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刚体动力学
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设刚体绕固定轴Oz以角速度 转动,各体元的质量分别为 m1 , m2 , … , mn ,各体元到转轴Oz的距离依次是r1 , r2 , … , rn。
n 个体元绕Oz轴作圆周运动的动能的总和为
一、刚体的转动动能 (Rotational kinetic energy )
刚体动力学
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式中 称为刚体对转轴的转动惯量 (rotational inertia) ，
代入动能公式中, 得到刚体转动动能的一般表达式
刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似的。
用J 表示为
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二、刚体的转动惯量 (Moment of inertia )
从转动动能公式看到 , 刚体的转动惯量J与质点质量 m 相对应。在质点运动中, 质点的质量是质点惯性的量度。在刚体转动中, 刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。
转动惯量J等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴的距离的平方的乘积的和，而与质点的运动速度无关，决定于刚体的各部分的质量对给定转轴的分布情况。
与转动惯量有关的因素：
刚体的质量、刚体的形状(质量分布)、转轴的位置。
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转动惯量的求法：
只有形状比较简单而密度又有规则地分布的物体才能用数学方法求出它的转动惯量。对形状复杂而密度又不均匀的物体，求转动惯量的最好办法是用实验方法测定。
若刚体的质量连续分布 , 转动惯量中的求和号
用积分号代替
SI制中，J的单位为kg·m2
线密度、面密度、体密度
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几种常见形状的刚体的转动惯量
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解 物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。
列方程
FT1 =m1 a （1）
m2 g FT2 = m2 a （2）
对于滑轮
（3）
辅助方程
r = a
（4）
解以上四个联立方程式， 可得
）
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此题还可以用能量的方法求解。在物体m2下落
了高度h时, 可以列出下面的能量关系
（5）
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式中v是当m2下落了高度 h 时两个物体的运动速率,
是此时滑轮的角速度。
因为 , , 所以得
由此解得
（6）
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将 v 2= 2ah 代入 (6) 式, 可以求得两个物体的加速度
根据 , 立即可以求得张力
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根据 或
可以立即算出张力
以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法, 都
应该理解和掌握。

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