，所以，
因为合力坐标在第二象限，所以，
即合力方向与方向的夹角为，同时与方向的夹角为.
例56．（2023·高一课时练习）某人骑摩托车以20千米／小时的速度向西行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40千米／小时，感到风从西南方向吹来，求实际风向和风速的大小.
【解析】设实际风速为，表示此人向西行驶的速度，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，
如图，设，，，
∵，
∴，这就是速度为时感到的由正南方向吹来的风速，
∵，
∴，这就是速度为时感到的由西南方向吹来的风速，
由题意知，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，即，
∴实际风速的大小是千米／小时，为东南风.
例57．（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形中，已知，，对角线，试用向量的方法求对角线的长．
【解析】设，，则，，
，解得：，
，解得：，
即对角线的长为.
例58．（2023·云南·高二校联考开学考试）已知A，B，C三点的坐标分别为，，，是否存在实数m，使得A，B，C三点能构成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，请说明理由．
【解析】存在实数m，理由如下：
由题意，得，
，
．
若A为直角，则，得．
若B为直角，则，得．
若C为直角，则，
，所以方程无解．
故m的取值集合为．
经典题型八：平面向量范围与最值问题
例59．（2023·高一单元测试）在平面内，，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
以A为原点，，的方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系.
设，，，
则，，，，
则，即，
所以.
由，
得，
所以，.
由，得，
即，所以，
即.
所以的取值范围是，
故选：D.
例60．（2023春·贵州贵阳·高一统考期末）在中，是线段上的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为
是以为坐标原点，建立直角坐标系，
，因为是线段上的点，
所以，所以，
所以 所以，
，
当时，有最大值，当时，有最小值.
所以的取值范围是.
故选：B.
例61．（2023·高一课时练习）已知，，则的取值范围是______．
【答案】[2，14]
【解析】，
即
故答案为：
例62．（2023·高一课时练习）已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是_____;
【答案】
【解析】因为与的夹角为钝角，所以与的数量积小于0且不平行，
即且，所以.
例63．（2023春·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是__．
【答案】
【解析】由题知，中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，
所以为的中点，，
因为，
所以
,
因为，即
所以，当且仅当同向时取最大值，反向时取最小值，
所以的取值范围是，
故答案为：
例64．（2023·全国·高一假期作业）已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】，
因为与的夹角为钝角，所以
所以，解得：，
且与不反向共线，
即，解得：，
综上：，
故答案为：.
例65．（2023春·陕西西安·高一统考期末）已知点，其中，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由，
得，
则，
所以，
因为，
所以，
所以，
即的取值范围为.
故答案为：.
例66．（2023春·上海浦东新·高一校考期末）已知.
(1)若，求实数的值；
(2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围.
【解析】（1）若，则，解得.
（2）若与夹角为锐角，设该夹角为，则，
故只需，解得
且与不同向共线，即，
所以实数的取值范围为且.
例67．（2023春·河北邯郸·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且.设，.
(1)若，以，为基底表示向量与；
(2)若，求的取值范围.
【解析】(1)
，
所以；
因为，所以
，
所以；
(2)
，
所以，
又，，，所以，
所以
因为，所以，所以，
所以的取值范围为.
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想
例68．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．
（1）若，，三点共线，求与满足的关系式；
（2）若 A，B ，C 三点共线，且，求点的坐标．
【解析】（1），，
因为，，三点共线，所以向量与也共线，所以，
所以与满足的关系式为．
（2）由，可得，或，
当时，有，；
当时，有，；
所以点的坐标为或．
例69．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知向量，且
（1）当时，求及的值；
（2）若函数的最小值是，求实数的值.
【解析】（1）因为，
所以
又因为，所以
（2）
，
当时，.
当时， 不满足.
当时，，，不满足.
综上，实数的值为.
②转化与化归思想
例70．（2023春·浙江温州·高一统考期末）如图，在梯形中，，，是的两个三等分点，，是的两个三等分点，线段上一动点满足，分别交，于，两点，记，．
（1）当时，用，表示：
（2）若，试写出和的关系，并求出的取值范围．
【解析】（1）当时，，则
所以
（2）连接,则
，
，
因为三点共线，三点共线，
所以，
，
因为，所以，得
因为，所以,
所以，
，
因为，
所以，即，
所以，
因为，所以解得，
因为，令，则，
因为在上单调递减，所以，
所以，
所以的取值范围为
例71．（2023春·辽宁大连·高一校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，其中.
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【解析】（1），，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值.
（2）由题意得，，
，
因为，所以，，所以，，
假设存在，使得为钝角三角形，则角是钝角，从而，
由（1）得，即，
所以，即；
反之，当时，，又，，三点不共线，
所以为钝角三角形.
综上，当时，为钝角三角形.
③数形结合思想
例72．（2023春·浙江台州·高一温岭中学校考阶段练习）在中，设，若，与交于点，
(1)用表示；
(2)在线段，上分别取，使过点，设，求的最小值.
【解析】(1)因为三点共线，所以可设，
因为三点共线，所以可设，
根据平面向量基本定理可得，解得，
所以.
(2)因为，且三点共线，
所以，依题意知，
所以，
当且仅当，时，取得等号，
所以的最小值为.
例73．（2023春·高一单元测试）如图，两个长度为1的平面向量和，夹角为，点C在以O为圆心的圆弧上移动，若，求的最大值.
【解析】如图，以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，则：
，，设，，；
；
；
；
；
；
；
，即时取最大值2．
例74．（2023·全国·高三专题练习）已知向量为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】∵，∴的夹角为．
设，则，．∴为正三角形，
如图所示，作的外接圆E，∵，故的外接圆F与圆E半径相等，点C均在优弧上，则由圆的性质，当OC经过EF时最长，即最长.
故选：B
例75．（2023春·贵州黔东南·高一统考期末）已知平面向量满足，，且，若向量，的夹角为60°，则的最大值是________
【答案】
【解析】设，，，由，，且，可得，，因为向量，的夹角为60°，即，所以点C在优弧上运动，故的最大值是的外接圆的直径，可算得，由正弦定理，直径．故的最大值是
故答案为：

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