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川大附中 2022—2023 学年下期高三二诊热身考试试题
高三数学 理科
（时间：120 分钟 分值：150 分）
第 I 卷（共 60 分）
一、选择题：本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知复数 z 满足 z (1 i) = 1+ i ， i为虚数单位，则 z =（ ）
1 1
A． i B．
2 2
+ i C． + i D．1+ i
2 2 2 2
2．设集合M = x x 1或 x 3 ，N = x log2 x 1 ，则集合M N =（ ）
A． ( ,1 B． (0,1 C． 1,2 D． ( ,0
3．抛物线 x = 4y2 的准线方程是（ ）
1 1 1 1
A． x = B． x = C． y = D． y =
16 8 16 2
4．根据第七次全国人口普查结果，居住在城镇的人口为 90199 万人，占全国人口的63.9%，与第六次全
国人口普查相比，城镇人口比重上升 14.2 个百分点．随着我国新型工业化、信息化和农业现代化的深入发
展和农业转移人口市民化政策落实落地，10 年来我国新型城镇化进程稳步推进，城镇化建设取得了历史性
成就．如图所示的是历次全国人口普查城乡居住人口及城镇居住人口比重的统计图，根据图中信息，下列
说法错误的是（ ）
A．这七次全国人口普查乡村居住人口先增加后减少
B．城镇居住人口的比重的中位数为26.44%
C．乡村居住人口的极差不超过 25000 万
D．这七次全国人口普查乡村居住人口的平均数超过城镇居住人口的平均数
5．下列命题中错误的是（ ）
A．命题“ x0 R， x
2 2
0 +1 1”的否定是“ x R， x +1 1”
B．命题“若 a b，则2a 2b 1”的否命题为“若a b，则2a 2b 1”
C．“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充分不必要条件
D．若“p或 q”为假命题，则 p，q均为假命题
1
6．已知 lna = log 9,b = e 2 ,c = 3 2 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） 3
1
A．2 B． C． 3 2 D．1 2
理科试卷第1页，共 4 页
7．若点 P 是曲线 y = ln x x2 上任意一点，则点 P 到直线 l : x + y 4 = 0距离的最小值为
A． 2 B． 2 C．2 2 D．4 2
2
8．如图，在平面四边形 ABCD中，CD = 2, ADC = 45 , ACD =105 , B = 60 ，
三角形 ABC 的面积为 3，则 AB+ BC =（ ）
A．2 B．4 C． 2+ 3 D． 2 3
9．为了备战下一届排球世锦赛，中国国家队甲、乙、丙、丁四人练习传球，第 1 次由甲传给乙、丙、丁
三人中的任意一人，第 2 次由持球者传给另外三人中的任意一人，往后依次类推，经过 4 次传球，球仍回
到甲手，则传法总数为（ ）
A．30 B．24 C．21 D．12
π
10．已知函数 f (x) = Asin ( x + ) A 0, 0,| | 的图象如图所示，图象与 x
2
5
轴的交点为M ,0 ，与 y 轴的交点为 N ，最高点P (1, A)，且满足NM ⊥ NP．若
2
将 f (x)的图象向左平移 1 个单位得到的图象对应的函数为 g (x)，则 g (0) =（ ）
A． 10 B．0 C．
10 D． 10
2 2
11．已知正四面体纸盒的俯视图如下图所示，其中四边形 ABCD 是边长为 2 的
正方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，
则正方体棱长的最大值是（ ）
2 1
A． B． C． 2 D． 3
3 3
12．已知函数 f (x) = (a 2)e2x (a+2)xex + x2 有三个零点 x1, x2 , x3，且 x1 x2 x3，则
3 2
x x
1 1
x
1 2

1 3

=（ ） x1 x2 x e e e 3
A．8 B．1 C．－8 D．－27
第 II 卷（共 90 分）
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。把答案填在答题卡上。
1
13．二项式 (x + 2)3的展开式中的常数项为
x
14．某学校共 1000 人参加数学测验，考试成绩 近似服从正态分布N (100, 2 )，若
P (80 100) = 0.45，则估计成绩在 120 分以上的学生人数为 ．
15．如图，在扇形OAB中， AOB =120 ，OA=OB = 2，点M 为OB 的中点，点 P 为曲边 AMB区域内任
一点（含边界），若OP = mOA+ nOM ，则m + n的最大值为________．
x2 y2
16、点F F1， 2是双曲线C : =1 a 0,b 0 的左、右焦点，
a2 b2
( )
过点F2作直线 AB ⊥ F1F2交双曲线C 于A ， B 两点，现将双曲线所在平面沿直线F1F2 折成平面角为锐角
1 cos 25
的二面角，如图，翻折后A ， B 两点的对应点分别为 A ， B ， A F B 1 = ，若 = ，则双曲线
1 cos 16
C 的离心率为
理科试卷第2页，共 4 页
三、解答题：本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12 分）已知数列 an 的前 n项和为 Sn， log3 bn+1 1= log3 bn ，且
2an = an+1 + an 1 (n 2)． S3 = b3 = 9，b4 = a14 ．
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
(2)若c Tn = an+1 bn+1，求数列 cn 的前 n项和 n ．
18．（本小题满分 12 分）2022 年 12 月 2 日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，
两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6 名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留
模式．为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均
为20n (n N )，统计得到以下列联表，经计算，有 97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性
别有关，但没有 99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关．
男生 女生 合计
了解 10n
不了解 5n
合计
(1)求 n的值．
(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取 5 人，记其中了解中国航天事业的人数为
X，求 X的分布列及数学期望．
附表：
P(K 2 k0 ) 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
2 n(ad bc)
2
K =
(a +b)(c + d )(a + c)(b + d )
19．（本小题满分 12 分）如图，C是以 AB为直径的圆 O上异于 A，B的点，平面PAC ⊥平面 ABC, PAC
为正三角形，E，F分别是PC, PB上的动点.
(1)求证：BC ⊥ AE ；
(2)若 E，F分别是PC, PB的中点且异面直线 AF 与BC所成角的正切值
3
为 ，记平面 AEF 与平面 ABC 的交线为直线 l，点 Q为直线 l上动
2
点，求直线 PQ与平面 AEF 所成角的取值范围.
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20．（本小题满分 12 分）椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点。
x2 y2
现有一椭圆C : + =1(a b 0)，长轴 A
2 2 1
A2 长为4，从一个焦点F 发出的一条光线经椭圆内壁上一点
a b
5
P 反射之后恰好与 x轴垂直，且 PF = ．
2
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)点Q为直线 x = 4上一点，且Q不在 x 轴上，直线QA1，QA2 与椭圆C 的另外一个交点分别为 M，N，
S
设△QA A ， QMN1 2 的面积分别为 S1， S2 ，求
1 的最大值.
S2
21．（本小题满分 12 分）已知 f (x) = ex sin x .
(1)若 x 0,2 ，求函数 f (x)的单调区间和极值；
f (x ） f (x）
(2)若对 x1, x2 0,π , x x ,都有
2 1 + a 0
1 2 2 2 成立，求实数 a 的取值范围. x2 x1
请考生在第 22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用
2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22．（本小题满分 10 分）选修 4- 4:坐标系与参数方程
2 2
在直角坐标系 xOy中，曲线M 的方程为 (x 3) + ( y 4) = 4，曲线 N 的方程为 xy = a .以坐标原点O为极
π
点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 = .
4
(1)求曲线M ， N 的极坐标方程；
1 1 1 2
(2)若a 0，直线 l与曲线M 交于A ， B 两点，与曲线 N 的一个交点为点C ，且 + + = ，
OA OB OC 2
求 a的值 .
23. (本小题满分 10分)选修 4- 5:不等式选讲
设函数 f (x) = 2x 2 + x + 2 ．
(1)解不等式 f (x) 6 x；
1 1 4 16
(2)令 f (x)的最小值为 T，正数a,b,c满足a+b+ c =T ，证明： + + ．
a b c 3
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高三数学 理科
（时间：120 分钟 分值：150
分） 第 I 卷（共 60 分）
一、选择题：本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合要
求的。
BBACCB CBCDAD
1．已知复数 z 满足 z (1 i) = 1+ i ， i为虚数单位，则 z =（ ）
1 1
A． i B．
2 2
+ i C． + i D．1+ i
2 2 2 2
【答案】B
1+ i 12 +12 2 2(1+ i) 2(1+ i) 2 2
【详解】 z = = = = = = + i ，
1 i 1 i 1 i (1 i)(1+ i) 2 2 2
2．设集合M = x x 1或 x 3 ，N = x log2 x 1 ，则集合M N =（ ）
A． ( ,1 B． (0,1 C． 1,2 D． ( ,0
【答案】B
【详解】由题知，N = x log2 x 1 = x 0 x 2 ，
又M = x x 1或 x 3 ，则M N = x 0 x 1 ，即 x (0,1 .
3．抛物线 x = 4y2 的准线方程是（ ）
1 1 1 1
A． x = B． x = C． y = D． y =
16 8 16 2
【答案】A
1 1 1
【详解】因为 y2 = x，所以2 p = ，所以准线方程为 x = .
4 4 16
4．根据第七次全国人口普查结果，居住在城镇的人口为 90199 万人，占全国人口的63.9%，与第六次全
国人口普查相比，城镇人口比重上升 14.2 个百分点．随着我国新型工业化、信息化和农业现代化的深入发
展和农业转移人口市民化政策落实落地，10 年来我国新型城镇化进程稳步推进，城镇化建设取得了历史性
成就．如图所示的是历次全国人口普查城乡居住人口及城镇居住人口比重的统计图，根据图中信息，下列
说法错误的是（ ）
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A．这七次全国人口普查乡村居住人口先增加后减少
B．城镇居住人口的比重的中位数为26.44%
C．乡村居住人口的极差不超过 25000 万
D．这七次全国人口普查乡村居住人口的平均数超过城镇居住人口的平均数
【答案】C
5．下列命题中错误的是（ ）
A．命题“ x0 ， x
2
R
0 +1 1”的否定是“ x R， x
2 +1 1”
B．命题“若 a b，则2a 2b 1”的否命题为“若a b，则2a 2b 1”
C．“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充分不必要条件
D．若“p或 q”为假命题，则 p，q均为假命题
【答案】C
1
6．已知 lna = log3 9,b = e
2 ,c = 3 2 执行如图所示的程序框图，输出
的值为（ ）
1
A．2 B． C． 3 2 D．1 2
【答案】B
7．若点 P 是曲线 y = ln x x2 上任意一点，则点 P 到直线 l : x + y 4 = 0 距离的最小值为
A． 2 B． 2 C．2 2 D．4 2
2
【答案】C
【详解】解：过点 P 作曲线 y = ln x x2 的切线，当切线与直线 l : x + y 4 = 0平行时，点 P 到直线
l : x + y 4 = 0距离的最小.
1 1
设切点为P(x0 , y0)(x0 0)， y
= 2x ，所以，切线斜率为 k = 2x0 ，
x x0
1 1
由题知 2x0 = 1得 x0 =1或 x = （舍），
x 00 2
|1 1 4 |
所以， P(1, 1)，此时点 P 到直线 l : x + y 4 = 0距离d = = 2 2 .
2
8．如图，在平面四边形 ABCD中，CD = 2, ADC = 45 , ACD =105 , B = 60 ，
三角形 ABC的面积为 3，则 AB+ BC =（ ）
A．2 B．4
C． 2+ 3 D． 2 3
【答案】B
【详解】在 ACD中， CAD =180 ACD ADC = 30 ，
2 AC
CD AC =
由正弦定理有： = ，即 1 2 ，解得
sin CAD sin ADC
2 2
理科试卷第2页，共 4页
AC = 2，
1
由三角形的面积公式有： S ABC = AB BC sinB = 3 ，
2
则 AB BC = 4，①
在 ABC中，由余弦定理有： AC2 = AB2 + BC2 2AB BC cos B，
所以 AB2 + BC2 = 8，②
由①②解得 AB = BC = 2，所以 AB+BC = 4
9．为了备战下一届排球世锦赛，中国国家队甲、乙、丙、丁四人练习传球，第 1 次由甲传给乙、丙、丁
三人中的任意一人，第 2 次由持球者传给另外三人中的任意一人，往后依次类推，经过 4 次传球，球仍回
到甲手，则传法总数为（ ）
A．30 B．24 C．21 D．12
【答案】C
【分析】通过 4 次传球后仍回到甲手得出第四次传球只能传给甲，由此得出限制条件，根据分步乘法即可
计算出传法总数.
【详解】由题意，
四人练习传球，第 1 次由甲传给乙、丙、丁三人中的任意一人，第 2 次由持球者传给另外三人中的任意一
人，经过 4 次传球，球仍回到甲手，
∴第 1 次传球有 3 种方法，第 2 次传球分成“在甲手中”和“不在甲手中”两类方法，
第 3 次传球，球也不一定在甲手中；第 4 次传球只能在甲手中；
∴当第 2 次传球后球在甲手中时，
则第 3 次传球可能为丙或乙或丁，共 3 种方法；
当第 2 次传球后球不在甲手中时，有 2 种方法，
则第 3 次传球有 2 种方法.
∴经过 4 次传球，球仍回到甲的传法总数为：
3 (1 3+ 2 2) = 21，
∴球仍回到甲的传法总数为 21 种，
π 5
10．已知函数 f (x) = Asin ( x + ) A 0, 0,| | 的图象如图所示，图象与 x 轴的交点为M ,0 ，
2 2
与 y 轴的交点为N ，最高点P (1, A)，且满足NM ⊥ NP．若将 f (x)的图象向左平移 1 个单位得到的图象对
应的函数为 g (x)，则 g (0) =（ ）
理科试卷第3页，共 4页
A． 10 B．0 C． 10 D． 10
2 2
【答案】D
T 5 3
【详解】解：由题知，函数 f (x)的周期T 满足 = xM xP = 1= ，解得T = 6，
4 2 2
2π π
所以 = = ，
6 3
5 π 5
由图象与 x 轴的交点为M ,0 得 + = kπ(k Z)，
2 3 2
π π π π
因为 | | ，所以 = ，即 f (x) = Asin x + ，
2 6 3 6
A
所以， f (x)图象与 y 轴的交点为N 0, ，
2
5 A A 5 A2
因为NM ⊥ NP，所以NM NP = , 1, = = 0，解得 A= 10 （负舍），
2 2 2 2 4
π π
所以 f (x) = 10 sin x + ，
3 6
所以若将 f (x)的图象向左平移 1 个单位得到的图象对应的函数为 g (x) g(0) = f (1)=A = 10 ，
11．已知正四面体纸盒的俯视图如下图所示，其中四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，若在该正四面体纸
盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值是（ ）
2 1
A． B． C． 2 D． 3
3 3
【答案】A
【详解】根据俯视图可知正四面体的位置是 AC 放在桌面上，BD平行桌面，
则几何体的直观图如图，则BD = 2 2 ．
理科试卷第4页，共 4页
在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动.
则正方体为正四面体的内切球的内接正方体.
设正四面体的内切球的半径为 r ，由正四面体的体积得：
1 1 h
V = S h = S表r ，则 r =底 .
3 3 4
所以 1 2 3 3r = (2 2)2 ( 2 2)2 = .
4 3 2 3
设正四面体的内切球的内接正方体的棱长为a .
则 2 3
2
3a = 2r = , 则a = .
3 3
2
所以正方体棱长的最大值是为 .
3
12．已知函数 f (x) = (a 2)e2x (a+2)xex + x2 有三个零点 x1, x2 , x3，且 x1 x2 x3，则
3 2
x1 x2 x
1 1 1
3
=（ ） x
e 1
x x
e 2 e 3
A．8 B．1 C．－8 D．－27
【答案】D
2x x x 【详解】由 f (x) = e ( )2 (a + 2) + a 2 = 0，
e
x ex
x
即 ( )2
x
(a + 2) + a 2 = 0 有三解，
ex ex
x x
令 t = ，设 g(x) = ，
x
ex e
1 xg (x) = ，
ex
当 x ( ,1), g (x) 0， g(x)为增函数，
当 x (1,+ ), g (x) 0， g(x)为减函数，
理科试卷第5页，共 4页
g(x)图像如图所示：
x
故 t = 最多只有两个解，
ex
x x
若要 ( )2 (a + 2) + a 2 = 0有三解，
ex ex
则 t2 (a+ 2) t + a 2 = 0有两解，
t = t ,t = t ， t1 + t2 = a + 2,t1 t2 = a 2， 1 2
x x
故 = t1 有一解为x ， = t x , xx 1 x 2 有两解为 2 3 ， e e
3 2
x x x1
1 1
2
1
3
x x x
e 1 e 2 e 3
3
= (1 t ) (1 t )31 2 = (1 t1 t2 + t1t2 )
3 = (1 a 2+ a 2)3 = ( 3)3 = 27 ，
第 II 卷（共 90 分）
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。把答案填在答题卡上。
1
13．二项式 (x + 2)3的展开式中的常数项为
x
【答案】 20
14．某学校共 1000 人参加数学测验，考试成绩 近似服从正态分布N (100, 2 )，若
P (80 100) = 0.45，则估计成绩在 120 分以上的学生人数为 ．
【答案】50
【详解】由已知可得， =100，所以P ( 100) = 0.5 .
又 P (80 100) = 0.45，根据正态分布的对称性可得P (100 120) = 0.45，
所以P ( 120) = P ( 100) P (100 120) = 0.5 0.45 = 0.05 .
所以，可估计成绩在 120 分以上的学生人数为1000 0.05 = 50 .
15．如图，在扇形OAB中， AOB =120 ，OA=OB = 2，点M 为OB 的中点，点 P 为曲边 AMB区域内任
一点（含边界），若OP = mOA+ nOM ，则m + n的最大值为________．
理科试卷第6页，共 4页
【答案】 2 21
3
【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可得 3 3m = y ， n = x + y ，进而根据线性规划求截距
3 3
最大或者根据三角换元法即可求解.
【详解】建立平面直角坐标系如图所示，
设 B(2,0)，则M (1,0)， A( 1, 3)；
OA = ( 1, 3)，OM = (1,0)；
由 P 是区间内的任意点 (x, y)，且OP = mOA+ nOM ，
(x， y) = ( m + n， 3m)，
3 3
x = n m， y = 3m； m = y ， n = x + y ，
3 3
2 3 2 3 3 3
m + n = x + y，设 z = x + y ，即 y = x + z，
3 3 2 2
用线性区域的方法，平移 AM 直到于圆弧相切，与 y 轴相交于M ,
此时直线截距最大，切点就是满足条件的点 P ；
由于此时切线的斜率为 3k =
2
π 3 2
此时 OP 2,k tan PMO+ = ,由此 tan PMO ，
2 2 3
OP 2
OM 7
故 3 2 21sin PMO 2 ,因此此时 z 7 z ，
2 3
7
即m + n = z的最大值为 2 21 ，
3
理科试卷第7页，共 4页
x2 y2
16、点F1， F2是双曲线C : =1(a 0,b 0)的左、右焦点，过点F2作直线 AB ⊥ F1F2交双曲线C 于
a2 b2
A ， B 两点，现将双曲线所在平面沿直线F1F2 折成平面角为锐角 的二面角，如图，翻折后A ， B 两点的
1 cos 25
对应点分别为 A ， B ， A F1B = ，若 = ，则双曲线C 的离心率为
1 cos 16
【答案】3
【详解】设 A F 2 = y, A B = x, A
F1 = z ，
y2 + y2 x2 z2 + z2 x2
cos = ,cos = ，
2y2 2z2
2y2 x2
1
1 cos 2 z22y 25
= = = ，
1 cos 2z2 x2 y2 16
1
2z2
b2
z 5
= ， y y= = a
4
= 3b2 = 8ac ， y 4
F1F2 2c 2c 3
3(c2 a2 ) = 8ac 3e2 8e 3 = 0 e = 3，
三、解答题：本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12 分）已知数列 an 的前 n项和为 Sn， log3 bn+1 1= log3 bn ，且
2an = an+1 + an 1 (n 2)． S3 = b3 = 9，b4 = a14 ．
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
(2)若cn = an+1 bn+1，求数列 cn 的前 n项和Tn ．
【答案】(1)b = 3n 1， an = 2n 1n (2)T = n 3
n+1
n
b
【详解】（1）∵ n+1log3 bn+1 1= log3 bn ，∴ log b = 3 b3 n+1 = log3(3bn )，则 ，所以 n 为等比数列， bn
又b3 = 9，得b1 =1，所以b = 3
n 1
n ，
由2a = a an n+1 + an 1知 n 是等差数列，且b = a = 27， S3 = 94 14 ，
a1 +13d = 27
∴ ，得a1 =1，d = 2．∴an = 2n 1.
3a1 +3d = 9
理科试卷第8页，共 4页
（2）因为a = 2n 1，b = 3n 1n ，所以c
n
n n
= an+1 bn+1 = (2n+1)3 ，
所以T = 3 31 +5 32 + 7 33 + + (2n 1) 3n 1 + (2n+1) 3nn
则3T = 3 32 +5 33 + 7 34 + + (2n 1) 3n + (2n+1) 3n+1n
上面两式作差得 2Tn = 3
2 + 2 32 + 2 33 + + 2 3n (2n+1) 3n+1
9(1 3n 1 )
= 9+ 2 (2n+1) 3n+1 = 2n 3n+1 ，
1 3

∴T = n 3n+1n
18．（本小题满分 12 分）2022 年 12 月 2 日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，
两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6 名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留
模式．为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均
为20n (n N )，统计得到以下列联表，经计算，有 97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性
别有关，但没有 99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关．
男生 女生 合计
了解 10n
不了解 5n
合计
(1)求 n的值．
(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取 5 人，记其中了解中国航天事业的人数为
X，求 X的分布列及数学期望．
附表：
P(K 2 k0 ) 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
2
K 2
n(ad bc)
=
(a +b)(c + d )(a + c)(b + d )
【详解】（1）由已知，完成列联表，
男生 女生 合计
了解 15n 10n 25n
不了解 5n 10n 15n
合计 20n 20n 40n
理科试卷第9页，共 4页
2
将数值代入公式可得 2的观测值： 40n (150n
2 50n2 ) 8n
K K 2 = = ，
20n 20n 25n 15n 3
8n
所以5.024 6.635，解得1.884 n 2.488，因为n N ，所以n = 2．
3
3
（2）由（1）知，样本的男生中了解中国航天事业的频率为 ，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取
4
3 3
一人，了解中国航天事业的概率为 ，则 X B 5, ，
4 4
0 5 1 4
0 3 1 1 3 1 15P (X = 0) = C5 = ，P (X =1) = C
1
5 = ，
4 4 1024 4 4 1024
2 3 3 2
P (X = 2) = C2
3 1 90 45 3 1 270 135
5 = = ， P (X = 3) = C
3 ，
5 = =
4 4 1024 512 4 4 1024 512
4 1 5 0
4 3 1 405 5 3 1 243P (X = 4) = C = ，5 P (X = 5) = C5 =
4 4 1024 4 4 1024
则 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
1 15 45 135 405 243
P
2024 1024 512 512 1024 1024
3 15
E(X ) = 5 = = 3.75．
4 4
19．（本小题满分 12 分）如图，C是以 AB为直径的圆 O上异于 A，B的点，平面PAC ⊥平面 ABC, PAC
为正三角形，E，F分别是PC, PB上的动点.
(1)求证：BC ⊥ AE ；
(2)若 E，F分别是PC, PB的中点且异面直线 AF 与BC所成角的正切值
为 3 ，记平面 AEF 与平面 ABC 的交线为直线 l，点 Q为直线 l上动
2
点，求直线 PQ与平面 AEF 所成角的取值范围.
【详解】（1）证明：因为 C是以 AB为直径的圆 O上异于 A，B的点，
所以BC ⊥ AC，
又平面PAC ⊥平面 ABC，且平面PAC 平面 ABC = AC, BC 平面 ABC ，
所以BC ⊥平面PAC, AE 平面PAC .
所以BC ⊥ AE
（2）由 E，F分别是PC, PB的中点，连结 AE, EF ，所以BC∥EF ，由（1）知BC ⊥ AE ，
理科试卷第10页，共 4页
所以EF ⊥ AE，所以在Rt AFE中， AFE 就是异面直线 AF 与BC所成的角.
因为异面直线 3AF 与BC所成角的正切值为 ，
2
所以 3 AE 3tan AFE = ，即 =
2 EF 2
又EF 平面 AEF, BC 平面 AEF ，
所以BC / /平面 AEF ，又BC 平面 ABC ，平面EFA 平面 ABC = l ，
所以BC∥l
所以在平面 ABC中，过点 A作BC的平行线即为直线 l.
以 C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为 x轴，y轴，过 C且垂直于平面 ABC 的直线为 z轴，建立空间直
角坐标系，设 AC = 2 .
因为△PAC为正三角形所以 AE = 3，从而EF = 2
由已知 E，F分别是PC, PB的中点，所以BC = 2EF = 4
1 3 1 3
则 A(2,0,0), B(0,4,0), P(1,0, 3) ，所以E ,0, , F ,2, ，
2 2 2 2
3 3
所以 AE = ,0, , EF = (0,2,0)，
2 2
因为BC∥l ，所以可设Q(2, t,0)，平面 AEF 的一个法向量为m = (x, y, z)，
3x 3z
AE m = + = 0
则 2 2 ，取 z = 3 ，得m = (1,0, 3)，

EF m = 2y = 0
PQ m 1 1
又PQ = (1, t, 3)，则 | cos PQ,m |= = 0,
| PQ | | m | 2 2
.
4 + t
理科试卷第11页，共 4页
1 1
设直线 PQ与平面 AEF 所成角为 ，则 sin = 0, .
4 + t2

2

所以直线 PQ与平面 AEF 所成角的取值范围为 0, .
6


20．（本小题满分 12 分）椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点。
x2 y2
现有一椭圆C : + =1(a b 0)，长轴 A1A2 长为4，从一个焦点F 发出的一条光线经椭圆内壁上一点
a2 b2
5
P 反射之后恰好与 x轴垂直，且 PF = ．
2
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)点Q为直线 x = 4上一点，且Q不在 x轴上，直线QA1，QA2 与椭圆C 的另外一个交点分别为 M，N，设
S
△QA A ， QMN S 11 2 的面积分别为 1， S2 ，求 的最大值. S2
x2 y2 4
【答案】(1) + =1 (2)
4 3 3
【详解】（1）解：不妨设F 、 F2 是椭圆的左焦点、右焦点，
5
则 PF 2⊥x轴，又因为PF = ，2a = 4，
2
3 b2 3
所以PF2 = 2a PF = ，即 = ，所以b
2 = 3，
2 a 2
x2 y2
所以椭圆C 的方程为 + =1 .
4 3
（2）设Q (4, t )(t 0)，M (x1, y1 )， N (x2 , y2 )
t t
则QA ： y = (x + 2)，QA2 ： y = (x 21 )
6 2
6
x = y 2 18t
联立 t ，消去 x 得 (t2 + 27) y2 18ty = 0 y1 = 2
t + 27
3x
2 + 4y2 =12
2
x = y + 2 2 2 6t同理，联立 t ，消去 x 得 (t + 3) y + 6ty = 0 y2 =
2 2 t
2 + 3
3x + 4y =12
1
QA1 QA2 sin QS QA QA1 2 1 2 t 0 t 0所以 = = =
S 12 QM QN t y t yQM QN sin Q 1 2
2
理科试卷第12页，共 4页
t2 (t2 + 27)(t2 +3)
= =
18t 6t
2

t t (
2 . t +9)
t2

+ 27 t
2 +3
令m = t2 + 9 9，则
S (
2
m +18)(m 6) 2
1 m +12m 108 1 1 1 = = = 108 +12 +1 0 9
S2 m
2 m2 m m m
1 12 1 1 S 4
当且仅当 = = 1 0, ，即m =18，即 t = 3时， 取得最大值 .
m 2 ( 108) 18 9 S2 3
21．（本小题满分 12 分）已知 f (x) = ex sin x .
(1)若 x 0,2 ，求函数 f (x)的单调区间和极值；
f (x ） f (x）
(2)若对 x1, x2 0,π , x1 x2 ,都有
2 1 + a 0
2 2 成立，求实数 a 的取值范围. x2 x1
3π 7π 3π 7π 3
【答案】(1)单调增区间为 2 0， 和 ，2π ，单调减区间为 ， ； f (x)极大值为 e
4 ， f (x)极小
4 4 4 4 2
7
值为 2 e 4
2
e
(2) ,+
2

【详解】（1） f (x) = ex (sin x + cos x) = 2 sin x x + e
4
3 7
令 f (x) = 0，因为 x 0,2 得 x = 或 x = ，列表如下：
4 4
3π 3 3π 7π 7 7π
x 0， ， ，2π
4 4 4 4 4 4


f (x) + 0
0 +
f (x) 极大值 极小值
3π 7π 3π 7π
所以 f (x)的单调增区间为 0， 和 ，2π 单调减区间为 ，
4 4 4 4
3π 3 2 7π
7
极大值为 ， 2f (x) f = e 4 f (x)极小值为 f = e 4
4 2 4 2
f (x） f (x）
（2）对 x1, x2 0,π , x
2 1 + a 0
1 x2 ,都有 x2 2
成立可转化化为：
2 x1
f (x 2 22 )+ ax2 f (x1)+ ax1 .
理科试卷第13页，共 4页
设 g(x) = f (x)+ ax2，则 g(x)在 0, ，
故 g (x) = ex (sin x+ cos x)+2ax 0，在 0, 上恒成立
方法一：（含参讨论）
设 h(x) = g (x) = ex (sin x + cos x)+ 2ax 0，
e
则 h(0) =1 0，h( ) = e + 2a 0，解得a .
2
h (x) = 2(ex cos x + a)， h (0) = 2(a +1) 0，h ( ) = 2(a e ) .
①当a e 时， h (x)

= 2e
x (cos x sin x)，

故，当 x 0, 时， h (x)
= 2ex (cos x sin x) 0， h (x)递增；
4



当 x , x h x 4
时，
h (x) = 2e (cos x sin x) 0， ( )递减；
此时，h (x) min h (0) ,h (π) = h (π) = 2(a eπ ) 0，h (x) = g (x)在 0, 上单调递增，故
h(x) = g (x) g (0) =1 0，符合条件.
e ②当 a e 时，同①，当 x 0, 时， h (x )递增；当 x , 时， h (x)递减；
2 4 4

∵ h h (0) = 2(a +1) 0，h ( ) = 2(a e
) 0，
4

∴由连续函数零点存在性定理及单调性知， x , ，h 0 (x0 ) = 0 .
4
于是，当 x 0, x0 )时，h (x) 0，h (x) = g (x)单调递增；
当 x (x0 , 时，h (x) 0，h (x) = g (x)单调递减.
∵ h(0) =1 0，h( ) = e + 2a 0，∴ g (x) = h(x) min h(0) ,h ( ) 0，符合条件.
e
综上，实数a的取值范围是 ,+ .
2
方法二：（参变分离）
由对称性，不妨设0 x1 x2 ，
f (x1 ) f (x2 )则 + a 0即为 f (x2 )+ ax
2
2 f (x
2
1 )+ ax1 .
x21 x
2
2
设 g (x) = f (x)+ ax2 ，则 g (x)在 0, 上单调递增，
理科试卷第14页，共 4页
故 g (x) = ex (sin x + cos x)+ 2ax 0在 0, 上恒成立.
∵ g (0) =1 0，∴ , g (x) = ex (sin x + cos x)+ 2ax 0在 0, 上恒成立
ex (sin x + cos x)
2a ， x (0, .
x
ex (sin x + cos x) ex (2xcos x sin x cos x设 h(x) = ， x (
)
0, ，则h (x) = ， x (0, .
x x2

设 (x) = 2x tan x 1， x 0, , ，
2 2
1
则 (x) = 2 ， x 0, , .
cos2 x 2

2
3
由 (x) 0， x 0, , ，得 (x)在 0, ， , 上单调递增；
2 2 4 4


3
由 (x) 0， x 0, , ，得 (x)在 , ， , 上单调递减.
2 2 4 2 2 4

故 x 0, 时 (x) = 2 0 ；
2 4 2
3 3
x , 时 (x) = 0 .
2

4 2

从而， (x)cos x = 2xcos x sin x cos x 0， x 0, , ，
2 2
ex (2xcos x sin x cos x)
又 x = 时，2xcos x sin x cos x = 1 0，故h (x) = 0， x (0, ，
2 x2
ex (sin x + cos x) e
h(x) = ， x (0, 单调递减，h(x) = h( ) = ， x (0, .
x min
e e
于是， 2a a .
2
e
综上，实数a的取值范围是 ,+ .
2
请考生在第 22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用
2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22．（本小题满分 10 分）选修 4- 4:坐标系与参数方程
2 2
在直角坐标系 xOy中，曲线M 的方程为 (x 3) + ( y 4) = 4，曲线 N 的方程为 xy = a .以坐标原点O为极
π
点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 = .
4
(1)求曲线M ， N 的极坐标方程；
1 1 1 2
(2)若a 0，直线 l与曲线M 交于A ， B 两点，与曲线 N 的一个交点为点C ，且 + + = ，
OA OB OC 2
求 a 的值 .
【答案】(1) 2 6 cos 8 sin + 21= 0， 2 sin 2 = 2a
理科试卷第15页，共 4页
(2) a = 9
【分析】（1）根据曲线的直角坐标与极坐标转化公式，即可求解；
π π
（2）将 = 代入曲线 N 的极坐标方程，得 ，将 = 代入曲线M 的极坐标方程，
4 4
1 1 1
得到韦达定理，并表示 + + ，即可求a .
OA OB OC
2 2
【详解】（1）由 (x 3) + ( y 4) = 4，得 x2 + y2 6x 8y + 21= 0，
所以曲线M 的极坐标方程为 2 6 cos 8 sin + 21= 0 .
由 xy = a，得 2 cos sin = a，即 2 sin 2 = 2a，
此即曲线 N 的极坐标方程；
π
（2）将 = 代入 2 sin 2 = 2a（a 0），得 = 2a .
4
π
将 = 代入 2 6 cos 8 sin + 21= 0，得 2 7 2 + 21= 0 ，
4
设 A，B对应的参数分别是 1， 2，则 + = 7 2 ， 1 2 = 21， 1 2
1 1 1 1 1 1 2a 1 + 所以 + + = + + = + 2
OA OB OC 2a 1 2 2a 1 2
2a 7 2 2
= + = ，
2a 21 2
解得：a = 9 .
23. (本小题满分 10分)选修 4- 5:不等式选讲
设函数 f (x) = 2x 2 + x + 2 ．
(1)解不等式 f (x) 6 x；
1 1 4 16
(2)令 f (x)的最小值为 T，正数a,b,c满足a+b+ c =T ，证明： + + ．
a b c 3
3
【答案】(1) x | 3 x .
2
【详解】（1）当 x –2时， f (x) 6 x即 2x+2 x 2 6 x，解得 x 3，故 3 x 2；
当 2 x 1时， f (x) 6 x即 2x + 2+ x + 2 6 x, 4 6，则 2 x 1；
3 3
当 x 1时， f (x) 6 x即2x 2+ x+ 2 6 x，解得 x≤ ，故1 x ，
2 2
3
综上所述，原不等式的解集为 x | 3 x .
2
理科试卷第16页，共 4页
（2）若 x –2，则 f (x) = 3x 6；
若 2 x 1，则 f (x) = x + 4 3：
若 x 1，则 f (x) = 3x 3 ,
所以函数 f (x)的最小值T = 3，故a+b+ c = 3 ,
又 a,b,c为正数，
1 1 4 1 1 4 b a c 4a c 4b
则 ( + + ) 3 = ( + + )(a + b+ c) = 6+ + + + + +
a b c a b c a b a c b c
b a c 4a c 4b
6+ 2 + 2 + 2 =16 ,
a b a c b c
3 3
当且仅当a b , c = 时等号成立,
4 2
1 1 4 16
所以 + + .
a b c 3
理科试卷第17页，共 4页

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