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6.3 向心加速度
人教版（2019）物理（必修第二册）
第六单元 圆周运动
老师： 授课时间：
课堂导入
匀速圆周运动的实质是变速运动，说明运动的加速度一定不为 0。那么，该如何确定它在轨飞行时加速度的方向和大小呢？
一、匀速圆周运动的加速度方向
4.物理意义：描述速度方向变化的快慢
2.符号：an
3.方向：始终指向圆心
5.说明：匀速圆周运动加速度的方向时刻改变，
所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动。
1.向心加速度：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。
如何求大小呢？
二、匀速圆周运动的加速度大小
1、从牛顿第二定律角度思考：
3.说明：匀速圆周运动的向心加速度大小不变。
你是否可以尝试推到以下向心加速度的计算公式呢？
你还记得向心力的计算公式吗？
根据牛顿第二定律：
2.向心力的大小：
二、匀速圆周运动的加速度大小
2.从几何角度推到向心信加速度的大小：
如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在 A、B 两点的速度分别为 vA、vB，可以分四步确定物体运动的加速度方向。
第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过 A、B 两点时的速度方向，分别用 vA、vB 表示，如图甲所示。
第二步，平移 vA 至 B 点，如图乙所示。
二、匀速圆周运动的加速度大小
第三步，根据矢量运算法则，做出物体由 A 点到 B 点的速度变化量 Δv，其方向由 vA 的箭头位置指向 vB 的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运动，vA、vB 的大小相等，所以，Δv与 vA、vB 构成等腰三角形。
第四步，假设由 A 点到 B 点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的情况下，A 点到 B 点的距离将非常小，作出此时的 Δv，如图丁所示。
二、匀速圆周运动的加速度大小
仔细观察图丁，可以发现，此时，Δv与vA、vB都几乎垂直，因此Δv的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a与Δv的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。
二、匀速圆周运动的加速度大小
∴ =
AB
Δv
v
r
∴ Δv =
AB
v
r
∴ = = = v
AB
Δl
Δt
Δt
AB
Δt
∴ an = · v =
v
r
v2
r
= ω2r = vω
当△t 很小很小时，AB=AB=Δl
∴ an = =
AB
v
r
Δv
Δt
Δt
二、匀速圆周运动的加速度大小
1.产生：由向心力产生
3.说明：匀速圆周运动的向心加速度大小不变。
2.大小：
二、匀速圆周运动的加速度大小
对于向心加速度的公式，同学们有各自的看法。从 看，向心加速度与半径成反比；从a=ω2r看，向心加速度与半径成正比。这两个结论是否矛盾？谈谈你的看法。
当ω一定时，a与r成正比
当v一定时，a与r成反比
二、匀速圆周运动的加速度大小
【例题】如图 所示，在长为 l 的细绳下端拴一个质量为 m 的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为 θ 时，小球运动的向心加速度 an 的大小为多少？通过计算说明 ：要增大夹角 θ，应该增大小球运动的角速度 ω。
Fn
m
O
r
F
l
G
【分析】 由于小球在水平面内做圆周运动，向心加速度的方向始终指向圆心。可以根据受力分析，求出向心力的大小，进而求出向心加速度的大小。根据向心加速度公式，分析小球做圆周运动的角速度 ω 与夹角 θ 之间的关系。
二、匀速圆周运动的加速度大小
【解析】 根据对小球的受力分析，可得向心力：Fn ＝ mgtanθ
根据牛顿第二定律可得小球运动的向心加速度
an ＝ Fn/m ＝ gtan θ (1)
根据几何关系可知小球做圆周运动的半径 r＝lsin θ (2)
把向心加速度公式 an＝ω2r 和(2)式代入(1)式，可得 cosθ ＝—
从此式可以看出，当小球运动的角速度增大时，夹角也随之增大。因此，要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。
课堂小结
课堂练习
1.(向心加速度的理解)关于向心加速度,以下说法错误的是(　　)
A.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B.向心加速度只改变线速度的方向,不改变线速度的大小
C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
答案:C
解析:向心加速度的方向沿半径指向圆心,线速度方向则沿圆周的切线方向,所以,向心加速度的方向始终与线速度方向垂直,只改变线速度的方向;物体做匀速圆周运动时,只具有向心加速度,加速度方向始终指向圆心;一般情况下,圆周运动的加速度的方向不一定始终指向圆心,故A、B、D正确,C错误。
课堂练习
2.(向心加速度公式的理解)(多选)甲、乙两物体都在做匀速圆周运动,下列情况下,关于向心加速度的说法正确的是(　　)
A.当它们的角速度相等时,乙的线速度小,则乙的向心加速度小
B.当它们的周期相等时,甲的半径大,则甲的向心加速度大
C.当它们的线速度相等时,乙的半径小,则乙的向心加速度小
D.当它们的线速度相等时,在相同的时间内甲与圆心的连线转过的角度比乙的大,则甲的向心加速度比乙的小
答案:AB
课堂练习
解析:角速度相等,乙的线速度小,根据公式an=vω,可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度,故A正确。周期相等,甲的半
甲的向心加速度小于乙的向心加速度,故C错误。线速度相等,在相同的时间内甲与圆心的连线转过的角度比乙的大,即甲的角速度大,根据公式an=ωv,可知甲的向心加速度大于乙的向心加速度,故D错误。
课堂练习
3.(传动装置中向心加速度的计算)科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置:在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。若齿轮的齿很小,大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍,则当大齿轮顺时针匀速转动时,下列说法正确的是(　　)
A.小齿轮和大齿轮转速相同
B.小齿轮每个齿的线速度均相同
C.小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍
D.大齿轮每个齿的向心加速度大小是小齿轮
每个齿的向心加速度的3倍
答案:C
课堂练习
解析:因为大齿轮和小齿轮相扣,故大齿轮和小齿轮的线速度大小相等,但小齿轮的每个齿的线速度方向不同,B错误。根据v=ωr可知,大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍时,小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍,根据ω=2πn可知小齿轮转速是大齿轮转速的3倍,A错误,C正确。根据an= ,可知小齿轮每个齿的向心加速度大小是大齿轮每个齿的向心加速度的3倍,D错误。
课堂练习
4.(向心加速度公式的应用)
如图所示,在男女双人花样滑冰
运动中,男运动员以自身为转动
轴拉着女运动员做匀速圆周运
动。若运动员的转速为30 r/min,
女运动员触地冰鞋的线速度大小为4.8 m/s,求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度的大小。
答案:3.14 rad/s　1.53 m　15.1 m/s2
课堂练习
解析:男女运动员的转速、角速度是相同的。
由an=ω2r得an=3.142×1.53 m/s2=15.1 m/s2。
多谢欣赏！

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