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1.2.3 矩形的性质与判定
第一章 特殊的平行四边形
1.掌握矩形的性质及判定方法
2.会运用矩形的性质及判定方法进行计算和证明（重点）
3.矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用（难点）
学习目标
新课导入
11 March 2023
1、定义：
有一个角是　　的　　　　　叫做矩形。
2、性质和判定：
　　性　　质 　　判　定
　边
　角
对角线
同平行四边形
平行四边形
直角
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
3、对角线相等的平行四边形.
2、有三个角是直角的四边形.
1、有一个角是直角的平行四边形.
A
B
C
D
∟
∟
∟
∟
O
讲授新课
典例精讲
归纳总结
讲授新课
例题
A
B
C
D
O
E
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,
CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
矩形的性质与判定综合运用
讲授新课
例题
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
讲授新课
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，
∴AE= AD=3.
【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.
讲授新课
例题
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
讲授新课
C
A
B
D
E
F
G
H
【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：四边形EFGH是菱形.
又∵AC=BD,
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
归纳
理由如下：连接AC、BD
讲授新课
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：连接AC、BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴四边形EFGH是平行四边形.
拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
四边形EFGH是矩形.
同学们自己去解答吧
讲授新课
例题
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断
四边形ABDE的形状，并证明；
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.
讲授新课
（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
分析：由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形；
讲授新课
解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
由（1）知，四边形ADCE为矩形，
则AE=CD，AC=DE．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，
并证明；
分析：利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形；
讲授新课
解：DF∥AB，DF= AB．理由如下：
∵四边形ADCE为矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DF= AB
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.
分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF= AB.
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
讲授新课
例题
如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
讲授新课
解：(1)BD＝CD.理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF＝DC.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC；
分析：根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝CD；
讲授新课
(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
【方法总结】本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
分析：先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC.
讲授新课
例题
如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.
(1)求证：CM＝CN；
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比
为3∶1，求 的值．
讲授新课
(1)求证：CM＝CN；
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM＝∠CMN，
由折叠知∠CNM＝∠ANM，
∴∠CNM＝∠CMN，
∴CN＝CM　
讲授新课
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求 的值．
解：∵AD∥BC，S△CMN∶S△CDN＝3∶1，∴CM∶DN＝3∶1，
设DN＝x，则CM＝3x，
过点N作NK⊥BC于点K，
∵DC⊥BC，∴NK∥DC，
又∵AD∥BC，∴CK＝DN＝x，MK＝2x，
由(1)知CN＝CM＝3x，
∴NK2＝CN2－CK2＝(3x)2－x2＝8x2，
　
当堂练习
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是(　 　)
A．S1>S2　　　　　　　B．S1＝S2
C．S1B
当堂练习
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于(　　)
A．8 cm　　B．10 cm　　C．16 cm　　D．24 cm
B
当堂练习
3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝____度．
75
当堂练习
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标为 ．
当堂练习
5.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，
求证：四边形ADCN是矩形．　
证明：(1)证△AMD≌△CMN得AD＝CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD＝AN.　
当堂练习
(2)若∠AMD＝2∠MCD，
求证：四边形ADCN是矩形．　
证明：
∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，
∴MD＝MC，
由(1)知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD＝MN＝MA＝MC，
∴AC＝DN，∴ ADCN是矩形.　
当堂练习
6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
课堂小结
与全等三角形的结合
矩形的性质与判定的综合
与平面直角坐标系的结合
折叠问题
谢谢大家！

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