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双曲线线段类定值,最值及证明
1．法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线-=1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：-=1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
【答案】(1)-=1
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线性质与蒙日圆的定义即可求解；（2）设出直线与双曲线联立消，求出韦达定理的表达式，根据DG⊥EF求出的关系式，代入直线即可求出定点H.
【详解】（1）由题意知a=3，因为双曲线C的蒙日圆方程为x2+y2=1，
所以a2-b2=1，所以b=2，
故双曲线C的标准方程为-=1，
（2）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，
联立方程组化简得（8-9k2）x2-18kmx-（9m2+72）=0，
则Δ=（18km）2+4（9m2+72）（8-9k2）>0，即m2-9k2+8>0，
且
因为·=（x1+3）（x2+3）+y1y2=0，
所以（k2+1）·x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9
=（k2+1）·+（km+3）·+m2+9=0，
化简得m2-54km+153k2=（m-3k）（m-51k）=0，
所以m=3k或m=51k，且均满足m2-9k2+8>0
当m=3k时，直线l的方程为y=k（x+3），直线过定点（-3，0），与已知矛盾，
当m=51k时，直线l的方程为y=k（x+51），过定点M（-51，0）
当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：y=x+3，
联立方程组得x=-3（舍去）或x=-51，此时直线l过定点M（-51，0）．
因为DG⊥EF，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径．
故存在定点H（-27，0），使|GH|为定值24.
【点睛】（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去或建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
2．如图，已知双曲线，的左、右顶点恰是椭圆的左、右焦点、，的渐近线方程为，的离心率为，分别过椭圆的左右焦点、的弦、所在直线交于双曲线上的一点．
(1)求、的标准方程；
(2)求证：为定值；
(3)求证：为定值．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程可求得的值，设椭圆的标准方程为，根据椭圆的离心率可求得的值，由此可得出曲线、的标准方程；
（2）设点，则，结合斜率公式可求得为定值；
（3）设直线和的斜率分别为、，则，设、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，可得出的表达式，同理可得出的表达式，计算可得出为定值.
【详解】（1）解：由题设知，双曲线的渐近线方程为，即，解得．
易知点、。
双曲线的左、右顶点恰是椭圆的左、右焦点，
设椭圆的标准方程为，
则椭圆的离心率为，解得．
因此，双曲线的标准方程为，椭圆的标准方程为.
（2）证明：点在上，设点，则，
为定值．
（3）证明：设直线和的斜率分别为、，则，
设、，
则直线的方程为，
联立可得，
，
且，，
，
同理，
为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
3．双曲线的一条渐近线方程为，且经过点．
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，过双曲线上一动点（在第一象限）分别作的两条渐近线的平行线为，且，与轴分别交于P，Q，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程以及已知点，联立方程，可得答案；
（2）由题意，设出动点，利用点斜式方程，结合直线位置关系，写出直线的直线方程，求出的坐标，整理的表达式，利用整体思想，可得答案.
【详解】（1）∵渐近线为，则，，∴，
在双曲线上，得解得，
∴曲线的标准方程为.
（2）设点坐标为
则，得，则，
同理：
，得，则，
则
又∵点在曲线上，∴，∴
则，∴得证为定值3．
4．双曲线的左、右焦点分别为，，，焦点到其渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，，且与同向，试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值．
【分析】（1）根据双曲线的几何性质求出可得双曲线的方程；
（2）设，，根据弦长公式求出和后可得为定值.
【详解】（1）因为，所以，
因为焦点到渐近线的距离，
所以．
所以双曲线的方程．
（2）由（1）知，依题意直线与轴不重合，故可设，，
由消去整理得：，
设，，则，，
由交左右两支于、两点，有，
即，即，即，则，
，
由于，可设，由，消去整理得：，
设，，则，，
所以，
所以为定值．
5．已知双曲线的左右焦点分别为，，M在C的右支上，的最大值为3，且当时，的面积为.
(1)求C的方程；
(2)若A，B是C上位于x轴上方上的两点，且，与交于点P，求证：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】(1)根据双曲线的定义和性质知当时取得最大值，得，在中由余弦定理计算可得，进而求出a即可；
(2)设，根据双曲线的定义和余弦定理可得、，则.根据相似三角形的性质化简可得、，进而，即可求解.
【详解】（1）设，
由双曲线的定义得，得()，
，当时，取得最大值，
所以，得.
当时，，解得.
在中，由余弦定理得，
即，由得，
有，得，又，所以，
故双曲线的方程为；
（2）设，由双曲线的定义，
知，，得，
在中，由余弦定理得，
整理，得，同理可得，
所以，
因为，所以，得，
即，得，
所以，即
同理，即，
所以，
由(1)知，，所以，即.
故为定值.
【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
6．已知为坐标原点，双曲线的焦距等于，由点，构成的四边形的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线相切于点，与圆相切于点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意列出方程组求得，可得结果；
（2）若直线斜率不存在，直接求解；若直线斜率存在，设，由直线与圆相切得，由直线与双曲线相切得，，可求得的范围以及，，与的关系，然后根据的表达式，结合基本不等式求出最小值.
【详解】（1）由题知：，所以，解得
所以，双曲线的方程为.
（2）若直线斜率不存在，，所以；
若直线斜率存在，设
直线与圆相切，所以
因为直线与双曲线相切，，得，
所以，，
对于：因为，且，
所以，且
所以，
所以
当且仅当时取等号，
所以最小值为.
7．已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程：
(3)已知定点，点D是双曲线C右支上的动点，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据双曲线的定义及焦点坐标可得双曲线方程；
（2）利用点差法求直线方程；
（3）根据双曲线的定义可得，进而即得.
【详解】（1）由题可设双曲线方程为，
由双曲线的焦点为，，得，
又双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2，则，
所以，
所以双曲线方程为；
（2）设，，则，
作差可得，
即，
又为的中点，即，，
代入得，
即直线的斜率，
直线的方程为，即，
此时由可得，
，故所求直线为.
（3）由题可知，即，
所以，当且仅当在线段上时等号成立，
又，，，
所以的最小值为.
8．已知双曲线过点，且焦距为10．
(1)求C的方程；
(2)已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意列方程组求出，即可得出C的方程；
（2）根据四点共线，要证即证，设出直线，，，联立直线方程与椭圆方程得出，将其代入，计算结果为零，即证出．
【详解】（1）由题意可得，故，所以C的方程为．
（2）设，，
当时，即，解得，则，
双曲线的渐近线方程为，
故当直线与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，
此时直线方程为，
令，则，故．
则直线．
由得，
所以，．
．
所以，所以
即．
【点睛】关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设，从而得到直线方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明即可.
9．给定曲线：.
(1)若曲线是焦点为，的双曲线，求实数m的值；
(2)当m＝4时，记M是椭圆上的动点，过椭圆长轴的端点A作（O为坐标原点），交椭圆于Q，交y轴于P，求的值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据双曲线的焦点坐标求出c，然后建立m的方程求解；
（2）联立方程，韦达定理，然后把长度比值用斜率表示化简即可.
【详解】（1）将化简得，
又c＝2，所以，解得，m=4（舍）.
（2）当m=4时，椭圆：，此时.
设直线OM方程为y=kx，由得，即，
∴.
因，则AQ的方程为.
于是，.
由得，
从而.
因此.
10．双曲线C：的离心率为，圆O：与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被双曲线C截得的弦长为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；
(3)若将（2）中的双曲线改为椭圆，其他条件不变，试探讨的值.
【答案】(1)；
(2)是，定值为2；
(3)是，定值为2.
【分析】（1）由离心率为，可得，由圆在点处的切线被双曲线截得的弦长确定过的点，即可求解作答.
（2）切线斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理、直角三角形射影定理可得为定值，验证切线斜率不存在的情况作答.
（3）切线斜率存在时，设出其方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理、直角三角形射影定理可得为定值，验证切线斜率不存在的情况作答.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为，依题意，，即有，
圆交x轴于点，则圆O在点A处的切线被双曲线截得的弦长为，
由双曲线的对称性知被截弦的端点在双曲线上，
因此，而，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）当圆在点处切线斜率不存在时，点或，切线方程为或，
由（1）及已知，得，则有，
当圆在点处切线斜率存在时，设切线方程为，
则有，即，由消去y得：
，显然，
，而，
则
，
因此，在中，于点P，则，
综上得为定值2.
（3）当圆在点处切线斜率不存在时，点或，切线方程为或，
把代入椭圆方程，得，即，则有，
当圆在点处切线斜率存在时，设切线方程为，
则有，即，由消去y得：
，显然，
，而，
则
，
因此，在中，于点P，则，
综上得为定值2.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
11．已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线交于M，N两点，当轴时，．
(1)求双曲线C的离心率e；
(2)当l倾斜角为时，线段MN垂直平分线交x轴于P，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得：，也即，进而求出双曲线的离心率；
（2）结合（1）的结论可得双曲线C的方程为，设直线MN的方程为，
联立方程组，利用韦达定理和中点坐标公式可得MN的垂直平分线的方程为，进而得到P的坐标为，计算可得，，进而求解.
【详解】（1）根据题意．
所以，所以双曲线C的离心率．
（2）由（1）知，双曲线C的方程为．
直线MN的方程为，
联立方程组，得，
设，，，
则，．
因为，所以MN的中点坐标为．
MN的垂直平分线的方程为，
所以P的坐标为，
所以．
又，
所以．
12．已知，，动点满足直线与的斜率之积为3．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过原点O作直线l，直线l被曲线C截得的弦长为，将直线l向左、右分别平移2个单位长度得到直线，，且直线，被曲线C截得的弦长分别为，，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据，再待入点的坐标，即可化简求解；
（2）首先设直线，再求直线的方程，再与轨迹的方程联立，求得弦长，即可证明等式.
【详解】（1）因为，，，所以，，
所以，
所以，即动点P的轨迹C的方程为．
（2）证明：易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
联立方程组得，
所以，，且．
因为，所以．
设，，直线的方程为，
联立方程组，得，
则，，
所以．
由对称性可知，
所以，即．
13．设双曲线的右焦点为，F到其中一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M，
（i）求的值；
（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：.
【答案】(1)
(2)（i）1；（ii）证明见解析
【分析】（1）结合点F到其中一条渐近线的距离为2和，即可求得本题答案；
（2）（i）设AB直线方程为，，得，直线方程与双曲线方程联立消，然后由韦达定理得，，把逐步化简，即可求得本题答案；（ii）把和的直线方程分别求出，联立可得到点的坐标，由此即可得到本题答案.
【详解】（1）因为双曲线其中一条渐近线方程为，又点到它的距离为2，
所以，又，得，
又因为，所以，
所以双曲线C的方程为.
（2）（2）设AB直线方程为，则，
代入双曲线方程整理得：，
设，则， ，
（i）
而
，
所以，，则，
所以 ；
（ii）过M平行于OA的直线方程为，
直线OB方程为与联立，
得，
即，
则，
所以，
由，两式相除得，
，则，
所以 ，
因为，所以，
故P为线段MQ的中点，所以.
【点睛】关键点点睛：本题第二小题第一问考了如何用表示出来，进而利用韦达定理进行化简求值，考查了学生的转化能力以及对复杂运算的求解能力双曲线线段类定值,最值及证明
1．法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线-=1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：-=1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
2．如图，已知双曲线，的左、右顶点恰是椭圆的左、右焦点、，的渐近线方程为，的离心率为，分别过椭圆的左右焦点、的弦、所在直线交于双曲线上的一点．
(1)求、的标准方程；
(2)求证：为定值；
(3)求证：为定值．
3．双曲线的一条渐近线方程为，且经过点．
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，过双曲线上一动点（在第一象限）分别作的两条渐近线的平行线为，且，与轴分别交于P，Q，求证：为定值．
4．双曲线的左、右焦点分别为，，，焦点到其渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，，且与同向，试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
5．已知双曲线的左右焦点分别为，，M在C的右支上，的最大值为3，且当时，的面积为.
(1)求C的方程；
(2)若A，B是C上位于x轴上方上的两点，且，与交于点P，求证：为定值.
6．已知为坐标原点，双曲线的焦距等于，由点，构成的四边形的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线相切于点，与圆相切于点，求的最小值．
7．已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程：
(3)已知定点，点D是双曲线C右支上的动点，求的最小值．
8．已知双曲线过点，且焦距为10．
(1)求C的方程；
(2)已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．
9．给定曲线：.
(1)若曲线是焦点为，的双曲线，求实数m的值；
(2)当m＝4时，记M是椭圆上的动点，过椭圆长轴的端点A作（O为坐标原点），交椭圆于Q，交y轴于P，求的值.
10．双曲线C：的离心率为，圆O：与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被双曲线C截得的弦长为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；
(3)若将（2）中的双曲线改为椭圆，其他条件不变，试探讨的值.
11．已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线交于M，N两点，当轴时，．
(1)求双曲线C的离心率e；
(2)当l倾斜角为时，线段MN垂直平分线交x轴于P，求的值．
12．已知，，动点满足直线与的斜率之积为3．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过原点O作直线l，直线l被曲线C截得的弦长为，将直线l向左、右分别平移2个单位长度得到直线，，且直线，被曲线C截得的弦长分别为，，证明：．
13．设双曲线的右焦点为，F到其中一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M，
（i）求的值；
（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：.

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