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2023年中考数学专题复习：圆的综合题（基础篇）
一、综合题
1．（本题满分13分）
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD．
（1）
求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，AD=4 ，求CE的长．
2．如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝8，BC＝6．
（1）求⊙O的面积；
（2）若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，求CD的长．
3．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
4．某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比 ．如图，圆内接正五边形 ，圆心为O， 与 交于点H， 、 与 分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）
（1）求证： 是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出 的形状；
（2）求证： ，且其比值 ；
（3）由对称性知 ，由（1）（2）可知 也是一个黄金分割数，据此求 的值．
5．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．
（1）求证：AE=BE；
（2）求证：FE是⊙O的切线；
（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．
6．如图，直线l经过点A（4，0），B（0，3）．
（1）求直线l的函数表达式.
（2）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．
7．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=BC．延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=13，BC﹣AC=7，求CE的长．
8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣x﹣ 与坐标轴分别交于A，B两点，过A，O，B三点作⊙O1，点C是劣弧OB上任意一点，连接BC，AC，OC．
（1）求∠ACO的度数；
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）试探究线段AC，BC，OC之间的数量关系，并说明你的理由．
10．如图，在中，，，对角线，点E在射线的延长线上，连接，在上取点O，以点O为圆心，长为半径作与射线切于点B，交于点F，交于点M．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）连接，，直接写出四边形的形状和面积．
11．如图，AB为 的直径，CD是弦，且 于点E，连接AC、OC、BC.
（1）求证： .
（2）若 ， ，求 的直径.
12．如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB 于点E．
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=4 ，OE=1，求⊙O的半径．
13．如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连结DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△CDA．
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．
14．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是上一点，OA与BC交于点E，已知AO = 8，BC = 12.
（1）求线段OD的长.
（2）当EO = BE时，求ED，EO的长.
15．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．
（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
16．在扇形 中，半径 ，点P在OA上，连结PB，将 沿PB折叠得到 .
（1）如图1，若 ，且 与 所在的圆相切于点B.
①求 的度数.
②求AP的长.
（2）如图2， 与 相交于点D，若点D为 的中点，且 ，求 的长.
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC．
∴∠ODA=∠DAC．
∴OD∥AE．
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵OB是直径，∴∠ADB=90°．
∴∠ADB=∠E．又∵∠BAD=∠DAC，
∴△ABD∽△ADE．∴．
∴AB=10．由勾股定理可知 ．
连接DC，∴ ．
∵A，C，D，B四点共圆
．∴∠DCE=∠B．∴△DCE∽△ABD．
∴．
∴CE=2．
2．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴⊙O的面积＝π×52＝25π．
（2）解：有两种情况：
①如图所示，当点D位于上半圆中点D1时，可知△ABD1是等腰直角三角形，且OD1⊥AB,
作CE⊥AB垂足为E，CF⊥OD1垂足为F，可得矩形CEOF，
∵CE＝ ，
∴OF=CE= ，
∴ ，
∵ = ,
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图所示，当点D位于下半圆中点D2时，
同理可求 .
∴CD1＝ ，CD2＝7
3．【答案】（1）证明：连接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，
∴∠DOP=180°﹣120°=60°，
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°，
∴OD⊥DP，
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线
（2）解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3cm，
∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3 cm，
∴图中阴影部分的面积S=S△ODP﹣S扇形DOB= ×3×3 ﹣ =（ ﹣ π）cm2
4．【答案】（1）连接圆心O与正五边形各顶点，
在正五边形中，
∠AOE=360°÷5=72°，
∴∠ABE= ∠AOE=36°，同理∠BAC= ×72°=36°，
∴AM=BM，
∴△ABM是是等腰三角形且底角等于36°，
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=72°+72°=144°，
∴∠BAD= ∠BOD=72°，
∴∠BNA=180°-∠BAD-∠ABE=72°，
∴AB=NB，即△ABN为等腰三角形；
（2）∵∠ABM=∠ABE，∠AEB= ∠AOB=36°=∠BAM，
∴△BAM∽△BEA，
∴ ，而AB=BN，
∴ ，设BM=y，AB=x，则AM=AN=y，AB=AE=BN=x，
∵∠AMN=∠MAB+∠MBA=72°=∠BAN，∠ANM=∠ANB，
∴△AMN∽△BAN，
∴ ，即 ，则 ，
两边同时除以x2，得： ，设 =t，
则 ，解得：t= 或 （舍），
∴ ；
（3）∵∠MAN=36°，根据对称性可知：∠MAH=∠NAH= ∠MAN=18°，
而AO⊥BE，
∴sin 18°=sin∠MAH=
=
= .
5．【答案】（1）证明：连接CE，如图1所示：∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；
又∵AC=BC，∴AE=BE
（2）证明：连接OE，如图2所示：∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．
又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，
∴FE是⊙O的切线
（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC FB．
设FC=2，则有2FB=16，
∴FB=8，
∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，
∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．∵OE∥AC，
∴△FCG∽△FOE，
∴ ，即 ，
6．【答案】（1）解：∵直线l经过点A（4，0），B（0，3），
∴设直线l的解析式为：y=kx+b，
∴
∴．
∴直线l的解析式为：y=﹣x+3；
（2）解：设M坐标为（0，m）（m＞0），即OM=m，
若M在B点下边时，BM=3﹣m，
∵∠MBN′=∠ABO，∠MN′B=∠BOA=90°，
∴△MBN′∽△ABO，
∴=，即 =，
解得：m=，此时M（0，）；
若M在B点上边时，BM=m﹣3，
同理△BMN∽△BAO，则有 =，即 =，
解得：m=．此时M（0，）．
7．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D
（2）解：设BC=x，则AC=x﹣7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即（x﹣7）2+x2=132，
解得：x1=12，x2=﹣5（舍去），
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∵CD=CB，
∴CE=CB=12
8．【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵BD是⊙O的切线，∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，∵E是BD中点，∴CE= BD=BE，∴∠BCE=∠CBE=∠A，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，∴∠ACO=∠BCE，∴∠BCE+∠BCO=90°，即∠OCE=90°，CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACB=90°，∴AB= = =2 ，∵tanA= = = ，
∴BD= AB= ，
∴CE= BD=
9．【答案】（1）解：在直线l：y=﹣x﹣ 中，
令x=0，则y=﹣ ，
∴B（0，﹣ ），
∴OB= ，
令y=0，则﹣x﹣ =0，
∴x=﹣ ，
∴A（﹣ ，0），
∴OA= =OB，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°，
∴∠ACO=∠ABO=45°
（2）解：如图1，连接OO1，在Rt△AOB中，OA=OB= ，
根据勾股定理得，AB=2，
∵∠AOB=90°，
∴O1O=O1B= AB=1，
∠AO1O=90°，
∴S阴影= =
（3）解：AC﹣BC= OC，理由：如图2，
在AC上截取AD=BC，在△AOD和△BOC中，
OA=OB，∠OAC=∠OBC，AD =BC，
∴△AOD≌△BOC，
∴OD=OC，∠AOD=∠BOC，
∴∠COD=∠BOC+∠BOD=∠AOD+∠BOD=∠AOB=90°，
∴CD= OC，
∴AC﹣BC= OC
10．【答案】（1）证明：连接．
∵四边形是平行四边形，，
∴．
∴与射线切于点B，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴是的外角，
∴．
∴
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
由勾股定理，得．
在中，，，
∴．
（3）解：菱形，面积是
11．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：设 的半径为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
即， ，
解得， ，
所以直径为 .
12．【答案】（1）证明：证明：∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B，
∵ = ，
∴∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE= CD=2 ，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，
∴r2=（2 ）2+（r﹣2）2，
解得：r=3，
∴⊙O的半径为3．
13．【答案】（1）证明：∵O是△ABC的内心，∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，
由AD∥CO，AD=CO，∴∠4=∠5=∠6，
∴△BOC≌△CDA（AAS）
（2）解：由（1）得，BC=AC，∠3=∠4=∠6，∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC∴△ABC是等边三角形
∴O是△ABC的内心也是外心
∴OA=OB=OC设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC.在Rt△OCE中，CE= AC= AB=1，∠OCE=30°，∴OA=OB=OC=
∵∠AOC=120°，
∴= = .
14．【答案】（1）解：如图，连接OC，
∵D为BC的中点，
∴CD=BC=6，OD⊥BC，
在Rt△CDO中，
∴OD=；
（2）解：在Rt△EOD中，OD2+ED2=EO2，
设BE=x, OE=x,
∴ED=6-x,
∴（2）2+（6-x）2=(x)2,
解得x1=-16(舍)，x2=4,
∴OE=4,ED=6-4.
15．【答案】（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°，在△ABG与△BCH中
AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°， BG＝CH ，
∴△ABG≌△BCH；
（2）解：由第一题知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG=∠HBC，
∴∠BPG=∠ABG=120°，
∴∠APH=∠BPG=120°．
16．【答案】（1）解：①如图1，
为圆的切线 .
由题意可得， ， .
，
②如图1，连结 ，交BP于点Q.则有 .
在 中， .
在 中， ，
（2）解：如图2.连结OD.设 .
∵点D为 的中点.
.
由题意可得， .
又
， ，解得 .

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