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量子力学基础
量子力学基础
德布罗意
德布罗意假设 实物粒子的波粒二象性
德布罗意波在光的波粒二象性的启发下，提出了实物粒子（如电子、质子等）也具有波粒二象性的假设。
——德布罗意公式
与实物粒子相联系的波 —— 德布罗意波(物质波)
▲实验验证
1. 电子通过金多晶薄膜的衍射实验。
（汤姆逊1927）
2. 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。
（约恩逊1961)
3. 30年代以后，实验发现，中子、质子、中性原子都具有衍射现象。
4. 自然界中的一切微观粒子，都具有波粒二象性。
▲应用
电子等实物粒子的波长比光波波长小的多

利用高速电子束代替光束制成显微镜
电子显微镜
25.2 不确定关系
一. 不确定关系
经典力学
质点 确定的位置和动量
微观粒子
具有波动性即不具有确定的位置和动量
1927年德国物理学家海森伯（W.Heisenberg）根据量子力学
推出微观粒子在位置与动量两者不确定量间的关系
在某一方向(如x方向)粒子的位置不确定量 x和该方向上的动量的不确定量 px有
电子的单缝衍射
二. 简单推导

电子束v
x
x
x坐标的不
确定量
由于衍射,电子的速度
方向改变,电子可能出
现在- 到+ 的范围内
-
考虑次极大
p
px
py
经严格证明此式应改写为：
★讨论:
不确定关系表明微观粒子位置的准确度与相应的动量准确
度值成反比；
px 0 px确定
粒子位置完全不确定 ——平面波
不确定关系可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经
典力学来描写还是用量子力学来描写;
3. 另一个不确定关系
t 稳定状态 能量确定
25.3 波函数与薛定锷方程
一. 概率波
物质波是一种概率波,
反映粒子在空间分布的几率
电子的双缝衍射
28个电子通过双缝
1000个电子通过双缝
10000个电子通过双缝
数百万个电子通过双缝
二. 波函数
描述物质波的数学表达式
一束沿x轴传播的单色平面波
指数形式
1. 波函数
沿x轴运动的单能粒子束
自由粒子的波函数
2. 概率密度
在空间一很小区域(以体积元dV=dxdydz表征)出现粒子的概率为：
——概率密度
表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率。
3. 波函数的归一化条件
粒子在任意时刻在整个空间出现的概率等于1
——波函数的归一化条件
4. 波函数的标准条件
单值, 有限, 连续, 归一化
三. 薛定锷方程
薛定锷
波函数与粒子所处条件的关系式
1. 薛定锷方程
一维非相对论形式
三维
2. 定态薛定锷方程
势能与时间无关时的波函数
空间坐标
函数
时间函数
(r)满足
求解某些特殊情况的波函数
★注意:
薛定锷方程是量子力学的基本方程，好似牛顿定律是经典
力学的基本方程一样。它不是从理论推导出来的，它的正确性
只能由实验来决定。经典力学和牛顿定律适用于宏观粒子，薛
定锷方程适用于微观粒子。
25.4 一 维 势 阱
一. 一维势阱
在一维空间运动的粒子的势能在某区域内为零,在此区域外
为无限大。


x
0
a
U(x)
U=
U=
U=0
二. 由定态薛定锷方程求波函数
1. 根据具体问题写出势能函数
势能函数
势阱内 U=0
2. 根据条件写出定态薛定锷方程
定态薛定锷方程
k 2
通解
3. 由边界条件及归一化条件求出A,B,k的值
因粒子只能在势阱内
由归一化条件
4. 写出波函数
★讨论:
1. 概率密度
概率密度随x变化,与n有关
0
a
=1
=2
=3
=4
n
n
n
n
0
a
2. 粒子能量
能量量子化
不同能级,粒子的波函数不同
25.5 势垒与隧道效应
一. 势垒
x
0
U
U=0
U=U0
势能函数
二. 波函数
能量E(E定态薛定锷方程
令
入射粒子
反射粒子
三. 隧道效应
经典力学
能量E(E0的区域
量子力学
(*)式说明粒子的波函数在x>0的区域逐渐衰减,但不为零
量子力学中,粒子能穿入势能大于其总能量的区域
——隧道效应
四. 扫描隧道显微镜(STM)
原理：利用电子的隧道效应。
48个Fe原子形成
“量子围栏”，
围栏中的电子形成驻波。
25.6 谐 振 子
分子和固体中原子的振动
势能函数
一维谐振子的定态薛定锷方程
▲谐振子的定态能量
能量量子化 等间距
▲能级的间距
▲最低能量(零点能)
例. P204页 25-34

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