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2023届高考物理二轮复习曲线运动临界问题教师版
曲线运动临界问题
一、平抛运动的临界：
一般对于平抛运动过程中存在要求问题落点存在范围，即平抛运动初速度在最小值到最大值之间，关键问题是找到最小速度，最大速度。
【例】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的取值范围是（） 1
A. B.
C. D.
【析】乒乓球的最小速度是刚好垂直于球网方向且擦着网，此时球下落的高度，乒乓球的水平位移，解得；乒乓球的最大速度时落点恰好在球桌的角落处，此时球下落的高度，水平位移如图所示，所以其大小为，解得，则速度v的范围：。所以D选项正确。
【答案】D
二、圆周运动临界：
1.弹力临界：
①当弹簧恰好处于原长时，出现临界状态；
②当细绳上的拉力恰好为零时，出现临界状态；
③当接触面之间的支持力恰好为零时，出现临界状态。
【例】如图所示，一根原长为l0的轻弹簧套在光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连，球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO，匀速转动，且杆与水平面间始终保持30°角。已知杆处于静止状态时弹簧的压缩量为，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）
A.弹簧为原长时，杆的角速度为
B.当杆的角速度时，弹簧处于压缩状态
C.在杆的角速度增大的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能不守恒
D.在杆的角速度由0缓慢增大到过程中，小球机械能增加了
【析】初始态，受力分析如图①所示，小球重力、弹簧弹力和支持力三个力平衡，则，解得。当弹簧处于原长时，小球受力分析如图②所示，重力和支持力的合力提供向心力，则，解得，A错误；由于角速度，则弹簧已经处于伸长状态，所以B选项错误；当角速度增大的过程中，显然除了小球重力和弹簧弹力做功，有外力做正功，所以系统的机械能增大，机械能不守恒，C正确；当杆运动的角速度为时，比临界的角速度大，弹簧必然处于拉伸状态，对小球受力分析如图③所示，假设伸长量为x，水平方向：，竖直方向：，联立解得，小球的机械能增加量为，，则动能增加量，重力势能，所以，D选项正确。
【答案】CD
【总结】对小球受力分析进行的正交分解如图所示，按水平方向、竖直方向列方程。
2.摩擦力临界：
圆盘上的物块所受摩擦力提供向心力，当物块所受静摩擦力达到最大时，恰好与圆盘之间发生相对滑动。
【例】如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动。开始时，绳恰好伸直无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（）
A.当时，A、B相对于转盘会滑动
B.当时，绳子一定有弹力
C.ω在范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
D.ω在范围内增大时，B所受的摩擦力变大
【析】由于B物块运动的半径比A物块的半径大，所以B物块先达到最大静摩擦力，设当圆盘的角速度为ω1，B物块受力分析如图①所示，恰好满足，解得，当时，A、B绳子上出现拉力，B选项正确；当A、B均相对于圆盘发生滑动时圆盘的角速度ω2，此时对A、B受力分析如图②所示，对A由牛顿第二定律：，同理对B满足：，解得，当时，A、B相对于圆盘滑动，则A选项正确；当角速度满足时，A所受摩擦力一直增大，C选项正确；当圆盘的角速度满足时，B所受摩擦力一直增大，角速度，其摩擦力不变。
【答案】ABC
【总结】当B达到最大静摩擦力时，A、B均未相对圆盘滑动，而是A、B之间的绳子出现拉力，只有当A、B均达到最大静摩擦力才会一起相对于圆盘发生滑动，临界条件需要分析清楚。
3.竖直平面内圆周运动临界：
绳球（外轨道）模型中，小球通过最高点时满足，则；
杆球（内外轨道）模型中，小球通过最高点时满足最小速度为零。
【例】如图所示，两个圆弧轨道固定在水平地面上，半径R相同，A轨道由金属凹槽制成，B轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道。在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别用hA和hB表示，关于下列说法中正确的是（）
A.若，则两小球都能沿轨道运动到最高点
B.若，由于机械能守恒，两小球在轨道上上升的最大高度均为
C.适当调整hA和hB，均可使两小球从轨道最高点飞出后，再次进入圆形轨道运动
D.若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，A小球在的最小高度为，B小球在的任意高度均可
【析】A小球恰好通过最高点时满足，从初始释放位置到圆的最高点对A球由机械能守恒定律，联立解得，A选项错误；由于外轨道达到最高点速度不为零，所以达不到，B选项错误；对A球通过最高点后做平抛运动，，，解得，所以A球无法进入圆形轨道，则C错误；B球达到最高点时满足最小的速度恰好为零，则，所以D选项正确。
【答案】D
【练习题组4】
1.（多选）质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为L，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（）
A.a绳的张力不可能为零 B.a绳的张力随角速度的增大而增大
C.当角速度，b绳将出现弹力 D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
2.（多选）物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为ω，则（）
A.ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力 B.绳子BP的拉力随ω的增大而增大
C.绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力 D.当ω增大到一定程度时，绳AP的张力大于BP的张力
3.如图所示，一个半径为R的实心圆盘，其中心轴与竖直方向的夹角为30°，开始时，圆盘静止，其上表面覆盖着一层灰尘，没有掉落。现将圆盘绕其中心轴旋转，其角速度从零缓慢增大至ω，此时圆盘表面上的灰尘75％被甩掉。设灰尘与圆盘之间的动摩擦因数μ=，重力加速度为g，则ω的值为（）
A. B. C. D.
4.（2020全国I卷）如图，一同学荡秋千，已知秋千的两根绳长均为10m，该同学和秋千板的总质量约为50kg，绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8m/s，此时每脱绳子平均承受的拉力约为（）
A.200N B.400N C.600N D.800N
5.（多选）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F-v2图象如图乙所示。不计空气阻力，则（）
A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为
C.时，杆对小球的弹力方向向下 D.时，小球受到的重力与弹力不相等
6.如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ=30°，一条长度为L的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
（1）当时，求绳子对物体的拉力T1；
（2）当时，求绳子对物体的拉力T2。
【练习题组4答案】
1.AC 2.ABC 3.A 4.B 5.AC
6.【析】
【解】当物块恰好离开斜面时，其受力分析如图①所示，物块的临界速度为v0，则满足，解得，以下：
（1）由于，此时物块未离开斜面，其受力分析如图②所示，所以分别列出水平方向和竖直方向方程分别为：，，联立解得：。
（2）由于，此时物块离开斜面，受力分析如图③所示，设其细线与竖直方向所成角为α，则满足，且。联立解得2023届高考物理二轮复习曲线运动临界问题
曲线运动临界问题
一、平抛运动的临界：
一般对于平抛运动过程中存在要求问题落点存在范围，即平抛运动初速度在最小值到最大值之间，关键问题是找到最小速度，最大速度。
【例】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的取值范围是（） 1
A B.
C. D.
【析】乒乓球的最小速度是刚好垂直于球网方向且擦着网，此时球下落的高度，乒乓球的水平位移，解得；乒乓球的最大速度时落点恰好在球桌的角落处，此时球下落的高度，水平位移如图所示，所以其大小为，解得，则速度v的范围：。所以D选项正确。
【答案】D
二、圆周运动临界：
1.弹力临界：
①当弹簧恰好处于原长时，出现临界状态；
②当细绳上的拉力恰好为零时，出现临界状态；
③当接触面之间的支持力恰好为零时，出现临界状态。
【例】如图所示，一根原长为l0的轻弹簧套在光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连，球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO，匀速转动，且杆与水平面间始终保持30°角。已知杆处于静止状态时弹簧的压缩量为，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）
A.弹簧为原长时，杆的角速度为
B.当杆的角速度时，弹簧处于压缩状态
C.在杆的角速度增大的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能不守恒
D.在杆的角速度由0缓慢增大到过程中，小球机械能增加了
【析】初始态，受力分析如图①所示，小球重力、弹簧弹力和支持力三个力平衡，则，解得。当弹簧处于原长时，小球受力分析如图②所示，重力和支持力的合力提供向心力，则，解得，A错误；由于角速度，则弹簧已经处于伸长状态，所以B选项错误；当角速度增大的过程中，显然除了小球重力和弹簧弹力做功，有外力做正功，所以系统的机械能增大，机械能不守恒，C正确；当杆运动的角速度为时，比临界的角速度大，弹簧必然处于拉伸状态，对小球受力分析如图③所示，假设伸长量为x，水平方向：，竖直方向：，联立解得，小球的机械能增加量为，，则动能增加量，重力势能，所以，D选项正确。
【答案】CD
【总结】对小球受力分析进行的正交分解如图所示，按水平方向、竖直方向列方程。
2.摩擦力临界：
圆盘上的物块所受摩擦力提供向心力，当物块所受静摩擦力达到最大时，恰好与圆盘之间发生相对滑动。
【例】如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动。开始时，绳恰好伸直无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（）
A.当时，A、B相对于转盘会滑动
B.当时，绳子一定有弹力
C.ω在范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
D.ω在范围内增大时，B所受的摩擦力变大
【析】由于B物块运动的半径比A物块的半径大，所以B物块先达到最大静摩擦力，设当圆盘的角速度为ω1，B物块受力分析如图①所示，恰好满足，解得，当时，A、B绳子上出现拉力，B选项正确；当A、B均相对于圆盘发生滑动时圆盘的角速度ω2，此时对A、B受力分析如图②所示，对A由牛顿第二定律：，同理对B满足：，解得，当时，A、B相对于圆盘滑动，则A选项正确；当角速度满足时，A所受摩擦力一直增大，C选项正确；当圆盘的角速度满足时，B所受摩擦力一直增大，角速度，其摩擦力不变。
【答案】ABC
【总结】当B达到最大静摩擦力时，A、B均未相对圆盘滑动，而是A、B之间的绳子出现拉力，只有当A、B均达到最大静摩擦力才会一起相对于圆盘发生滑动，临界条件需要分析清楚。
3.竖直平面内圆周运动临界：
绳球（外轨道）模型中，小球通过最高点时满足，则；
杆球（内外轨道）模型中，小球通过最高点时满足最小速度为零。
【例】如图所示，两个圆弧轨道固定在水平地面上，半径R相同，A轨道由金属凹槽制成，B轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道。在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别用hA和hB表示，关于下列说法中正确的是（）
A.若，则两小球都能沿轨道运动到最高点
B.若，由于机械能守恒，两小球在轨道上上升的最大高度均为
C.适当调整hA和hB，均可使两小球从轨道最高点飞出后，再次进入圆形轨道运动
D.若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，A小球在的最小高度为，B小球在的任意高度均可
【析】A小球恰好通过最高点时满足，从初始释放位置到圆的最高点对A球由机械能守恒定律，联立解得，A选项错误；由于外轨道达到最高点速度不为零，所以达不到，B选项错误；对A球通过最高点后做平抛运动，，，解得，所以A球无法进入圆形轨道，则C错误；B球达到最高点时满足最小的速度恰好为零，则，所以D选项正确。
【答案】D
【练习题组4】
1.（多选）质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为L，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（）
A.a绳的张力不可能为零 B.a绳的张力随角速度的增大而增大
C.当角速度，b绳将出现弹力 D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
2.（多选）物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为ω，则（）
A.ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力 B.绳子BP的拉力随ω的增大而增大
C.绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力 D.当ω增大到一定程度时，绳AP的张力大于BP的张力
3.如图所示，一个半径为R的实心圆盘，其中心轴与竖直方向的夹角为30°，开始时，圆盘静止，其上表面覆盖着一层灰尘，没有掉落。现将圆盘绕其中心轴旋转，其角速度从零缓慢增大至ω，此时圆盘表面上的灰尘75％被甩掉。设灰尘与圆盘之间的动摩擦因数μ=，重力加速度为g，则ω的值为（）
A. B. C. D.
4.（2020全国I卷）如图，一同学荡秋千，已知秋千的两根绳长均为10m，该同学和秋千板的总质量约为50kg，绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8m/s，此时每脱绳子平均承受的拉力约为（）
A.200N B.400N C.600N D.800N
5.（多选）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F-v2图象如图乙所示。不计空气阻力，则（）
A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为
C.时，杆对小球的弹力方向向下 D.时，小球受到的重力与弹力不相等
6.如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ=30°，一条长度为L的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
（1）当时，求绳子对物体的拉力T1；
（2）当时，求绳子对物体的拉力T2。

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