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波函数和一维定态薛定谔方程
波函数和一维定态薛定谔方程
一.波函数
1.自由粒子的波函数
自由粒子不受外力的作用,能量E、动量p都为常量,物质波的υ、λ都是不变的平面波:
机械波:
物质波:
复数形式:
2.波函数的物理意义
1).电子的单缝衍射实验
与光的单缝衍射的光强分布相似;每个光子的能量相同,光强的分布即光子数的分布;光强加强的地方光子的数目多,光子出现的几率就大;光强正比于振幅的平方,振幅的平方即反映光子出现几率的大小;同样电子出现几率的大小,由其波函数模的平方表示.
|Ψ| 2代表粒子出现的几率
k
加速电场
单缝
105个
2×104个
10个
E
从阴极K发射106个电子,经电场加速通过单缝到达屏幕E处用计数器收集的电子数其分布如图;
某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率:
概率密度
波函数模的平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率,即| Ψ | 2 代表概率密度.
2).波函数的统计解释
3.波函数满足的条件
标准条件:波函数应该是单值、连续、有限函数.
归一化条件：在任何时刻，某粒子必然出现在整个空间内,所以总的概率为1，即
如速度v=5.0 102m/s飞行的子弹，质量为m=10-2Kg，对应的德布罗意波长为：
如电子m=9.1 10-31Kg，速度v=5.0 107m/s, 对应的德布罗意波长为：
太小测不到！
X射线波段
宏观物体的λ很小,很难显示其波动性;但微观粒子的波动性不可忽略,此时物质间的相互关系及规律要用量子力学理论加以解释.
例. 计算下列运动物质的德布罗意波长。
(1) 质量100g, v = 10m·s 1运动的小球.
(2) 以 2.0 103m·s 1速度运动的质子.
(3) 动能为 1.6 10 7 J 的电子.
五. 坐标、动量的不确定关系
在经典力学中，质点在任何时刻都有完全确定的位置、动量、能量、角动量等。
微观粒子具有明显的波动性，以致某些成对出现的物理量不可能同时具有确定的量值。
上式即为海森伯坐标和动量的不确定关系。
P 102 111 116 152
电子通过单缝,其位置、动量的不确定范围分别为:
O
C
D
x
y
x
A
衍射图样
px
py
p
缝
屏幕
电子
由德布罗意关系：
量子力学严格证明给出：
注意:
1.与仪器的精度无关;
2.微观粒子性质决定的,满足概率分布,不能完全确定;
3. h→0时,具有确定关系,宏观微观的界限.
P339
例题：15.8
例题：15.9
例1.一颗质量为10g的子弹,具有200m/s的速度,枪口直径0.5cm,则该子弹射出时横向速度的不确定范围？
解:子弹位置的不确定量为：
子弹在该方向的速度的不确定范围为
与每秒几百米相比,这个不确定范围是微不足道的.
例2.假设质量为10g的子弹和一电子都具有200m/s的速率，且动量的不确定量为0.01%，问它们的位置有多大的不确定范围？
解：电子的动量为:
电子的动量的不确定量为:
电子位置的不确定范围为:
电子位置的不确定范围比电子本身的大小要大几亿倍以上,不能忽略.
子弹的动量的不确定量为:
子弹位置的不确定范围为:
例3.电子显像管中电子加速电压10kv,枪口直径0.01cm,电子射出后横向速度不确定量 原子线度10-10m,原子中电子速度不确定量
解: 显像管中的电子经10kv电压加速
可以忽略
原子中的电子:
电子横向速度的不确定量可忽略
玻尔理论电子轨道运动速度v ≈106m/s,原子中谈电子的运动速度、位置已无意义,也无确定的轨道,波动性显著的电子只能以各处出现的几率来描述其所处的状态.

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