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二次函数
在各地中考中，二次函数考查形式灵活多变，试题难度较大，分值设置在 18分左右。考查内容主要有：
二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。和实际应
用结合时，多考查现实生活中的“利润问题”或者“最值问题”，该类问题虽然不是压轴出题，但是一般
计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。数学模型考查热点有：一次函数与二次函数
结合问题、二次函数图象与性质、二次函数与几何图形结合的面积最值问题、二次函数与其他几何图
形结合的点在坐标特征问题等。
命题热点1：二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)的解析式
一般情况下：①当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)求其
表达式；②当已知抛物线的顶点坐标 (或者是对称轴 )时，常用顶点式 y= a(x- h)2+ k(a≠ 0)求其表
达式；
③若 (x1，0) (x2，0)是抛物线与 x轴的两个交点坐标，故知道抛物线与 x轴两交点坐标时，常用交点式
y= a(x- x1) (x- x2) (a≠ 0)求其表达式；
命题热点2：二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)图象及其性质
二次函数符号判断类问题大致分为以下几种基本情形 ∶
① a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断 (左同右异 )，c由图象与 y轴交点判断；
②含有 a、b两个字母时，考虑对称轴；
③含有 a、b、c三个字母，且 a 和 b系数是平方关系，给 x取值，结合图像判断，
另：含有 a、b、c 三个字母，a和 b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断；
④含有 b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△；
⑤其他类型，可考虑给 x取特殊值，联立方程进行判断；也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
命题热点3：二次函数的简单应用
利润最大化问题与二次函数模型：
两公式：①单位利润=售价-进价；②总利润=单位利润×销量；
两转化：①销量转化为售价的一次函数；②总利润转化为售价的二次函数；
函数性质：利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；
与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；
命题热点4：二次函数与几何压轴题 (该问题我们在后面的重难点专题中重点介绍 )
限时检测 1：最新各地模拟试题 (60分钟 )
1. (2023·陕西咸阳 ·校考一模 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c上的部分点的横坐标 x与纵坐标 y的对应值
如表：
x -1 0 1 2 3
y 3 0 -1 m 3
以下结论错误的是 ( )
A.抛物线 y= ax2+ bx+ c的顶点坐标为 1,-1
B. 当 x> 1时，y随 x增大而增大
C. 方程 ax2+ bx+ c= 0的根为 0和 2
D.当 y> 0时，x的取值范围是 0< x< 2
2. (2022· · ) y= 1 3浙江宁波 校考模拟预测 已知抛物线： x22 - 2 x- 2顶点为D，将抛物线向上平移，使得
15
新的抛物线的顶点D 落在直线 l：y= 8 上，设直线 l与 y轴的交点为O
，原抛物线上的点P平移后
的对应点为Q，若O P=O Q，则点Q的纵坐标为 (　　 )
A. 23 B. 358 8 C. 4 D. 17
3. (2023·陕西西安 ·交大附中分校校考一模 )已知点A m,y1 、B m+ 2,y2 、C x0,y0 在二次函数 y=
ax2+ 4ax+ c a≠ 0 的图象上，且C为抛物线的顶点．若 y0≥ y2> y1，则m的取值范围是 ( )
A. m<-3 B. m>-3 C. m<-2 D.m>-2
4. (2022·广东云浮 ·校联考三模 )如图，抛物线 y= ax2+ bx+ c与 x轴交于点A -2,0 ,B 4,0 ，交 y轴
的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交 x轴于点E，则下列结论：① 2a+ b= 0；② abc> 0；③ a+
b> am2+ bm(m为任意实数 )；④若点Q m,n 是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大
时，m= 1,n= a+ b+ c，其中正确的有 (　　 )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. (2023·陕西西安 ·校考一模 )已知二次函数 y=mx2- 2mx+ 2 m≠ 0 在-2≤ x≤ 2时有最小值-2，
则m= ( )
A. - 4 - 1或 2 B. 4或-
1
2 C. - 4
1 1
或 2 D. 4或 2
6. (2022·山东临沂 ·模拟预测 )已知二次函数 y= x2- x- 12及一次函数 y=-x+m，将二次函数在 x
轴下方的图像沿 x轴翻折到 x轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新图像 (如图所示 )，当直线 y=
-x+m与新图像有 4个交点时，m的取值范围是 ( )
A. m> 13 B. 47. (2022·浙江舟山 ·校联考三模 )二次函数 y = x2- 2x +m m≠ 0 图象与 x轴有两个交点 x1,0 ，
x2,0 x1< x2 ，关于 x的方程 x2- 2x+m- 1= 0有两个非零实数根 x3，x4 x3< x4 ，则下列关系式一
定成立的是 ( )
x
A. x1< x3< x2< x4 B. 0< 1x < 1 C. 0<
x4
x < 1 D. x1- x3= x4- x23 2
8. (2022·甘肃嘉峪关 ·校考一模 )如图①，在矩形ABCD中，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC上
移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．在运动过程
中线段BP的长度为 x，线段CQ的长为 y，y与 x之间的函数关系如图②所示．则AB的长为 ( )
A. 2.25 B. 3 C. 4 D. 6
9. (2022· 1山东青岛 ·校考二模 )二次函数 y= ax2+ bx+ c的图象如图所示，其对称轴是直线 x= 2 ，点A
的坐标为 (1,0)，AB垂直于 x轴，连接CB，则下列说法一定正确的是 (　　 )
A.如图①，四边形ABCO是矩形
B. ab在同一平面直角坐标系中，二次函数 y= ax2+ bx，一次函数 y= ax+ b和反比例函数 y= x 的图
象大致如图②所示
C. 在同一平面直角坐标系中，二次函数 y=-x(ax+ b) + c b与反比例函数 y= x 的图象大致如图③
所示
D. 2a+ c在同一平面直角坐标系中，一次函数 y= bx- ac与反比例函数 y= x 在的图象大致如图④所
示
10.(2022·山东济南 ·统考模拟预测 )在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y=-x2+ 2mx-m2+ 1与 y
轴的交点为A，过点A作直线 l垂直于 y轴．将抛物线在 y轴左侧的部分沿直线 l翻折，其余部分保持
不变，组成图形G．点M x1，y1 ，N x2，y2 为图形G上任意两点．若对于 x1=m+ 3，x2=m- 3，都
有 y1< y2，则m的取值范围 ( )
A. 0< x< 3 B. - 3< x< 0 C. x< 3 D. - 3< x< 3
11. (2022·江苏苏州 ·苏州市校考模拟预测 )若二次函数 y= ax2- bx+ 2有最大值 6，则 y=-a x+ 1 2+
b x+ 1 + 2的最小值为____．
12.(2022·四川绵阳 ·东辰国际学校校考模拟预测 )如图，在平面直角坐标系中，点 F 2,4 在抛物线 y=
ax2上，过点F作 x轴的平行直线EF，交抛物线于点E，交 y轴于点C，将直线EF向下平移，分别交抛
物线于A，B两点，当△ABC是等边三角形时，线段AB的长是______．
13.(2022·湖北省直辖县级单位 ·校考二模 )已知抛物线 p : y= ax2+ bx+ c的顶点为C，与 x轴相交于A
,B两点 (点A在点B的左侧 )，点C关于 x轴的对称点为C ，我们称以A为顶点且过点C ，对称轴与
y轴平行的抛物线为抛物线 p的“关联”抛物线，直线AC 为抛物线 p的“关联”直线．若一条抛物线的
“关联”抛物线和“关联”直线分别是 y= x2+ 2x+ 1和 y= 2x+ 2，则这条抛物线的解析式为____
_．
14.(2022·江苏泰州 ·校联考三模 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=-x2+ 2x+ 3与 x轴交于A、B
两点 (点A在点B的左侧 )，与 y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴交 x轴于点E．点P为抛物
线对称轴上一点．以BP为边在BP的下方作等边三角形△BPQ，则当点P从点D运动到点 E的过
程中，点Q经过路径的长度为______．
15.(2022·湖北省直辖县级单位 ·校考一模 )如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线 l的方向行驶，为
绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为 h(单位：m)．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽
象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图像，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE
= 3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点
A离喷水口的水平距离为 2m，高出喷水口 0.5m，灌溉车到 l的距离OD为 d(单位：m)．若当 h=
1.5m，EF= 0.5m时，解答下列问题．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC．
(2)下边缘抛物线与 x轴的正半轴交点B的坐标为________．
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出 d的取值范围．
16.(2022·河北唐山 ·统考三模 )北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳
台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为 y轴，
C : y=- 1 x2+ 4 x+ 4建立平面直角坐标系，图中的抛物线 1 12 3 3 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，
1
某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2 : y=- 28 x + bx+ c运动．
(1) 17当小张滑到离A处的水平距离为 6米时，其滑行高度最大，为 2 米，则 b=________．
(2)在 (1)的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为
4
3 米？
(3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于 3米，求跳台滑出点的最小高
度．
17.(2022·山东滨州 ·模拟预测 )重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜，它的成本是每千克 2元，售
价是每千克 3元，年销量为 10万千克．多吃绿色蔬菜有利于身体健康，因而绿色蔬菜倍受欢迎，十分
畅销．为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿出一定的资金作绿色开发，根据经验，
若每年投入绿色开发的资金X万元，该种蔬菜的年销量将是原年销量的m倍，它们的关系如下表：
x万元 0 1 2 3 4
m 1 1.5 1.8 1.9 1.8
(1)试估计并验证m与 x之间的函数类型并求该函数的表达式；
(2)若把利润看着是销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，试求年利润W万元与绿色开发投入
的资金 x万元的函数关系式；并求投入的资金不低于 3万元，又不超过 5万元时，x取多少时，年利润
最大，求出最大利润． (3)基地经调查：若增加种植人员的奖金，从而提高种植积极性，又可使销量增
加，且增加的销量 y万千克与增加种植人员的奖金 z万元之间满足 y=-z2+ 4z，若基地将投入 5万元
用于绿色开发和提高种植人员的奖金，应怎样分配这笔资金才能使年利润达到 17万元且绿色开发投
入大于奖金？ 2= 1.4．
18.(2022·江苏淮安 ·淮阴中学新城校区校联考二模 )我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点
定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数 y= x2的图象上，存在一点P -1，1 ，则P为二
次函数 y= x2图象上的“互反点”．
(1)分别判断 y=-x+ 3、y= x2+ x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；
-5
如果不存在，说明理由． (2)如图①，设函数 y= x x< 0 ，y= x+ b的图象上的“互反点”分别为点
A，B，过点B作BC⊥ x轴，垂足为C．当△ABC的面积为 5时，求 b的值；(3)如图②，Q m，0 为 x
轴上的动点，过Q作直线 l⊥ x轴，若函数 y=-x2+ 2 x≥m 的图象记为W1，将W1沿直线 l翻折后
的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有 2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．
19.(2022·广东广州 ·校考二模 )在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (m，2) (其中m为常数 )，点B与点
x2+ x-m x≥ 1
A关于 y轴对称．在实数范围内定义函数 y= (其中m为常数 )的图象为G．x2+ x+m x< 1
(1)当点 -1，2 在G上时，则m的值是 ；(2)求点B在G上时，求m的值；
(3)当 y最小值的取值范围是-2≤ y≤-1时，请直接写出m的取值范围．
2
20.(2022· 1河北沧州 ·统考二模 )如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y= a x+ 2 + k的图象经过点
A 0, 74 ，点B 1,-
1
4 ，与直线 x=m交于点P．
(1)求二次函数的解析式；(2)当 0≤ x≤m时，函数有最小值-3，求m的值；(3)过点P作PQ∥ x轴，
点Q的横坐标为-2m+ 1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m
的取值范围；
2
②当PQ≤ 7时，直接写出线段PQ 1与二次函数 y= a x+ 2 + k -2≤ x<
1
3 的图象有一个交点
时m的取值范围．
21.(2022·山东济宁 ·校考二模 )如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y= x2- 2x- 3交 x轴于A，B
两点 (点A在点B的左侧 )，将该抛物线位于 x轴上方曲线记作M，将该抛线位于 x轴下方部分沿 x
轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交 y轴于点C，连接AC，BC．
(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；(2)求△ABC外接圆的半径；(3)点P为曲线N上的一动
点，点Q为 x轴上的一个动点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．
限时检测 2：最新各地中考真题 (60分钟 )
1. (2022·陕西 ·中考真题 )已知二次函数 y= x2- 2x- 3的自变量 x1,x2,x3对应的函数值分别为 y1，y2，
y3．当-1< x1< 0，1< x2< 2，x3> 3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是 ( )
A. y1< y2< y3 B. y2< y3< y1 C. y3< y1< y2 D. y2< y1< y3
2. (2022·湖南郴州 ·中考真题 )关于二次函数 y= x- 1 2+ 5，下列说法正确的是 ( )
A.函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 -1,5
C. 该函数有最大值，是大值是 5 D.当 x> 1时，y随 x的增大而增大
3. (2022·湖南岳阳 ·中考真题 )已知二次函数 y=mx2- 4m2x- 3(m为常数，m≠ 0)，点P xp,yp 是该
函数图象上一点，当 0≤ xp≤ 4时，yp≤-3，则m的取值范围是 ( )
A. m≥ 1或m< 0 B. m≥ 1 C. m≤-1或m> 0 D.m≤-1
4. (2022·贵州铜仁 ·中考真题 )如图，若抛物线 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)与 x轴交于A、B两点，与 y轴交
于点C，若∠OAC=∠OCB．则 ac的值为 ( )
A. - 1 B. - 2 C. - 12 D. -
1
3
5. (2022·广西贺州 ·中考真题 )已知二次函数 y= 2x2- 4x- 1在 0≤ x≤ a时，y取得的最大值为 15，则
a的值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. (2022·湖北鄂州 ·中考真题 )如图，已知二次函数 y= ax2+ bx+ c(a、b、c为常数，且 a≠ 0)的图像顶
点为P(1，m)，经过点A(2，1)；有以下结论：① a< 0；② abc> 0；③ 4a+ 2b+ c= 1；④ x> 1时，y随 x
的增大而减小；⑤对于任意实数 t，总有 at2+ bt≤ a+ b，其中正确的有 (　　 )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
7. (2022·湖南株洲 ·中考真题 )已知二次函数 y= ax2+ bx- c a≠ 0 ，其中 b> 0、c> 0，则该函数的图
象可能为 ( )
A. B. C. D.
8. (2022·浙江宁波 ·中考真题 )点A(m- 1，y1)，B(m，y2)都在二次函数 y= (x- 1)2+ n的图象上．若
y1< y2，则m的取值范围为 ( )
A. m> 2 B. m> 32 C. m< 1 D.
3
2 9. ( 2022 · 1 5山东泰安 · 中考真题 ) 一元二次方程 - 4 x
2 + 2 x + 12 = - 3 x + 15 根的情况是
( )
A.有一个正根，一个负根 B. 有两个正根，且有一根大于 9小于 12
C. 有两个正根，且都小于 12 D.有两个正根，且有一根大于 12
10.(2022·四川自贡 ·中考真题 )已知A(-3，-2) ，B(1，-2)，抛物线 y= ax2+ bx+ c(a> 0)顶点在线段
AB上运动，形状保持不变，与 x轴交于C，D两点 (C在D的右侧 )，下列结论：
① c≥-2 ；②当 x> 0时，一定有 y随 x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为-5，点C横坐标的最大值为 3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a= 12．其中正确的是 ( )
A.①③ B. ②③ C. ①④ D.①③④
11. (2022·福建 ·中考真题 )已知抛物线 y= x2+ 2x- n与 x轴交于A，B两点，抛物线 y= x2- 2x- n与
x轴交于C，D两点，其中n> 0，若AD= 2BC，则n的值为______．
12.(2022·湖北荆州 ·中考真题 )规定：两个函数 y1，y2的图象关于 y轴对称，则称这两个函数互为“Y函
数”．例如：函数 y1= 2x+ 2与 y2=-2x+ 2的图象关于 y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函
数 y= kx2+ 2 k- 1 x+ k- 3(k为常数 )的“Y函数”图象与 x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析
式为______．
13.(2022·贵州黔东南 ·中考真题 )在平面直角坐标系中，将抛物线 y= x2+ 2x- 1先绕原点旋转 180°，再
向下平移 5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．
14.(2022·山东聊城 ·中考真题 )某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为 8元，在销售过程中，每
天的销售量 y(个 )与销售价格 x(元 /个 )的关系如图所示，当 10≤ x≤ 20时，其图象是线段AB，则该
食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元 (利润=总销售额-总
成本 )．
15.(2022·广西贵港 ·中考真题 )已知二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)，图象的一部分如图所示，该函数图
1
象经过点 (-2,0)，对称轴为直线 x=- 2．对于下列结论：① abc< 0；② b
2- 4ac> 0；③ a+ b+ c=
0；④ am2+ bm< 14 (a- 2b) (其中m≠-
1
2 )；⑤若A x1,y1 和B x2,y2 均在该函数图象上，且 x1> x2
> 1，则 y1> y2．其中正确结论的个数共有_______个．
16.(2022·内蒙古赤峰 ·中考真题 )如图，抛物线 y=-x2- 6x- 5交 x轴于A、B两点，交 y轴于点C，点
D m,m+ 1 是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为_________．
17.(2022·四川成都 ·中考真题 )距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高
度 h(米 )与物体运动的时间 t(秒 )之间满足函数关系 h=-5t2+mt+ n，其图像如图所示，物体运动
的最高点离地面 20米，物体从发射到落地的运动时间为 3秒．设 w表示 0秒到 t秒时 h的值的“极
差”(即 0秒到 t秒时 h的最大值与最小值的差 )，则当 0≤ t≤ 1时，w的取值范围是_________；
当 2≤ t≤ 3时，w的取值范围是_________．
18.(2022·山东潍坊 ·中考真题 )某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基
地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示 2017- 2021年①号田和②号田年
产量情况的点 (记 2017年为第 1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量 )，如下图．
小亮认为，可以从 y= kx+ b(k> 0) ，y= mx (m> 0) ，y=-0.1x
2+ ax+ c中选择适当的函数模型，
m
模拟①号田和②号田的年产量变化趋势． (1)小莹认为不能选 y= x (m> 0)．你认同吗？请说明理
由；
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求
出函数表达式；(3)根据 (2)中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最
大是多少？
19.(2022·江苏泰州 ·中考真题 )如图，二次函数 y1= x2+mx+ 1的图像与 y轴相交于点A，与反比例函数
y = k2 x (x> 0)的图像相交于点B(3，1).
(1)求这两个函数的表达式；(2)当 y1随 x的增大而增大且 y1< y2时，直接写出 x的取值范围；
(3)平行于 x轴的直线 l与函数 y1的图像相交于点C、D(点C在点D的左边 )，与函数 y2的图像相交
于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.
20.(2022·山东临沂 ·中考真题 )第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金
牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，
再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中
的数学问题进行了深入研究：下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为 x轴，
过起跳点A与 x轴垂直的直线为 y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为
30°，OA= 65m．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB= 100m．在空中飞行
过程中，运动员到 x轴的距离 y m 与水平方向移动的距离 x m 具备二次函数关系，其解析式为 y=
- 1 260 x + bx+ c．
(1)求 b、c的值；(2)进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离 x m 与飞行时间
t s 具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t= 0，x= 0；空中飞行 5s后着陆．
①求 x关于 t的函数解析式；②当 t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离 h最大，最大值是多少？
21.(2022·四川自贡 ·中考真题 )已知二次函数 y= ax2+ bx+ c a≠ 0 ．
(1)若 a=-1，且函数图象经过 0,3 ， 2,-5 两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与 x轴交
点及顶点的坐标；(2)在图①中画出 (1)中函数的大致图象，并根据图象写出函数值 y≥ 3时自变量 x
的取值范围；
(3)若 a+ b+ c= 0且 a> b> c，一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0 两根之差等于 a- c，函数图象经过
P 12 - c,y1 ，Q 1+ 3c,y2 两点，试比较 y1,y2的大小 ．
22.(2022·安徽 ·中考真题 )如图 1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边
BC为 12米，另一边AB为 2米．以BC所在的直线为 x轴，线段BC的垂直平分线为 y轴，建立平面
直角坐标系 xOy，规定一个单位长度代表 1米．E(0，8)是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内 (含边界 )修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图 2、图 3中粗线段所示，点P1，P4在 x
轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长 l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之
和．请解决以下问题：(ⅰ )修建一个“ ”型栅栏，如图 2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的
横坐标为m 0为 18的栅栏，有如图 3所示的修建“ ”型或“ ”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求
出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围 (P1在P4右侧 )．
23.(2022·山东滨州 ·中考真题 )某种商品每件的进价为 10元，若每件按 20元的价格销售，则每月能卖出
360件；若每件按 30元的价格销售，则每月能卖出 60件．假定每月的销售件数 y是销售价格 x(单位：
元 )的一次函数． (1)求 y关于 x的一次函数解析式；
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．二次函数
在各地中考中，二次函数考查形式灵活多变，试题难度较大，分值设置在 18分左右。考查内容主要有：
二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。和实际应
用结合时，多考查现实生活中的“利润问题”或者“最值问题”，该类问题虽然不是压轴出题，但是一般
计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。数学模型考查热点有：一次函数与二次函数
结合问题、二次函数图象与性质、二次函数与几何图形结合的面积最值问题、二次函数与其他几何图
形结合的点在坐标特征问题等。
命题热点1：二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)的解析式
一般情况下：①当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)求其
表达式；②当已知抛物线的顶点坐标 (或者是对称轴 )时，常用顶点式 y= a(x- h)2+ k(a≠ 0)求其表
达式；
③若 (x1，0) (x2，0)是抛物线与 x轴的两个交点坐标，故知道抛物线与 x轴两交点坐标时，常用交点式
y= a(x- x1) (x- x2) (a≠ 0)求其表达式；
命题热点2：二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)图象及其性质
二次函数符号判断类问题大致分为以下几种基本情形 ∶
① a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断 (左同右异 )，c由图象与 y轴交点判断；
②含有 a、b两个字母时，考虑对称轴；
③含有 a、b、c三个字母，且 a 和 b系数是平方关系，给 x取值，结合图像判断，
另：含有 a、b、c 三个字母，a和 b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断；
④含有 b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△；
⑤其他类型，可考虑给 x取特殊值，联立方程进行判断；也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
命题热点3：二次函数的简单应用
利润最大化问题与二次函数模型：
两公式：①单位利润=售价-进价；②总利润=单位利润×销量；
两转化：①销量转化为售价的一次函数；②总利润转化为售价的二次函数；
函数性质：利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；
与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；
命题热点4：二次函数与几何压轴题 (该问题我们在后面的重难点专题中重点介绍 )
限时检测 1：最新各地模拟试题 (60分钟 )
1. (2023·陕西咸阳 ·校考一模 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c上的部分点的横坐标 x与纵坐标 y的对应值
如表：
x -1 0 1 2 3
y 3 0 -1 m 3
以下结论错误的是 ( )
A.抛物线 y= ax2+ bx+ c的顶点坐标为 1,-1
B. 当 x> 1时，y随 x增大而增大
C. 方程 ax2+ bx+ c= 0的根为 0和 2
D.当 y> 0时，x的取值范围是 0< x< 2
【答案】D
【分析】根据对称性即可得到顶点，由点 1,-1 与 (3,3) 即可判断增减性，根据对称性即可得到方程的
根，根据二次函数的开口及交点即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，由点 (3,3)，(-1,3)可得，对称轴为 x= -1+ 32 = 1，
∴抛物线 y= ax2+ bx+ c的顶点坐标为 1,-1 ，故A正确；
由点 1,-1 与 (3,3)可得 a> 0，开口向上，当 x> 1时，y随 x增大而增大，故B正确；
由对称性可得，(2,m)、(0,0)对称，故C正确；
∵ a> 0，开口向上，故当 y> 0时，x> 2或 x< 0，故D错故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据表中点的对称性即可得到顶点、对称轴及与 x轴
的交点．
2. (2022· 1 3浙江宁波 ·校考模拟预测 )已知抛物线：y= x22 - 2 x- 2顶点为D，将抛物线向上平移，使得
D l y= 15新的抛物线的顶点 落在直线 ： 8 上，设直线 l与 y轴的交点为O
，原抛物线上的点P平移后
的对应点为Q，若O P=O Q，则点Q的纵坐标为 (　　 )
A. 238 B.
35
8 C. 4 D. 17
【答案】B
【分析】先根据顶点的变化规律写出平移后的抛物线的解析式，即可求得平移的距离，根据O P=
O Q，得出Q点的纵坐标为 158 +
5
2 =
35
8 ．
2
【详解】解：∵ y= 1 2 32 x - 2 x- 2=
1
2 x-
3
2 -
25
8 ，
2
由题意得向上平移后的抛物线解析式为 y= 12 x-
3
2 +
15
8 ，
∴抛物线向上平移了 5个单位，由题意得O 0, 158 ，
∵O P=O Q，∴Q点的纵坐标为 15 + 5 = 358 2 8 ．故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标
特征，根据题意得到关于 x的方程是解题的关键．
3. (2023·陕西西安 ·交大附中分校校考一模 )已知点A m,y1 、B m+ 2,y2 、C x0,y0 在二次函数 y=
ax2+ 4ax+ c a≠ 0 的图象上，且C为抛物线的顶点．若 y0≥ y2> y1，则m的取值范围是 ( )
A. m<-3 B. m>-3 C. m<-2 D.m>-2
【答案】A
【分析】由抛物线顶点为最高点可得抛物线开口向下，由抛物线解析式可得抛物线对称轴，求出点A，B
关于对称轴对称时m的值，结合抛物线开口方向求解．
【详解】解：∵点C为抛物线顶点，y0≥ y2> y1，∴抛物线开口向下，顶点为最高点，
∵ y= ax2+ 4ax+ c a≠ 0 ，∴抛物线对称轴为直线 x=- 4a2a =-2，
当点A，B关于抛物线对称轴对称时，m+m+ 22 =-2，解得m=-3，
∵ y1< y2，∴m<-3，故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程
及不等式的关系．
4. (2022·广东云浮 ·校联考三模 )如图，抛物线 y= ax2+ bx+ c与 x轴交于点A -2,0 ,B 4,0 ，交 y轴
的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交 x轴于点E，则下列结论：① 2a+ b= 0；② abc> 0；③ a+
b> am2+ bm(m为任意实数 )；④若点Q m,n 是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大
时，m= 1,n= a+ b+ c，其中正确的有 (　　 )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，由抛物线 y= ax2+ bx+ c与 x轴交于点A -2,0 ,B 4,0 ，得到对
称轴 x= 1，从而得到 2a+ b= 0，①正确；由①中 b=-2a，抛物线开口向下及抛物线交 y轴的正半轴即
可确定②错误；根据二次函数最值即可得到 a+ b+ c≥ am2+ bm+ c，③错误；根据平面直角坐标系
中三角形面积的求法，得到S△QBC= 2 am2- 4am = 2a m- 2 2- 8a，利用二次函数图像与性质即可
确定④错误．
【详解】解：∵抛物线 y= ax2+ bx+ c与 x轴交于点A -2,0 ,B 4,0 ，
∴对称轴为直线 x= -2+ 42 = 1，即 x=-
b
2a = 1，∴ 2a+ b= 0，故①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，∴ a< 0，∴ b=-2a> 0，
∵抛物线交 y轴的正半轴，∴ c> 0，∴ abc< 0，故②错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴 x= 1，开口向下，∴当 x= 1时，y有最大值，最大值为 a+ b+ c，
∴ a+ b+ c≥ am2+ bm+ c(m为任意实数 )，
∴ a+ b> am2+ bm(m为任意实数 )，故③错误，不符合题意；
∵C 0,c ，设直线BC的解析式为 y= kx+ t，
t= c
∴ t= c + = ，解得 =- c ，∴ y=-
c
4 x+ c，4k t 0 k 4
将点A -2,0 代入 y= ax2+ bx+ c，∴ c=-8a，∴ y= ax2- 2ax- 8a，
过点Q作QN∥ y轴交BC于点P，如图所示：
∵Q m,n ，∴P m,2am- 8a ，∴PQ=n- 2am+ 8a，
∴S 1△QBC= 2 × 4× n- 2am+ 8a = 2 n- 2am+ 8a ，
∵n= am2- 2am- 8a，∴S 2 2△QBC= 2 am - 4am = 2a m- 2 - 8a，
∴当m= 2时，△QBC的面积最大，故④不正确，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数图形与性质，平面直角坐标系中求三角形面
积等是解决问题的关键．
5. (2023·陕西西安 ·校考一模 )已知二次函数 y=mx2- 2mx+ 2 m≠ 0 在-2≤ x≤ 2时有最小值-2，
则m= ( )
A. - 4 - 1 B. 4 - 1或 2 或 2 C. - 4
1
或 2 D. 4
1
或 2
【答案】B
【分析】先求出二次函数对称轴为直线 x= 1，再分m> 0和m< 0两种情况，利用二次函数的性质进行
求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为 y=mx2- 2mx+ 2 m≠ 0 ，∴二次函数对称轴为直线 x= -2m-2m =
1，
当m> 0时，∵在-2≤ x≤ 2时有最小值-2，∴当 x= 1时，y=m- 2m+ 2=-2，∴m= 4；
当m< 0时，∵在-2≤ x≤ 2时有最小值-2，∴当 x=-2时，y= 4m+ 4m+ 2=-2，∴m= 12；
综上所述，m= 4或m= 12，故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
6. (2022·山东临沂 ·模拟预测 )已知二次函数 y= x2- x- 12及一次函数 y=-x+m，将二次函数在 x
轴下方的图像沿 x轴翻折到 x轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新图像 (如图所示 )，当直线 y=
-x+m与新图像有 4个交点时，m的取值范围是 ( )
A. m> 13 B. 4【答案】B
【分析】求出二次函数图像关于 x轴翻折后的解析式，求出直线与翻折后抛物线相切时的m值，求出直
线经过图像与 x轴右侧交点时m的值，进而求解．
【详解】解：抛物线 y= x2- x- 12关于 x轴翻折后解析式为 y=-x2+ x+ 12，
令-x2+ x+ 12=-x+m，整理得 x2- 2x+m- 12= 0，
当Δ= (-2)2- 4× (m- 12) = 0时，直线 y=-x+m与抛物线 y=-x2+ x+ 12相切，解得m= 13，
把 y= 0代入 y= x2- x- 12得 0= x2- x- 12，解得 x1=-3,x2= 4，
∴抛物线与 x轴交点坐标为 (-3,0) ,(4,0)，
把 (4,0)代入 y=-x+m得 0=-4+m，解得m= 4，∴ 4【点睛】本题考查二次函数图像与几何变换，解题关键是掌握函数与方程的关系．
7. (2022·浙江舟山 ·校联考三模 )二次函数 y = x2- 2x +m m≠ 0 图象与 x轴有两个交点 x1,0 ，
x2,0 x1< x2 ，关于 x的方程 x2- 2x+m- 1= 0有两个非零实数根 x3，x4 x3< x4 ，则下列关系式一
定成立的是 ( )
A. x1<
x
x 1
x4
3< x2< x4 B. 0< x < 1 C. 0< x < 1 D. x1- x3= x4- x23 2
【答案】D
【分析】抛物线 y= x2- 2x+m- 1图象是由 y= x2- 2x+m m≠ 0 向下平移 1个单位所得，作出图
象，结合一元二次方程的根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵ y= x2- 2x+m- 1图象是由 y= x2- 2x+m向下平移 1个单位所得，如图，
∴ x3< x1< x2< x4，选项A错误，不符合题意，
∵ y= x2- 2x+m∴两条抛物线对称轴为均为直线 x= 1，
∴ 0< xx < x ，∴ 42 4 x > 1，选项C错误，不符合题意．2
∵二次函数 y= x2- 2x+m m≠ 0 图象与 x轴有两个交点 x1,0 ， x2,0 x1< x2 ，
∴ x2- 2x+m= 0的两个根为 x1，x2，∴ x1+ x2= 2，x1x2=m，方程的Δ= -2 2- 4m> 0，
同理可得：x3+ x4= 2，x3x4=m- 1，方程的Δ= -2 2- 4 m- 1 > 0，
∴m< 1，x1+ x2= 2= x3+ x4，∴ x3x4=m- 1< 0，x1- x3= x4- x2，选项D正确，
又∵ x1< x2，x3<
x
x 14， ∴ 0< x2，x3< 0< x4，当 x3< 0< x1< 1时，x < 0；3
当 xx < x 13 1< 0时，0< x < 1；故选项B错误，不符合题意．故选：D3
【点睛】本题考查抛物线与 x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，将方程问题转化为图
象交点的问题．解答时注意数形结合的思想．
8. (2022·甘肃嘉峪关 ·校考一模 )如图①，在矩形ABCD中，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC上
移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．在运动过程
中线段BP的长度为 x，线段CQ的长为 y，y与 x之间的函数关系如图②所示．则AB的长为 ( )
A. 2.25 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【分析】根据条件先推出△ABP∽△PCQ，设AB= a，BC= b，利用对应边成比例列出函数关系式，结
合抛物线对称轴即可求出BC，将顶点坐标代入解析式，从而求出AB的长．
【详解】解：∵∠MPN= 90°，∴∠APB+∠CPQ= 90°，
∵∠APB+∠BAP= 90°，∴∠BAP=∠CPQ，
在△ 和△ 中， ∠BAP=∠CPQABP PCQ ∠ =∠ = ，B C 90°
∴△ABP∽△PCQ，∴ AB = BP，
PC CQ
设AB= a，BC= b，则PC=BC-BP= b- x，
a
- =
x
y，整理得 y=-
1
a x
2+ b
b x a
x，
对称轴为 x= b2，则
b
2 = 3，b= 6，
即 y=- 1 x2+ 6a a x，将点 3,2.25 代入得 2.25=-
1 × 32+ 6a a × 3，
解得 a= 4，故选 C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定、求二次函数解析式，采用数形结合列出函数关系是解题关
键．
9. (2022·山东青岛 · 1校考二模 )二次函数 y= ax2+ bx+ c的图象如图所示，其对称轴是直线 x= 2 ，点A
的坐标为 (1,0)，AB垂直于 x轴，连接CB，则下列说法一定正确的是 (　　 )
A.如图①，四边形ABCO是矩形
B. ab在同一平面直角坐标系中，二次函数 y= ax2+ bx，一次函数 y= ax+ b和反比例函数 y= x 的图
象大致如图②所示
C. 在同一平面直角坐标系中，二次函数 y=-x(ax+ b) + c b与反比例函数 y= x 的图象大致如图③
所示
D. 2a+ c在同一平面直角坐标系中，一次函数 y= bx- ac与反比例函数 y= x 在的图象大致如图④所
示
【答案】A
【分析】根据二次函数、反比例函数与一次函数的图象和性质即可求解．
【详解】根据图①可知 a> 0，c< 0，- b2a > 0，所以 b< 0，
A. ∵二次函数 y= ax2+ bx+ c的图象的对称轴是直线 x= 12，∴点O(0,0)与点A(1,0)关于对称轴
对称，
∵AB垂直于 x轴，∴B与C也关于对称轴对称，∴四边形ABCO是矩形，故A选项符合题意；
B.∵ a> 0，b< 0，∴一次函数 y= ax+ b的图象过第一、三、四象限，故B选项不符合题意；
C.∵ c< 0，∴二次函数 y=-x(ax+ b) + c=-ax2- bx+ c的图象不经过原点，故C选项不符合题
意；
D.∵ b< 0，-ac> 0，∴一次函数 y= bx- ac的图象过第一、二、四象限，故D选项不符合题意．故
选：A．
【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握函数的性质，灵
活应用．
10.(2022·山东济南 ·统考模拟预测 )在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y=-x2+ 2mx-m2+ 1与 y
轴的交点为A，过点A作直线 l垂直于 y轴．将抛物线在 y轴左侧的部分沿直线 l翻折，其余部分保持
不变，组成图形G．点M x1，y1 ，N x2，y2 为图形G上任意两点．若对于 x1=m+ 3，x2=m- 3，都
有 y1< y2，则m的取值范围 ( )
A. 0< x< 3 B. - 3< x< 0 C. x< 3 D. - 3< x< 3
【答案】D
【分析】由抛物线解析式可求出其对称轴为直线 x=m，又可用m表示出点M和点N的坐标，且点M
和点N关于直线 x=m对称，再分类讨论当m变化时，y轴与点M，N的相对位置，即可解答．
【详解】解：抛物线 y=-x2+ 2mx-m2+ 1的对称轴为 x=- 2m-2 =m，
∵点M x1，y1 ，N x2，y2 为图形G上任意两点，x1=m+ 3，x2=m- 3，
∴当 x=m+ 3时，y=- (m+ 3)2+ 2m m+ 3 -m2+ 1=-8，
当 x=m- 3时，y=- (m- 3)2+ 2m m- 3 -m2+ 1=-8，
∴M m- 3，-8 ，N m+ 3，-8 为抛物线上关于对称轴 x=m对称的两点．
分类讨论当m变化时，y轴与点M，N的相对位置：如图，当 y轴在点M左侧时 (含点M )，
经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，y1= y2，不符题意；
如图，当 y轴在点N右侧时 (含点N )，
经翻折后，点M，N的纵坐标相同，y1= y2，不符题意；
如图，当 y轴在点M，N之间时 (不含M，N )，
经翻折后，点M在 l下方，点N，P重合，在 l上方，y1< y2，符合题意．
此时m- 3< 0综上所述，m的取值范围为-3【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
11. (2022·江苏苏州 ·苏州市校考模拟预测 )若二次函数 y= ax2- bx+ 2有最大值 6，则 y=-a x+ 1 2+
b x+ 1 + 2的最小值为____．
【答案】-2
【分析】根据题意设二次函数 y= ax2- bx+ 2的顶点坐标为 m,6 ，且开口向下，根据平移可知 y=
a x+ 1 2- b x+ 1 + 2的顶点坐标为 m- 1,6 ，根据关于 x轴对称可知 y=-a x+ 1 2+ b x+ 1 -
2的顶点坐标为 m- 1,-6 ，且开口向上，有最小值，根据向上平移 4个单位即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数 y= ax2- bx+ 2有最大值 6，
∴设二次函数 y= ax2- bx+ 2的顶点坐标为 m,6 ，
∵ y= ax2- bx+ 2向左平移 1个单位得到 y= a x+ 1 2- b x+ 1 + 2，
∴ y= a x+ 1 2- b x+ 1 + 2的顶点坐标为 m- 1,6 ，
∵ y=-a x+ 1 2+ b x+ 1 - 2与 y= a x+ 1 2- b x+ 1 + 2关于 x轴对称
∴ y=-a x+ 1 2+ b x+ 1 - 2的顶点坐标为 m- 1,-6 ，且开口向上，
∵ y=-a x+ 1 2+ b x+ 1 - 2向上平移 4个单位得到：y=-a x+ 1 2+ b x+ 1 + 2
此时顶点坐标为 m- 1,-2 ，则最小值为-2故答案为：-2
【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点
坐标变换是解题的关键．
12.(2022·四川绵阳 ·东辰国际学校校考模拟预测 )如图，在平面直角坐标系中，点 F 2,4 在抛物线 y=
ax2上，过点F作 x轴的平行直线EF，交抛物线于点E，交 y轴于点C，将直线EF向下平移，分别交抛
物线于A，B两点，当△ABC是等边三角形时，线段AB的长是______．
【答案】 19- 3
【分析】由题意可得函数的表达式为 y= x2，易知点A与点B关于 y轴对称，C 0,4 ，设B m,m2 ，则
A -m,-m2 ，则AB= 2m，BD=m，CD= 4-m2，由△ABC为等边三角形可得∠CBA= 60°，可得
tan∠CBA= CD = 4-m
2
BD m = 3，求出m即可得到AB的长．
【详解】解：∵点F 2,4 在抛物线 y= ax2上，∴ 4= a 22，得：a= 1，
即：该二次函数的表达式为：y= x2，∴该函数的对称轴为 y轴，
∴点A与点B关于 y轴对称，取AB与 y轴交点为D，
设B m,m2 ，则A -m,-m2 ，∴AB= 2m，BD=m，
∵EF∥ x轴，∴C 0,4 ，∴CD= 4-m2，
∵△ABC为等边三角形，且点A与点B关于 y轴对称，
2
∴CD⊥AB，∠CBA= 60°，则 tan∠CBA= CDBD =
4-m
m = 3，∴m
2+
3m- 4= 0，
解得：m1= - 3- 192 (舍去 )，m2=
- 3+ 19
2 ∴AB= 2m= 19- 3．故答案为： 19- 3．
2
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，表示线段的长度，列出 CD = 4-mBD m 是
解决问题的关键．
13.(2022·湖北省直辖县级单位 ·校考二模 )已知抛物线 p : y= ax2+ bx+ c的顶点为C，与 x轴相交于A
,B两点 (点A在点B的左侧 )，点C关于 x轴的对称点为C ，我们称以A为顶点且过点C ，对称轴与
y轴平行的抛物线为抛物线 p的“关联”抛物线，直线AC 为抛物线 p的“关联”直线．若一条抛物线的
“关联”抛物线和“关联”直线分别是 y= x2+ 2x+ 1和 y= 2x+ 2，则这条抛物线的解析式为____
_．
【答案】y= x2- 2x- 3
【分析】根据题意分别求出A点坐标，点C 的坐标，点C和点C 关于 x轴对称，可知点C的坐标，根据
顶点式设原抛物线解析式为 y= a(x- 1)2- 4，把点A代入即可求解．
【详解】解：∵ y= x2+ 2x+ 1= (x+ 1)2，∴A点坐标为 (-1,0)，
2
解方程组 y= x + 2x+ 1 ，得
x=-1 或 x= 1
y= 2x+ 2 y= 0 ，∴点C

的坐标为 (1,4)，y= 4
∵点C和点C 关于 x轴对称，∴C(1,-4)，设原抛物线解析式为 y= a(x- 1)2- 4，
∴把A(-1,0)代入得，4a- 4= 0，解得 a= 1，
∴原抛物线解析式为 y= (x- 1)2- 4= x2- 2x- 3．故答案为：y= x2- 2x- 3．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，理解题目意思，掌握待定系数求解析式，二次函
数的顶点式是解题的关键．
14.(2022·江苏泰州 ·校联考三模 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=-x2+ 2x+ 3与 x轴交于A、B
两点 (点A在点B的左侧 )，与 y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴交 x轴于点E．点P为抛物
线对称轴上一点．以BP为边在BP的下方作等边三角形△BPQ，则当点P从点D运动到点 E的过
程中，点Q经过路径的长度为______．
【答案】4
【分析】当点P在D时，等边三角形为△BDQ，当点P在点E时，等边三角形为△EBQ ，连接QQ 、
BP，证明△DEB≌△QQ B SAS ，则∠DEB=∠BQ Q= 90°，则QQ = BQ2-BQ 2= 20- 22=
4，即可求解．
【详解】如图，当点P在D时，等边三角形为△BDQ，当点P在点E时，等边三角形为△EBQ ，连接
QQ 、BP，
则BD=BQ=DQ，BE=BQ =EQ ，∠DBQ=∠EBQ = 60°，
对于 y=-x2+ 2x+ 3，令 x= 0，则 y= 3，令 y= 0，解得 x= 3或-1，
故点A、B、C的坐标分别为 -1，0 、 3，0 、 0，3 ，
函数的对称轴为 x= 1，点D 1，4 ，
∵∠DBE=∠DBQ+∠QBA= 60°+∠QBA，∠QBQ =∠QBA+
∠ABQ = 60°+∠QBA，
∴∠QBE=∠QBQ ，∵BD=BQ，BE=BQ ，
∴△DEB≌△QQ B SAS ，∠DEB=∠BQ Q= 90°，
由B、D的坐标知，BD= 20=BQ，而BE= 3- 1= 2=BQ ，
则QQ = BQ2-BQ 2= 20- 22= 4，
即点Q经过路径的长度是 4．故答案为：4．
【点睛】此题主要考查二次函数和几何综合，解题的关键熟练掌握二次函数的图象和性质．
15.(2022·湖北省直辖县级单位 ·校考一模 )如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线 l的方向行驶，为
绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为 h(单位：m)．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽
象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图像，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE
= 3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点
A离喷水口的水平距离为 2m，高出喷水口 0.5m，灌溉车到 l的距离OD为 d(单位：m)．若当 h=
1.5m，EF= 0.5m时，解答下列问题．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC．
(2)下边缘抛物线与 x轴的正半轴交点B的坐标为________．
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出 d的取值范围．
【答案】(1)y=- 18 x- 2
2+ 2，喷出水的最大射程OC为 6m(2) 2,0 (3)2≤ d≤ 2 3- 1
【分析】(1)根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可，再求出 y= 0时，x的值，由此即可得；
(2)根据对称性求出平移分式，再根据平移方式即可求出点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物
线OB≤ d，计算即可．
【详解】(1)解：如图，由题意得A 2,2 是上边缘抛物线的顶点，则设 y= a x- 2 2+ 2．
又∵抛物线经过点 0,1.5 ，∴ 4a+ 2= 1.5，∴ a=- 18．
∴上边缘抛物线的函数解析式为 y=- 18 (x- 2)
2+ 2．
当 y= 0时，- 18 (x- 2)
2+ 2= 0，∴ x1= 6，x2=-2(舍去 )．
∴喷出水的最大射程OC为 6m．
(2)解：∵对称轴为直线 x= 2，∴点 0,1.5 的对称点的坐标为 4,1.5 ．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 4m得到的，即点B是由点C向左平移 4m得到，
∴点B的坐标为 2,0 ，故答案为： 2,0 ．
(3)解：如图，先看上边缘抛物线，∵EF= 0.5，∴点F的纵坐标为 0.5．
当抛物线恰好经过点F时，- 1 28 x- 2 + 2= 0.5．解得 x= 2± 2 3，
∵ x> 0，∴ x= 2+ 2 3．当 x> 0时，y随着 x的增大而减小，
∴当 2≤ x≤ 6时，要使 y≥ 0.5，则 x≤ 2+ 2 3．
∵当 0≤ x< 2时，y随 x的增大而增大，且 x= 0时，y= 1.5> 0.5，
∴当 0≤ x≤ 6时，要使 y≥ 0.5，则 0≤ x≤ 2+ 2 3．
∵DE= 3，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，∴ d的最大值为 2+ 2 3 - 3= 2 3- 1．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤ d，∴ d的最小值为 2．
综上所述，d的取值范围是 2≤ d≤ 2 3- 1．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换
成二次函数上的坐标是解题的关键．
16.(2022·河北唐山 ·统考三模 )北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳
台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为 y轴，
建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1 : y=- 112 x
2+ 43 x+
4
3 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，
某滑雪爱好者小张从点O正上方A 1点滑出，滑出后沿一段抛物线C2 : y=- 8 x
2+ bx+ c运动．
(1) 17当小张滑到离A处的水平距离为 6米时，其滑行高度最大，为 2 米，则 b=________．
(2)在 (1)的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为
4
3 米？
(3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于 3米，求跳台滑出点的最小高
度．
【答案】(1) 32 (2)8米 (3)
5
3 米
【分析】(1)根据抛物线C2的顶点坐标为 6, 172 ，由此即可得；
(2)先求出 c的值，从而可得抛物线C 42的解析式，再根据“他滑行高度与小山坡的竖直距离为 3 米”建
立方程，解方程即可得；
(3)先求出小山坡的顶点坐标为 8, 203 ，从而可得 b= 2，再根据“与坡顶距离不低于 3米”建立不等
式，求出 c的取值范围，由此即可得．
【详解】(1)解：由题意得：抛物线C 的顶点坐标为 6, 172 2 ，
∵抛物线C 的解析式为 y=- 12 8 x
2+ bx+ c，
∴- b 1 = 6，解得 b=
3
2，故答案为：
3
2．2× - 8
(2)解：由 (1)可知，C : y=- 1 x2+ 32 8 2 x+ c，
将点 6, 17 代入得：- 1 × 62+ 3 × 6+ c= 17，解得 c= 4，则C : y=- 1 x2+ 32 8 2 2 2 8 2 x+ 4，
设当小张滑出后离A的水平距离为m米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为 43 米，
则- 1 m2+ 38 2m+ 4- -
1 2 4 4 4
12m + 3m+ 3 = 3，解得m= 8或m=-4< 0(不符题意，舍去 )，
答：当小张滑出后离A的水平距离为 8米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为 43 米．
(3)解：C : y=- 1 x2+ 4 x+ 41 12 3 3 =-
1 20
12 x- 8
2+ 3 ，
则当 x= 8时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为 8, 203 ，
由题意得：- b 1 = 8，解得 b= 2，则C2 : y=-
1
8 x
2+ 2x+ c，
2× - 8
当 x= 8时，y=- 18 × 8
2+ 2× 8+ c= 8+ c，
∵小张滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于 3米，
∴ 8+ c- 203 ≥ 3，解得 c≥
5
3，即跳台滑出点的最小高度为
5
3 米．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及其应用，熟练掌握二次函数的性质，并能将实际问题与二次函数
模型相结合是解决本题的关键．
17.(2022·山东滨州 ·模拟预测 )重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜，它的成本是每千克 2元，售
价是每千克 3元，年销量为 10万千克．多吃绿色蔬菜有利于身体健康，因而绿色蔬菜倍受欢迎，十分
畅销．为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿出一定的资金作绿色开发，根据经验，
若每年投入绿色开发的资金X万元，该种蔬菜的年销量将是原年销量的m倍，它们的关系如下表：
x万元 0 1 2 3 4
m 1 1.5 1.8 1.9 1.8
(1)试估计并验证m与 x之间的函数类型并求该函数的表达式；
(2)若把利润看着是销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，试求年利润W万元与绿色开发投入
的资金 x万元的函数关系式；并求投入的资金不低于 3万元，又不超过 5万元时，x取多少时，年利润
最大，求出最大利润． (3)基地经调查：若增加种植人员的奖金，从而提高种植积极性，又可使销量增
加，且增加的销量 y万千克与增加种植人员的奖金 z万元之间满足 y=-z2+ 4z，若基地将投入 5万元
用于绿色开发和提高种植人员的奖金，应怎样分配这笔资金才能使年利润达到 17万元且绿色开发投
入大于奖金？ 2= 1.4．
【答案】(1)m=-0.1x2+ 0.6x+ 1 (2)x= 3时，W最大为 16万元
(3)用于绿色开发的资金为 3.7万元，奖金为 1.3万元
【分析】(1)根据题意判断出函数解析式的形式，再利用待定系数法求二次函数解析式，可求出m与 x
的二次函数关系式． (2)根据题意可知S= 3- 2 × 10m- x=-x2+ 5x+ 10，利用顶点坐标公式解
题即可；
(3)将m代入 (2)中的W=-x2+ 5x+ 10，故W=-m2+ 5m+ 10；再将 5-m 代入 y=-z2+ 4z，故
y=- (5-m)2+ 4 5-m =-m2+ 6m- 5，由于单位利润为 1，所以由增加奖金而增加的利润就是
-m2+ 6m- 5，进而求出总利润W ' = -m2+ 5m+ 10 + -m2+ 6m- 5 - 5-m =-2m2+ 12m，
即可得出答案．
【详解】(1)根据不是一次函数 (不是线性的 )，也不是反比例函数 (m× x的值不是常数 )，所以选择二
次函数，
设m与 x的函数关系式为m= ax2+ bx+ c，
c= 1 a=-0.1
由题意得： a+ b+ c= 1.5 ，解得： b= 0.6 ，4a+ 2b+ c= 1.8 c= 1
∴m与 x的函数关系式为：m=-0.1x2+ 0.6x+ 1；
(2) ∵利润=销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，
∴W= 3- 2 × 10m- x=-x2+ 5x+ 10；当 x=- b2a = 2.5时，W最大，
∵由于投入的资金不低于 3万元，又不超过 5万元，所以 3≤ x≤ 5，
而 a=-1< 0，抛物线开口向下，且取值范围在顶点右侧，W随 x的增大而减小，故最大值在 x= 3处，
∴当 x= 3时，W最大为：16万元；
(3)设用于绿色开发的资金为m万元，则用于提高奖金的资金为 (5-m)万元，
将m代入 (2)中的W=-x2+ 5x+ 10，故W=-m2+ 5m+ 10；
将 (5-m)代入 y=-z2+ 4z，故 y=- (5-m)2+ 4 5-m =-m2+ 6m- 5，
由于单位利润为 1，所以由增加奖金而增加的利润就是-m2+ 6m- 5；
所以总利润W ' = -m2+ 5m+ 10 + -m2+ 6m- 5 - 5-m =-2m2+ 12m，
因为要使年利润达到 17万，所以-2m2+ 12m= 17，整理得 2m2- 12m+ 17= 0，
解得：m= 6+ 22 ≈ 3.7或m=
6- 2
2 ≈ 2.3，而绿色开发投入要大于奖金，
所以m= 3.7，5-m= 1.3．所以用于绿色开发的资金为 3.7万元，奖金为 1.3万元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，以及待定系数法求二次函数解析式和一元二次方程的解法
等知识，根据已知得出由增加奖金而增加的利润是解题关键．
18.(2022·江苏淮安 ·淮阴中学新城校区校联考二模 )我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点
定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数 y= x2的图象上，存在一点P -1，1 ，则P为二
次函数 y= x2图象上的“互反点”．
(1)分别判断 y=-x+ 3、y= x2+ x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；
如果不存在，说明理由． (2) y= -5如图①，设函数 x x< 0 ，y= x+ b的图象上的“互反点”分别为点
A，B，过点B作BC⊥ x轴，垂足为C．当△ABC的面积为 5时，求 b的值；(3)如图②，Q m，0 为 x
轴上的动点，过Q作直线 l⊥ x轴，若函数 y=-x2+ 2 x≥m 的图象记为W1，将W1沿直线 l翻折后
的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有 2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)y=-x+ 3的图象上不存在“互反点”； 0，0 ， -2，2 是 y= x2+ x的图象上的“互反点”
(2)b= 4 5或 b=-2 5(3) - 1【分析】(1)由定义可知，函数与 y=-x的交点即为“互反点”；
(2)求出A - 5, 5 ，B - 12 b,
1
2 b ，可得S
1 1
△ABC= 2 × 2 b × 5-
1
2 = 5，求出 b的值；
(3)函数 y=-x2+ 2关于直线 x=m的对称抛物线解析式为 y=- x- 2m 2+ 2，联立方程组
y=-x 9 9 =- - 2+ ，当Δ= 0时，m=- 8，因此当m<- 8 时，W1，W2两部分组成的图象上恰有 2y x 2m 2
个“互反点”；函数 y=-x2+ 2与直线 x=m的交点为 m，-m2+ 2 ，当点 m，-m2+ 2 在直线 y=
-x上时，解得m=-1或m= 2，结合图象可知：-1个“互反点”．
【详解】(1)解：y=-x+ 3中，x+ y= 3，
∴ y=-x+ 3的图象上不存在“互反点”；
y= x2+ x中，当 y=-x时，-x= x2+ x，解得 x= 0或 x=-2，
∴ 0，0 ， -2，2 是 y= x2+ x的图象上的“互反点”；
(2)解：y= -5x x< 0 中，当 y=-x时，-x=
-5
x ，解得 x=- 5，∴A - 5, 5 ，
y= x+ b中，当 y=-x时，-x= x+ b，解得 x=- 12 b∴B -
1
2 b,
1
2 b ，
∴BC= 12 b ，∴S
1
△ABC= 2 ×
1
2 b × 5-
1
2 = 5，解得 b= 4 5或 b=-2 5；
(3)解：函数 y=-x2+ 2关于直线 x=m的对称抛物线解析式为 y=- x- 2m 2+ 2，
由定义可知“，互反点”在直线 y=-x上，联立方程组 y=-x ，y=- x- 2m 2+ 2
整理得 x2- 4m+ 1 x+ 4m2- 2= 0，Δ= 4m+ 1 2- 4 4m2- 2 = 0，解得m=- 98，
当m>- 98 时，y=- x- 2m
2+ 2与 y=-x没有交点，此时 y=-x与 y=-x2+ 2有两个交点，
∴m<- 98 时，W1，W2两部分组成的图象上恰有 2个“互反点”；
当 x=m时，y=-m2+ 2，∴函数 y=-x2+ 2与直线 x=m的交点为 m，-m2+ 2 ，
当点 m，-m2+ 2 在直线 y=-x上时，-m2+ 2=-m，解得m=-1或m= 2，
当m=-1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有 3个“互反点”，
∴m>-1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有 2个“互反点”；
当m= 2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有 1个“互反点”，
∴m< 2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有 2个“互反点”；
∴-1综上所述：-1【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类
讨论是解题的关键．
19.(2022·广东广州 ·校考二模 )在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (m，2) (其中m为常数 )，点B与点
x2+ x-m x≥ 1
A关于 y轴对称．在实数范围内定义函数 y= (其中m为常数 )的图象为G．x2+ x+m x< 1
(1)当点 -1，2 在G上时，则m的值是 ；(2)求点B在G上时，求m的值；
(3)当 y最小值的取值范围是-2≤ y≤-1时，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)2(2) 2(3)3≤m≤ 4或- 74 ≤m≤-
3
4
【分析】(1)直接代入求值即可；(2)求得B点的坐标，分两种求得代入求值即可；
(3)分两种情况：①图形G上最低点落在左侧函数部分的图象上，根据题意解不等式组即可，②图形G
上最低点落在右侧部分的图象上时，解不等式组即可．
【详解】(1)解：把点 -1，2 代入 y= x2+ x+m，则 1- 1+m= 2，∴m= 2；
(2)解：∵点A的坐标为 (m，2) (其中m为常数 )，点B与点A关于 y轴对称，
∴点B的坐标为 -m，2 ，
当-m≥ 1时，即m≤-1时，把点 -m，2 代入 y= x2+ x-m，则m2-m-m= 2，解得m= 1± 3
(舍去 )，
当-m< 1时，即m>-1时，把点 -m，2 代入 y= x2+ x+m，则m2-m+m= 2，解得m=± 2(
负值舍去 )，
综上，m= 2；
(3)解：当图形G上最低点落在函数 y= x2+ x-m x≥ 1 的图象上时，则最低点坐标为 1，2-m ，
∴-2≤ 2-m≤-1，解得：3≤m≤ 4；
当图形G上最低点落在函数 y= x2+ x-m x< 2 的图象上时，同理：- 74 ≤m≤-
3
4，
y= x2+ x+m的顶点C - 12，m-
1
4 ，
当 x= 1时，y= x2+ x-m的点D 1，2-m ，m- 14 = 2-m，解得m=
9
8，
当m> 9 时，D为最低点，当m< 98 8 时，C为最低点，
综上所述，m的取值范围为：3≤m≤ 4或- 7 34 ≤m≤- 4．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用
点的坐标的意义表示线段的长度，其中 (3)要确定临界点的情况，进而求解．
2
20.(2022· 1河北沧州 ·统考二模 )如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y= a x+ 2 + k的图象经过点
A 0, 74 ，点B 1,-
1
4 ，与直线 x=m交于点P．
(1)求二次函数的解析式；(2)当 0≤ x≤m时，函数有最小值-3，求m的值；(3)过点P作PQ∥ x轴，
点Q的横坐标为-2m+ 1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m
的取值范围；
2
②当PQ≤ 7 1 1时，直接写出线段PQ与二次函数 y= a x+ 2 + k -2≤ x< 3 的图象有一个交点
时m的取值范围．
【答案】(1)y=-x2- x+ 74 (2)
2 5- 1
2 (3)①m<
1 ；②- 1 ≤m< 13 2 3 或-2≤m<-
4
3
【分析】(1)用待定系数法可得二次函数的解析式为 y=-x2- x+ 74；
2
(2)由抛物线 y=- x+ 12 + 2的对称轴为直线 x=-
1
2，根据当 0≤ x≤m时，函数有最小值-3，可
得 x=m时，y=-3，即可解得m的值为 2 5- 12 ；
(3)①PQ= -2m+ 1-m = -3m+ 1 ，根据PQ的长度随m的增大而减小，可得-3m+ 1> 0，即
可解得解得m< 13；
2
②由 01
2 时，P在二次函数 y=- x+
1
2 + 2的图象的
最高点，PQ与抛物线只有 1交点，(Ⅱ )当- 12 1
3 时，P、Q都在直线 x=-
1
2 的右侧，PQ与
抛物线只有 1交点；(Ⅲ )直线 x= 13 关于对称轴直线 x=-
1
2 的对称直线为 x=-
4
3，当-2≤m<
- 43 时，PQ与抛物线只有 1交点．
2
【详解】(1)解：将A 0, 74 ，点B 1,-
1
4 代入 y= a x+
1
2 + k得：
1 7
4 a+ k= 4 2 9 ，解得
a=-1，∴ y=- x+ 1 + 2=-x2- x+ 7，
4 a+

k=- 1 k= 2 2 44
答：二次函数的解析式为 y=-x2- x+ 74；
2
(2) ∵抛物线 y=- x+ 12 + 2的对称轴为直线 x=-
1
2，
∴在 0≤ x≤m时，y随 x的增大而减小，而当 0≤ x≤m时，函数有最小值-3，
2
∴ x=m时，y=-3，即-3=- m+ 12 + 2，
解得m= 2 5- 12 或m=
-2 5- 1
2 (不合题意，舍去 )，∴m的值为
2 5- 1
2 ；
(3)①PQ= -2m+ 1-m = -3m+ 1 ，
当-3m+ 1> 0时，PQ=-3m+ 1，PQ的长度随m的增大而减小，
当-3m+ 1< 0时，PQ= 3m- 1，PQ的长度随m增大而增大，
∴-3m+ 1> 0满足题意，解得m< 13；
②∵ 0(Ⅰ )当m=- 1
2
2 时，P在二次函数 y=- x+
1
2 + 2的图象的最高点，PQ与抛物线只有 1交点，如
图：
(Ⅱ )当- 12 1
3 时，如图：此时P、Q都在直线 x=-
1
2 的右侧，PQ与抛物线只有 1交点；
(Ⅲ )直线 x= 13 关于对称轴直线 x=-
1
2 的对称直线为 x=-
4
3，
当-2≤m<- 43 时，如图：此时PQ与抛物线只有 1交点；
综上所述，当- 1
2
2 ≤m<
1
3 或-2≤m<-
4
3 时，PQ与抛物线 y=- x+
1
2 + 2 -2≤ x<
1
3 只
有一个交点．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标特征，抛物线与线段的
交点等，解题的关键是数形结合思想的应用．
21.(2022·山东济宁 ·校考二模 )如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y= x2- 2x- 3交 x轴于A，B
两点 (点A在点B的左侧 )，将该抛物线位于 x轴上方曲线记作M，将该抛线位于 x轴下方部分沿 x
轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交 y轴于点C，连接AC，BC．
(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；(2)求△ABC外接圆的半径；(3)点P为曲线N上的一动
点，点Q为 x轴上的一个动点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．
【答案】(1)y=-x2+ 2x+ 3(2) 5(3)Q 5,0 或 1,0
【分析】(1)由已知抛物线求出顶点坐标，再得到抛物线N的顶点坐标，即可得到表达式；
(2)分别求出点A，B的坐标，得到线段AB的垂直平分线为直线 x= 1，再求出点C的坐标，得到线段
的垂直平分线为直线 = ，联立 y= xBC y x = ，求出△ABC外接圆的圆心坐标为 1,1 ，利用勾股定理即x 1
可求出△ABC外接圆的半径；(3)由已知得，BQ为平行四边形的一边，且BQ∥CP，BQ=CP，由 (2)
知C 0,3 ，过点C作直线 l∥ x轴，交曲线N于点P，求出点P的坐标，得到CP= 2，即可求出点Q的
坐标．
【详解】(1)解：∵ y= x2- 2x- 3= x- 1 2- 4，
∴抛物线 y= x2- 2x- 3的顶点坐标为 1,-4 ，开口向上，
∴曲线N所在抛物线的顶点坐标为 1,4 ，开口向下，
∵翻折后形状不变，∴ a不变，
∴抛物线N所在抛物线的表达式为 y=- x- 1 2+ 4，即 y=-x2+ 2x+
3；
(2)令 y= x2- 2x- 3中 y= 0，得 x2- 2x- 3= 0，
∴ x- 3 x+ 1 = 0，解得 x1= 3,x2=-1，∴A -1,0 ,B 3,0 ，
∴线段AB的垂直平分线为直线 x= 1，
∵ y=-x2+ 2x+ 3，当 x= 0时，y= 3，∴C 0,3 ，∴OB=OC,∠BOC=
90°，
∴线段 的垂直平分线为直线 = ，联立 y= x，得 x= 1BC y x x= 1 ，y= 1
∴△ABC外接圆的圆心坐标为 1,1 ，∴△ABC外接圆的半径为 12+ 22= 5；
(3)由已知得，BQ为平行四边形的一边，且BQ∥CP，BQ=CP，由 (2)知C 0,3 ，过点C作直线 l∥ x
轴，交曲线N于点P，
由-x2+ 2x+ 3= 3，-1< x< 3，解得 x1= 2,x2= 0(舍去 )，∴CP= 2，
∵BQ∥CP，BQ=CP，B 3,0 ，∴Q 5,0 或 1,0 ．
【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，三角形外接圆的圆心坐标，勾股定理，解一元二次方程，正
确理解二次函数的图像和性质是解题的关键．
限时检测 2：最新各地中考真题 (60分钟 )
1. (2022·陕西 ·中考真题 )已知二次函数 y= x2- 2x- 3的自变量 x1,x2,x3对应的函数值分别为 y1，y2，
y3．当-1< x1< 0，1< x2< 2，x3> 3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是 ( )
A. y1< y2< y3 B. y2< y3< y1 C. y3< y1< y2 D. y2< y1< y3
【答案】D
【分析】先将抛物线配成顶点式，求出对称轴为 x= 1，再求出抛物线与 x轴的两个交点坐标为 (-1,0)
和 (3,0)，根据开口向上即可判断．
【详解】解：∵抛物线 y= x2- 2x- 3= (x- 1)2- 4，∴对称轴 x= 1，顶点坐标为 (1,-4)，
当 y= 0时，(x- 1)2- 4= 0，解得 x=-1或 x= 3，
∴抛物线与 x轴的两个交点坐标为：(-1,0)，(3,0)，
∴当-1< x1< 0，1< x2< 2，x3> 3时，y2< y1< y3，故选：D．
【点睛】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数
的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
2. (2022·湖南郴州 ·中考真题 )关于二次函数 y= x- 1 2+ 5，下列说法正确的是 ( )
A.函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 -1,5
C. 该函数有最大值，是大值是 5 D.当 x> 1时，y随 x的增大而增大
【答案】D
【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
【详解】解：对于 y= (x- 1)2+ 5，∵ a= 1> 0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为 (1，5)，故B错误；该函数有最小值，是小值是 5，故C错误；
当 x> 1时，y随 x的增大而增大，故D正确，故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与 x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函
数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
3. (2022·湖南岳阳 ·中考真题 )已知二次函数 y=mx2- 4m2x- 3(m为常数，m≠ 0)，点P xp,yp 是该
函数图象上一点，当 0≤ xp≤ 4时，yp≤-3，则m的取值范围是 ( )
A. m≥ 1或m< 0 B. m≥ 1 C. m≤-1或m> 0 D.m≤-1
【答案】A
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与 y轴的交点坐标，再分两种情况：m> 0或m< 0，根据二次
函数的性质求得m的不同取值范围便可．
【详解】解：∵二次函数 y=mx2- 4m2x- 3，∴对称轴为 x= 2m，抛物线与 y轴的交点为 0,-3 ，
∵点P xp,yp 是该函数图象上一点，当 0≤ xp≤ 4时，yp≤-3，∴①当m> 0时，对称轴 x= 2m> 0，
此时，当 x= 4时，y≤-3，即m 42- 4m2 4- 3≤-3，解得m≥ 1；
②当m< 0时，对称轴 x= 2m< 0，当 0≤ x≤ 4时，y随 x增大而减小，
则当 0≤ xp≤ 4时，yp≤-3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥ 1或m< 0．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
4. (2022·贵州铜仁 ·中考真题 )如图，若抛物线 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)与 x轴交于A、B两点，与 y轴交
于点C，若∠OAC=∠OCB．则 ac的值为 ( )
A. - 1 B. - 2 C. - 12 D. -
1
3
【答案】A
【分析】观察图象，先设A(x1,0) (x1< 0) ，B(x2,0) (x2> 0)，C(0,c) (c> 0)，根据已知条件∠OAC=
∠OCB及OC⊥AB证明△OAC ∽△OCB，得出 x 21 x2 = c =-x1 x2，利用根与系数的关系知 x1
x2= ca，最后得出答案．
【详解】设A(x1,0) (x1< 0) ，B(x2,0) (x2> 0)，C(0,c) (c> 0)，
∵二次函数 y= ax2+ bx+ c的图象过点C(0,c)，∴OC= c，
∵∠OAC=∠OCB，OC⊥AB，∴△OAC ∽△OCB，∴ OA = OC，
OC OB
∴OC 2=OA OB，即 x1 x2 = c2=-x 21 x2，令 ax + bx+ c= 0，
根据根与系数的关系知 x x = c，∴-x x =- c = c21 2 a 1 2 a ，故 ac=-1 故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)与关于方程 ax2+ bx+ c= 0(a≠ 0)之间的相互转
换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．
5. (2022·广西贺州 ·中考真题 )已知二次函数 y= 2x2- 4x- 1在 0≤ x≤ a时，y取得的最大值为 15，则
a的值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出 y= 15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答
案．
【详解】解：∵二次函数 y= 2x2- 4x- 1= 2(x- 1)2- 3，
∴抛物线的对称轴为 x= 1，顶点 (1，-3)，
∵ 1> 0，开口向上，∴在对称轴 x= 1的右侧，y随 x的增大而增大，
∵当 0≤ x≤ a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为 15，
∴当 x= a时，y= 15，∴ 2(a- 1)2- 3= 15，解得：a= 4或 a=-2(舍去 )，故 a的值为 4．故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次
函数的性质解答．
6. (2022·湖北鄂州 ·中考真题 )如图，已知二次函数 y= ax2+ bx+ c(a、b、c为常数，且 a≠ 0)的图像顶
点为P(1，m)，经过点A(2，1)；有以下结论：① a< 0；② abc> 0；③ 4a+ 2b+ c= 1；④ x> 1时，y随 x
的增大而减小；⑤对于任意实数 t，总有 at2+ bt≤ a+ b，其中正确的有 (　　 )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定 a、b、c的正负即
可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则 a< 0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P(1，m) ∴- b2a = 1，b=-2a∵ a< 0∴ b> 0
∵抛物线与 y轴的交点在正半轴∴ c> 0∴ abc< 0，故②错误；
③∵抛物线经过点A(2，1) ∴ 1= a·22+ 2b+ c，即 4a+ 2b+ c= 1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P(1，m)，且开口方向向下
∴ x> 1时，y随 x的增大而减小，即④正确；
⑤∵ a< 0∴ at2+ bt- (a+ b) = at2- 2at- a+ 2a= at2- 2at+ a= a(t2- 2t+ 1) = a(t- 1)2≤ 0
∴ at2+ bt≤ a+ b，则⑤正确综上，正确的共有 4个．故答案为C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想
成为解答本题的关键．
7. (2022·湖南株洲 ·中考真题 )已知二次函数 y= ax2+ bx- c a≠ 0 ，其中 b> 0、c> 0，则该函数的图
象可能为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用排除法，由-c< 0得出抛物线与 y轴的交点应该在 y轴的负半轴上，排除A选项和D选
项，根据B选项和C选项中对称轴 x= -b2a > 0，得出 a< 0，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C
为正确答案．
【详解】解：对于二次函数 y= ax2+ bx- c a≠ 0 ，
令 x= 0，则 y=-c，∴抛物线与 y轴的交点坐标为 0,-c
∵ c> 0，∴-c< 0，∴抛物线与 y轴的交点应该在 y轴的负半轴上，
∴可以排除A选项和D选项；
B选项和C选项中，抛物线的对称轴 x= -b2a > 0，
∵ b> 0，∴ a< 0，∴抛物线开口向下，可以排除B选项，
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关
键．
8. (2022·浙江宁波 ·中考真题 )点A(m- 1，y1)，B(m，y2)都在二次函数 y= (x- 1)2+ n的图象上．若
y1< y2，则m的取值范围为 ( )
A. m> 2 B. m> 32 C. m< 1 D.
3
2 【答案】B
【分析】根据 y1< y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】解：∵点A(m- 1，y1)，B(m，y2)都在二次函数 y= (x- 1)2+n的图象上，
∴ y1= (m- 1- 1)2+n= (m- 2)2+n，y2= (m- 1)2+n，
∵ y1< y2，∴ (m- 2)2+n<(m- 1)2+n，∴ (m- 2)2- (m- 1)2< 0，
即-2m+ 3< 0，∴m> 32，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．
9. ( 2022 · 1 5山东泰安 · 中考真题 ) 一元二次方程 - 4 x
2 + 2 x + 12 = - 3 x + 15 根的情况是
( )
A.有一个正根，一个负根 B. 有两个正根，且有一根大于 9小于 12
C. 有两个正根，且都小于 12 D.有两个正根，且有一根大于 12
【答案】D
【分析】将方程转化为一次函数与二次函数的交点问题求解．画出函数图
象，找准图象与坐标轴的交点，结合图象可选出答案．
【详解】解：如图，
由题意二次函数 y=- 1 24 x + 2x+ 12，与 y交与点 (0，12)与 x轴交于 (-4，
0) (12，0)，一次函数 y=- 53 x+ 15，与 y交与点 (0，15)与 x轴交于 (9，0)
因此，两函数图象交点一个在第一象限，一个在第四象限，所以两根都大于
0，且有一根大于 12故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与 x轴的交点，利用数形结合的思想，画图象时找准关键点，与坐标轴的交
点，由图象得结果．
10.(2022·四川自贡 ·中考真题 )已知A(-3，-2) ，B(1，-2)，抛物线 y= ax2+ bx+ c(a> 0)顶点在线段
AB上运动，形状保持不变，与 x轴交于C，D两点 (C在D的右侧 )，下列结论：
① c≥-2 ；②当 x> 0时，一定有 y随 x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为-5，点C横坐标的最大值为 3；
④当四边形ABCD 1为平行四边形时，a= 2．其中正确的是 ( )
A.①③ B. ②③ C. ①④ D.①③④
【答案】D
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与 y轴的交点坐标为 (0，c)可以判断出 c的取值范围，可判断
①；根据二次函数的增减性判断②；先确定 x= 1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的
对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令 y= 0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD
的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出 a的值，
判断④．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为 (-3，-2)和 (1，-2)，∴线段AB与 y轴的交点坐标为 (0，-2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与 y轴的交点坐标为 (0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在 y轴上时取“=”)，故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当 x> 1时，一定有 y随 x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线 x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为 1+ 2= 3，故③正确；
令 y= 0，则 ax2+ bx+ c= 0，设该方程的两根为 x1，x2，则 x1+ x2=- ba，
x1x2= ca，
2 2
∴CD2= ( x - x ) 21 2 = ( x + x ) 21 2 - 4x1x2= - ba - 4×
c
a =
b - 4ac，
a2
根据顶点坐标公式，4ac- b
2 2 2
4a =-2，∴
4ac- b
a =-8，即
b - 4ac
a = 8，
∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD=AB= 1- (-3) = 4，∴ 8a = 4
2= 16，解得 a= 12，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与
系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在 y轴上的情况．
11. (2022·福建 ·中考真题 )已知抛物线 y= x2+ 2x- n与 x轴交于A，B两点，抛物线 y= x2- 2x- n与
x轴交于C，D两点，其中n> 0，若AD= 2BC，则n的值为______．
【答案】8
【分析】先求出抛物线 y= x2+ 2x-n与 x轴的交点，抛物线 y= x2- 2x-n与 x轴的交点，然后根据
AD= 2BC，得出AD2= 4BC 2，列出关于n的方程，解方程即可。
【详解】解： 把 y= 0代入 y= x2+ 2x-n得：x2+ 2x-n= 0，
解得：x = -2- 4+ 4n =-1- 1+n，x = -2+ 4+ 4n1 2 2 2 =-1+ 1+n，
把 y= 0代入 y= x2- 2x-n得：x2- 2x-n= 0，
解得：x = 2- 4+ 4n = 1- 1+n，x = 2+ 4+ 4n3 2 4 2 = 1+ 1+n，
∵AD= 2BC，∴AD2= 4BC 2，∴ x - x 2= 4 x - x 21 4 2 3 ，
即 -1- 1+n- 1- 1+n 2= 4 -1+ 1+n- 1+ 1+n 2， -1- 1+n 2= 4 -1+ 1+n 2，
令 1+n=m，则 -1-m 2= 4 1-m 2，解得：m1= 13，m2= 3，
当m1= 13 时， 1+n=
1
3，解得：n=-
8
9，
∵n> 0，∴n=- 89 不符合题意舍去；
当m2= 3时， 1+n= 3，解得：n= 8，
∵ 8> 0，∴n= 8符合题意；综上分析可知，n的值为 8．
【点睛】本题主要考查了抛物线与 x轴的交点问题，根据题意用n表示出AD2= 4BC 2，列出关于n的方
程是解题的关键．
12.(2022·湖北荆州 ·中考真题 )规定：两个函数 y1，y2的图象关于 y轴对称，则称这两个函数互为“Y函
数”．例如：函数 y1= 2x+ 2与 y2=-2x+ 2的图象关于 y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函
数 y= kx2+ 2 k- 1 x+ k- 3(k为常数 )的“Y函数”图象与 x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析
式为______．
【答案】y= 2x- 3或 y=-x2+ 4x- 4
【分析】分两种情况，根据关于 y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．
【详解】解：∵函数 y= kx2+ 2 k- 1 x+ k- 3(k为常数 )的“Y函数”图象与 x轴只有一个交点，
∴函数 y= kx2+ 2 k- 1 x+ k- 3(k为常数 )的图象与 x轴也只有一个交点，
当 k= 0时，函数解析为 y=-2x- 3，它的“Y函数”解析式为 y= 2x- 3，它们的图象与 x轴只有一个
交点，
当 k≠ 0时，此函数是二次函数，
∵它们的图象与 x轴都只有一个交点，∴它们的顶点分别在 x轴上，
4k k- 3 - 2 k- 1 2∴ = 0，得 k+ 1 = 0，故 k+ 1= 0，解得 k=-1，
4k k
故原函数的解析式为 y=-x2- 4x- 4，故它的“Y函数”解析式为 y=-x2+ 4x- 4，
故答案为：y= 2x- 3或 y=-x2+ 4x- 4．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与 x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数
及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
13.(2022·贵州黔东南 ·中考真题 )在平面直角坐标系中，将抛物线 y= x2+ 2x- 1先绕原点旋转 180°，再
向下平移 5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．
【答案】 1，-3
【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”
的法则进行解答即可．
【详解】解：∵ y= x2+ 2x- 1= x+ 1 2- 2，∴抛物线的顶点为 (-1，-2)，
将抛物线 y= x2+ 2x- 1先绕原点旋转 180°抛物线顶点为 (1，2)，
旋转后的抛物线为 y=- x- 1 2+ 2，再向下平移 5个单位，y=- x- 1 2+ 2- 5即 y=- x- 1 2-
3．
∴新抛物线的顶点 (1，-3) 故答案是：(1，-3)．
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
14.(2022·山东聊城 ·中考真题 )某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为 8元，在销售过程中，每
天的销售量 y(个 )与销售价格 x(元 /个 )的关系如图所示，当 10≤ x≤ 20时，其图象是线段AB，则该
食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元 (利润=总销售额-总
成本 )．
【答案】121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价
商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性
质分析其最值．
【详解】解：当 10≤ x≤ 20时，设 y= kx+ b，，把 (10，20)，(20，10)
代入可得：
10k+ b= 20 + = ，解得
k=-1，
20k b 10 b= 30
∴每天的销售量 y(个 )与销售价格 x(元 /个 )的函数解析式为 y=-x+ 30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
w= x- 8 y= x- 8 -x+ 30 =-x2+ 38x- 240=- x- 19 2+ 121，
∵-1< 0，∴当 x= 19时，w有最大值为 121，故答案为：121．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次
函数的性质是解题关键．
15.(2022·广西贵港 ·中考真题 )已知二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)，图象的一部分如图所示，该函数图
象经过点 (-2,0) 1，对称轴为直线 x=- 2．对于下列结论：① abc< 0；② b
2- 4ac> 0；③ a+ b+ c=
0；④ am2+ bm< 1 14 (a- 2b) (其中m≠- 2 )；⑤若A x1,y1 和B x2,y2 均在该函数图象上，且 x1> x2
> 1，则 y1> y2．其中正确结论的个数共有_______个．
【答案】3
【分析】根据抛物线与 x轴的一个交点 (-2,0)以及其对称轴 x=- 12，
求出抛物线与 x轴的另一个交点 (1,0)，代入可得： b= a =- ，再根据抛c 2a
物线开口朝下，可得 a< 0，进而可得 b< 0，c> 0，再结合二次函数的图
象和性质逐条判断即可．
【详解】∵抛物线的对称轴为：x=- 12，且抛物线与 x轴的一个交点坐标为 (-2,0)，
∴抛物线与 x轴的另一个坐标为 (1,0)，
∴代入 (-2,0)、(1,0)得： 4a- 2b+ c= 0 b= a + + = ，解得： =- ，故③正确；a b c 0 c 2a
∵抛物线开口朝下，∴ a< 0，∴ b< 0，c> 0，∴ abc> 0，故①错误；
∵抛物线与 x轴两个交点，∴当 y= 0时，方程 y= ax2+ bx+ c= 0有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式Δ= b2- 4ac> 0，故②正确；
∵ b= a 1 2 1 1 1 1 ，∴ am
2+ bm= am2=- + am= a m+ 2 - 4 a，4 (a- 2b) = 4 (a- 2a) =- 4 a，c 2a
2
∴ am2+ bm- 1 1 4 (a- 2b) = a m+ 2 ，
1 2∵m≠- 2，a< 0，∴ am
2+ bm- 1 4 (a- 2b)

= a m+ 1 < 0，即 am2+ bm< 12 4 (a- 2b)，故④正
确；
∵抛物线的对称轴为：x=- 12，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数 y= ax2+ bx+ c，在 x>- 12 时，y随 x的增大而减小，
∵ x1> x2> 1>- 12，∴ y1< y2，故⑤错误，故正确的有：②③④，故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的
性质，特别是根据对称轴求出抛物线与 x轴的交点是解答本题的关键．
16.(2022·内蒙古赤峰 ·中考真题 )如图，抛物线 y=-x2- 6x- 5交 x轴于A、B两点，交 y轴于点C，点
D m,m+ 1 是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为_________．
【答案】(0，1)
【分析】先求出A、B、C、D的坐标，根据CD∥ x轴即可求出点D关于直
线AC的对称点坐标．
【详解】∵抛物线 y=-x2- 6x- 5交 x轴于A、B两点，交 y轴于点C，
∴当 y=-x2- 6x- 5= 0时，x1=-1,x2=-5；
当 x= 0时，y=-5∴A(-5,0) ,B(-1,0) ,C(0,-5) ∴OA=OC= 5∴
∠ACO=∠OAC= 45°
∵D m,m+ 1 是抛物线上的点∴m+ 1=-m2- 6m- 5，解得m1=-1,m2=-6
当m=-1时，D -1,0 与A重合；当m=-6时，D -6,-5 ；∴CD∥ x轴，∴∠ACD=∠OAC= 45°
设点D关于直线AC的对称点M，则∠ACD=∠ACM= 45° ,DC=CM
∴M在 y轴上，且△DCM是等腰直角三角形∴DC=CM= 6∴M点坐标
为 (0，1)故答案为：(0，1)．
【点睛】本题考查二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的
关键是根据对称得到△DCM是等腰直角三角形．
17.(2022·四川成都 ·中考真题 )距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高
度 h(米 )与物体运动的时间 t(秒 )之间满足函数关系 h=-5t2+mt+ n，其图像如图所示，物体运动
的最高点离地面 20米，物体从发射到落地的运动时间为 3秒．设 w表示 0秒到 t秒时 h的值的“极
差”(即 0秒到 t秒时 h的最大值与最小值的差 )，则当 0≤ t≤ 1时，w的取值范围是_________；
当 2≤ t≤ 3时，w的取值范围是_________．
【答案】 0≤w≤ 5 5≤w≤ 20
- + + = 4× (-5) ×n-m
2
【分析】根据题意，得 45 3m n 0， × (- ) = 20，确定m，n的值，从而确定函数的解4 5
析式，根据定义计算确定即可．
4× (-5) ×n-m2
【详解】根据题意，得-45+ 3m+n= 0， × (- ) = 20，4 5
∴m2+ 20n- 400= 0，∴m2- 60m+ 500= 0，解得m= 50，m= 10，
当m= 50时，n=-105；当m= 10时，n= 15；
∵抛物线与 y轴交于正半轴，∴n> 0，∴ h=-5t2+ 10t+ 15，
∵对称轴为 t=- 10× (- ) = 1，a=-5< 0，∴ 0≤ t≤ 1时，h随 t的增大而增大，2 5
当 t= 1时，h最大，且 hmax= 20(米 )；当 t= 0时，h最最小，且 hmin= 15(米 )；
∴w= hmax- hmin= 20- 15= 5，∴w的取值范围是 0≤w≤ 5，故答案为：0≤w≤ 5．
当 2≤ t≤ 3时，w的取值范围是
∵对称轴为 t=- 10× (- ) = 1，a=-5< 0，∴ 1< 2≤ t≤ 3时，h随 t的增大而减小，2 5
当 t= 2时，h= 15米，且 hmax= 20(米 )；当 t= 3时，h最最小，且 hmin= 0(米 )；
∴w= hmax- hmin= 20- 15= 5，w= hmax- hmin= 20- 0= 20，
∴w的取值范围是 5≤w≤ 20，故答案为：5≤w≤ 20．
【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练
掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．
18.(2022·山东潍坊 ·中考真题 )某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基
地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示 2017- 2021年①号田和②号田年
产量情况的点 (记 2017年为第 1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量 )，如下图．
小亮认为，可以从 y= kx+ b(k> 0) m，y= x (m> 0) ，y=-0.1x
2+ ax+ c中选择适当的函数模型，
m
模拟①号田和②号田的年产量变化趋势． (1)小莹认为不能选 y= x (m> 0)．你认同吗？请说明理
由；
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求
出函数表达式；(3)根据 (2)中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最
大是多少？
【答案】(1)认同，理由见解析
(2)①号田的函数关系式为 y= 0.5x+ 1(k> 0)；②号田的函数关系式为 y=-0.1x2+ x+ 1；
(3)在 2024年或 2025年总年产量最大，最大是 7.6吨．
【分析】(1)根据年产量变化情况，以及反比例函数的性质即可判断；
(2)利用待定系数法求解即可；
(3)设总年产量为w，依题意得w=-0.1x2+ x+ 1+ 0.5x+ 1，利用二次函数的性质即可求解．
(1)解：认同，理由如下：
观察①号田的年产量变化：每年增加 0.5吨，呈一次函数关系；
观察②号田的年产量变化：经过点 (1，1.9)，(2，2.6)，(3，3.1)，
∵ 1× 1.9= 1.9，2× 2.6= 5.2，1.9≠ 5.2，
∴不是反比例函数关系，小莹认为不能选 y= mx (m> 0)是正确的；
(2)解：由 (1)知①号田符合 y= kx+ b(k> )，由题意得 k+ b= 1.5，解得： k= 0.50 2k+ b= 2 b= ，1
∴①号田的函数关系式为 y= 0.5x+ 1(k> 0)；检验，当 x= 4时，y= 2+ 1= 3，符合题意；
②号田符合 y=-0.1x2+ ax+ c，
由题意得 -0.1+ a+ c= 1.9 - + + = ，解得：
a= 1，
0.4 2a c 2.6 c= 1
∴②号田的函数关系式为 y=-0.1x2+ x+ 1；检验，当 x= 4时，y=-1.6+ 4+ 1= 3.4，符合题意；
(3)解：设总年产量为w，
2 2
依题意得：w=-0.1x2+ x+ 1+ 0.5x+ 1=-0.1x2+ 1.5x+ 2=-0.1 x2- 15x+ 15 - 154 4 + 2=
-0.1(x- 7.5)2+ 7.625，
∵-0.1< 0，∴当 x= 7.5时，函数有最大值，
∴在 2024年或 2025年总年产量最大，最大是 7.6吨．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，待定系数法求函数式，二次函数的性质，反比例函数
的性质，理解题意，利用二次函数的性质是解题的关键．
19.(2022·江苏泰州 ·中考真题 )如图，二次函数 y = x21 +mx+ 1的图像与 y轴相交于点A，与反比例函数
y2= kx (x> 0)的图像相交于点B(3，1).
(1)求这两个函数的表达式；(2)当 y1随 x的增大而增大且 y1< y2时，直接写出 x的取值范围；
(3)平行于 x轴的直线 l与函数 y1的图像相交于点C、D(点C在点D的左边 )，与函数 y2的图像相交
于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.
【答案】(1)y1= x2- 3x+ 1；y = 3 32 x x> 0 (2) 2 ≤ x< 3(3)E
3
2 ,2
【分析】(1)用待定系数法求出解析式即可；(2)由图像直接得出结论即可；
(3)根据A点和B点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出CE=DE，进而确定E点是抛物
线对称轴和反比例函数的交点，求出E点的坐标即可．
(1)解：∵二次函数 y 21= x +mx+ 1的图像与 y轴相交于点A，与反比例函数 y k2= x x> 0 的图像相
交于点B 3,1 ，∴ 32+ 3m+ 1= 1，k3 = 1，解得m=-3，k= 3，
∴二次函数的解析式为 y 21= x - 3x+ 1，反比例函数的解析式为 y 32= x x> 0 ；
(2)解：∵二次函数的解析式为 y1= x2- 3x+ 1，∴对称轴为直线 x= 32，
由图像知，当 y1随 x的增大而增大且 y1< y 32时，2 ≤ x< 3；
(3)解：由题意作图如下：
∵当 x= 0时，y1= 1，∴A 0,1 ，
∵B 3,1 ，∴ΔACE的CE边上的高与ΔBDE的DE边上的高相
等，
∵ΔACE与ΔBDE的面积相等，∴CE=DE，
即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当 x= 32 时，y2= 2， ∴E
3
2 ,2 ．
【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函数的图像及性
质，三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
20.(2022·山东临沂 ·中考真题 )第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金
牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，
再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中
的数学问题进行了深入研究：下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为 x轴，
过起跳点A与 x轴垂直的直线为 y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为
30°，OA= 65m．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB= 100m．在空中飞行
过程中，运动员到 x轴的距离 y m 与水平方向移动的距离 x m 具备二次函数关系，其解析式为 y=
- 160 x
2+ bx+ c．
(1)求 b、c的值；(2)进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离 x m 与飞行时间
t s 具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t= 0，x= 0；空中飞行 5s后着陆．
①求 x关于 t的函数解析式；②当 t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离 h最大，最大值是多少？
【答案】(1)b= 32 ，c= 65(2)① x= 10 3t 0≤ t≤ 5
5
② t= 2 s时，h最大，为
125
4 m
【分析】(1)根据题中所给信息，得出B 50 3,15 ，A 0,65 ，利用待定系数法列出关于 b,c的二元一次
方程组求解即可得出结论；
(2)①根据题意得到当运动员在起跳点腾空时 t= 0，x= 0；空中飞行 5s后着陆，x=BF= 50 3，设出
一次函数表达式，利用待定系数法求出函数关系式即可；②作GH⊥ x轴交抛物线于G，交AB于H，
利用待定系数法确定直线AB的函数表达式，再由 (1)得出抛物线表达式，求出H t,- 33 t+ 65
,G t,- 1 t2+ 3
2
60 2 t+ 65 ，表示出运动员离着陆坡的竖直距离 h=GH=-
1
60 t-
5 + 1252 4 ，根据
抛物线的性质得出当 t= 52 s时，h有最大值为
125
4 m．
(1)解：过B作BE⊥OC于E，BF⊥OA于F，如图所示：
∴BF∥OD，∵着陆坡AC的坡角为 30°，即∠BCE= 30°，
∴∠ABF=∠BCE= 30°，在ΔABF中，∠AFB= 90° ,∠ABF= 30° ,AB= 100m，
则AF= 50m,BF= 50 3m，∵OA= 65m，
∴OF=OA-AF= 65- 50= 15(m)，即B 50 3,15 ，A 0,65 ，
1
将 , ， , 代入 =- 1 2+ + 得 15=- 60 × 50 3 2+ 50 3b+ cB 50 3 15 A 0 65 y 60 x bx c ，解得65= c
b= 3
2 ；c= 65
(2)解：①由 (1)知BF= 50 3m，根据运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离 x m 与飞行时间
t s 具备一次函数关系，设一次函数关系式为 x=mt+n，
∵当运动员在起跳点腾空时 t= 0，x= 0；空中飞行 5s后着陆，x=BF= 50 3，
∴ n= 0 ，解得 m= 10 3 ，5m+n= 50 3 n= 0
∴水平方向移动距离 x m 与飞行时间 t s 的一次函数关系式为 x= 10 3t 0≤ t≤ 5 ；
②作GH⊥ x轴交抛物线于G，交AB于H，如图所示：
设直线AB的表达式为 y= kx+ a，将 15= 50 3k+ aB 50 3,15 ，A 0,65 代入得 65= ，解得a
k=- 3 3 ，即直线AB的表达式为 y=-
3
3 x+ 65，由 (1)知抛物线表达式为 y=-
1
60 x
2+ 32 x+a= 65
65，
∴H t,- 33 t+ 65 ,G t,-
1 t2+ 360 2 t+ 65 ，∴运动员离着陆坡的竖直距离 h=GH=
1 2 - 60 t2+
3 3 1 2 5 3 1
2 t+ 65 - - 3 t+ 65 =- 60 t + 6 t=- 60 t-
5 + 1252 4 ，
由- 160 < 0可知抛物线开口向下，当 t=
5
2 s时，h有最大值为
125
4 m．
【点睛】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数
的图像与性质、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．
21.(2022·四川自贡 ·中考真题 )已知二次函数 y= ax2+ bx+ c a≠ 0 ．
(1)若 a=-1，且函数图象经过 0,3 ， 2,-5 两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与 x轴交
点及顶点的坐标；(2)在图①中画出 (1)中函数的大致图象，并根据图象写出函数值 y≥ 3时自变量 x
的取值范围；
(3)若 a+ b+ c= 0且 a> b> c，一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0 两根之差等于 a- c，函数图象经过
P 12 - c,y1 ，Q 1+ 3c,y2 两点，试比较 y1,y2的大小 ．
【答案】(1) 1,0 ， -3,0 ； -1,4 ；(2)见详解；-2≤ x≤ 0；(3)y2> y1．
【分析】(1)利用待定系数法可求出抛物线的解析式，可得所求点的坐标；
(2)由题意画出图象，结合图象写出 x的取值范围；(3)根据题意分别求出 a= 1，b=-1- c，将点P点
Q的坐标代入分别求出 y1,y2，利用作差法比较大小即可．
(1)解：∵ a=-1，且函数图象经过 0,3 ， 2,-5 两点，
a=-1 a=-1
∴ c= 3 c= 3 ，∴二次函数的解析式为 y=-x2- 2x+ 3，-5= 4a+ 2b+ c b=-2
∵当 y= 0时，则 0=-x2- 2x+ 3，解得 x1= 1，x2=-3，∴抛物线与 x轴交点的坐标为 1,0 ，
-3,0 ，
∵ y=-x2- 2x+ 3=- x+ 1 2+ 4，∴抛物线的顶点的坐标为 -1,4 ．
(2)解：函数的大致图象，如图①所示：
当 y= 3时，则 3=-x2- 2x+ 3，解得 x1= 0，x2=-2，由图象可知：当
-2≤ x≤ 0时，函数值 y≥ 3．
(3)解：∵ a+ b+ c= 0且 a> b> c，
∴ a> 0，c< 0，b=-a- c，且一元二次方程 0= ax2+ bx+ c必有一根
为 x1= 1，
∵一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0 两根之差等于 a- c，且 x1x c2= a < 0
∴方程的另一个根为 x2= 1+ c- a，∴抛物线的对称轴为直线：x= 1+
c- a
2 ，
∴- b c- a2a = 1+ 2 ，∴-b= 2a+ ac- a
2，∴ a+ c= 2a+ ac- a2，∴ a- 1 a- c = 0，
∵ a> c，∴ a= 1，b=-1- c，∴ y= x2- 1+ c x+ c
∵P 12 - c,y1 ，Q 1+ 3c,y2 ，
2
∴ y1= 12 - c - 1+ c
1
2 - c + c= 2c
2+ 1 c- 12 4，
y = 1+ 3c 22 - 1+ c 1+ 3c + c= 6c2+ 3c，
2
∴ y - y = 6c2 12 1 + 3c - 2c2+ 2 c-
1
4 = 4 c+
5
16 -
9
64，
2
∵ b> c,∴-1- c> c,∴ c<- 12 ,∴ 4 c+
5
16 -
9
64 > 0，∴ y2> y1．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合的思想，求出
b与 c的关系是解题的关键．
22.(2022·安徽 ·中考真题 )如图 1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边
BC为 12米，另一边AB为 2米．以BC所在的直线为 x轴，线段BC的垂直平分线为 y轴，建立平面
直角坐标系 xOy，规定一个单位长度代表 1米．E(0，8)是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内 (含边界 )修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图 2、图 3中粗线段所示，点P1，P4在 x
轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长 l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之
和．请解决以下问题：(ⅰ )修建一个“ ”型栅栏，如图 2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的
横坐标为m 0为 18的栅栏，有如图 3所示的修建“ ”型或“ ”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求
出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围 (P1在P4右侧 )．
【答案】(1)y=- 16 x
2+ 8(2) (ⅰ )l=- 1 22m + 2m+ 24，l的最大值为 26；(ⅱ )方案一：- 30+ 9≤P1
横坐标≤ 30；方案二：- 21+ 92 ≤P1横坐标≤ 21
【分析】(1)通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
(2) (ⅰ )结合矩形性质分析得出P2的坐标为 m，- 1 26m + 8 ，然后列出函数关系式，利用二次函数的
性质分析最值；(ⅱ )设P2P1=n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析
最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
(1)由题意可得：A(-6，2)，D(6，2)，又∵E(0，8)是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为 y= ax2+ 8，将A(-6，2)代入，(-6)2a+ 8= 2，解得：a=- 16，
∴抛物线对应的函数表达式为 y=- 16 x
2+ 8；
(2) (ⅰ ) ∵点P1的横坐标为m(0∴P2的坐标为 m，- 1 m26 + 8 ，
∴P1P2=P3P4=MN=- 1 m26 + 8，P2P3= 2m，
∴ l= 3 - 1 m26 + 8 + 2m=-
1
2m
2+ 2m+ 24=- 12 (m- 2)
2+ 26，
∵- 12 < 0，∴当m= 2时，l有最大值为 26，
即栅栏总长 l与m之间的函数表达式为 l=- 12m
2+ 2m+ 24，l的最大值为 26；
(ⅱ )方案一：设P2P1=n，则P2P3= 18- 3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为 (18- 3n)n=-3n2+ 18n=-3(n- 3)2+ 27，
∵-3< 0，∴当n= 3时，矩形面积有最大值为 27，
此时P2P1= 3，P2P3= 9，令- 16 x
2+ 8= 3，解得：x=± 30，
∴此时P1的横坐标的取值范围为- 30+ 9≤P1横坐标≤ 30，
方案二：设P2P1=n，则P2P3= 9-n，
2
∴矩形P1P2P3P4面积为 (9-n)n=-n2+ 9n=- n- 92 +
81
4 ，
∵-1< 0，∴当n= 9 812 时，矩形面积有最大值为 4 ，
此时P2P1= 92，P2P3=
9
2，令-
1
6 x
2+ 8= 92，解得：x=± 21，
∴此时P1的横坐标的取值范围为- 21+ 92 ≤P1横坐标≤ 21．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用
数形结合思想解题是关键．
23.(2022·山东滨州 ·中考真题 )某种商品每件的进价为 10元，若每件按 20元的价格销售，则每月能卖出
360件；若每件按 30元的价格销售，则每月能卖出 60件．假定每月的销售件数 y是销售价格 x(单位：
元 )的一次函数． (1)求 y关于 x的一次函数解析式；
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
【答案】(1)y=-30x+ 960 10≤ x≤ 32 (2)价格为 21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为
3630元
【分析】(1)设 y= kx+ b k≠ 0 ，把 x= 20，y= 360和 x= 30，y= 60代入求出 k、b的值，从而得出答
案；(2)根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质
求解可得答案．
(1)解：设 y= kx+ b k≠ 0 ，把 x= 20，y= 360和 x= 30，y= 60代入可得
20k+ b= 360 k=-30
+ = ，解得 = ，则 y=-30x+ 960 10≤ x≤ 32 ；30k b 60 b 960
(2)解：每月获得利润P= -30x+ 960 x- 10 = 30 -x+ 32 x- 10
= 30 -x2+ 42x- 320 =-30 x- 21 2+ 3630．
∵-30< 0，∴当 x= 21时，P有最大值，最大值为 3630．
答：当价格为 21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为 3630元．
【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中
蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值．

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