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6.4 多边形的内角和与外角和
第六章 平行四边形
1
情景导入
三角形的内角和是多少？
在平面内，由若干不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做多边形.
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顶点
对角线
边
内角
外角
2
课堂活动
多边形的内角和
知识点一
某小区健身广场中心的边缘是一个五边形（如图），你能求出它的五个内角的和吗？
五边形的内角和为180°×3=540°
小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗？
五边形的内角和等于5个三角形内角和之和减去一个周角：
180°×5－360° = 540°
……
多边形边数 从一个顶点引出的对角线条数 分割成的三角形个数 多边形内角和
三角形（n=3）
四边形（n=4）
五边形（n=5）
六边形（n=6）
……
n边形
0
1
180°
1
2
360°
2
3
540°
3
4
720°
n－3
n－2
（n－2）·180°
多边形内角和定理：
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3)条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n － 2).
典例赏析
例1 如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.
∠B与∠D有怎样的关系？
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D
=（4－2）×180°=360°，
∴ ∠B+∠D
=360°－（ ∠A+∠C ）
=360°－180°=180°.
如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.
典例赏析
例2 一个多边形的内角和为1440°，则它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则
180°·(n-2)=1440°
∴ n=10
∴ 这个多边形是10边形
想 一 想
正多边形的内角和
知识点二
正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？
剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？与同伴交流.
议 一 议
正n边形的每个内角度数为：
如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.
(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时， 跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角.
(2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多、少？
小刚是这样思考的：如图，
跑步方向改变的角分别是∠l，∠2，∠3，∠4，∠5.
∵∠1＋∠EAB＝180°，
∠2＋∠ABC＝180°，
∠3＋∠BCD＝180°，
∠4＋∠CDE＝180°，
∠5＋∠DEA＝180°，
想一 想
如果广场的形状是四边形、三角形，那么结果会怎样
1 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.
2 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
多边形的外角和等于360°
随堂训练
1 五边形的外角和等于(　　)
A．180° B．360°
C．540° D．720°
2 已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是(　　)
A．正五边形 B．正六边形
C．正七边形 D．正八边形
3 已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
典例赏析
例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是
（n－2）·180°，外角和等于360°，
所以（n－2）·180 °=3×360 °
解得：n=8
答：这个多边形是八边形．
典例赏析
例2 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10 m后向左转30°，再沿直线前进10 m，又向左转30°……照这样走下去，小亮第一次回到出发地A点时，他一共走了________．
解析： 由题意知，当小亮第一次回到出发地A点时，所走过的路线构成一个边长为10 m，每个外角都是30°的正多边形．由多边形的外角和定理知这个多边形的边数是360°÷30°＝12，所以小亮一共走了120 m.
120 m
4 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
5 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？
谢谢大家！

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