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专题01 实数
01.01有理数
一、有理数加法
1. 有理数加法法则：
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；
⑶一个数同0相加，仍得这个数。
例1
（1）(﹣3)＋(﹣9) （2）(﹣)＋(﹢) （3）(﹢4)＋(﹣3)
（4）(﹣5.25)＋5 （5）(﹣)＋0
2. 有理数加法运算律：
①有理数的加法交换律是：两个数相加，交换加数的位置，和不变．
即加法交换律 ．
②有理数的加法结合律是：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.即加法结合律 ．
③交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，无论各数相加的先后次序如何，其和不变。
例2
（1）38+（－22）+（+62）+（－78）
（－8.25）+8.25+（－0.25）+（－5.75）+（－7.5）
（3）
二、有理数减法
1.有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a +（-b）
例3
（1）0－(－9)
（2）(－25)－(－13)
（3）8.2―(―6.3)
2.有理数加减混合运算
（1）我们知道有理数的减法是先把它化为有理数的加法，即加减统一成加法。
把（-8）-（-10）+（-6）-（+4）统一成只有加法
可写成（-8）+（+10）+（-6）+（-4）
像这样的的一个和式里，通常把各个加数的括号与它前面的加号省略不写，如上式可写成-8+10-6-4
这个式子仍看作和式，叫做代数和。
按和式读做“负8，正10，负6负4的和”；
这时“+”“－”符号，既是性质符号，又是运算符号，两者合一．
例4
（+6.1）―（－4.3）+（－2.1）―5.1
（2）（－0.5）－＋6.75－
三、有理数乘法
1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。
进行乘法运算时，要抓住符号和绝对值这两个关键：有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值。
2.倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。
a（a≠0）的倒数是，0没有倒数。
3.几个有理数相乘的积的符号法则
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
当负因数个数是奇数时，积为负；
当负因数个数是偶数时，积为正．
几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0．
4.乘法运算律（和小学所学的乘法运算律一样）
(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即ab=ba.
(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即(ab)c=a(bc)．
(3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把乘积相加。即a(b+c)=ab+ac (a,b,c为任意有理数)
例5
四、有理数除法
1.有理数除法法则
根据除法是乘法的逆运算，除法可以转化为乘法，即除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数。
也可以表示成÷=×(≠0)
除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以不等于零的数。都得0。
有理数加减乘除混合运算
运算法则：有理数加减乘除混合运算，无括号时，“先乘除，后加减”，有括号时，先算括号内的，同级运算，“从左到右”。
例6
－54×（－2）÷（－4）×；
五、乘方
1、概念：
一般地，我们有：
n个相同的因数a 相乘，即，记作．
例如，2×2×2＝2 ；(－2)(－2)(－2)(－2)＝(－2) ．
这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在中，a叫作底数，n叫做指数，读作a的n次方， 看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂．
2、结论：根据有理数的乘法法则得出有理数乘方的符号规律：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0．
补充：两个数互为相反数，偶次幂相等，奇次幂互为相反数。
3、有理数混合运算的运算顺序如下：
①先乘方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
注意：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方叫做第三级运算。
例7
（1）-2+2×(-4)2 （2）-22+(-7)÷()
六、科学记数法
把大于10的数记成a×的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法．
与10的幂相乘的数a ，必须是大于等于1且小于10，这是科学记数法的规定。
七、近似数和有效数字
在日常生活和生产实际中，我们接触到很多这样的数。
如果统计的班上生日在10月份的同学的人数是8，则8这个数是与实际完全符合的准确数，一个也不也不多，一个也不少。
如果量得的语文课本的宽度为13.5cm,由于所用尺的刻度有精确度限制，而且用眼观察是不可能非常细致，因此与实际宽度会有一点偏差，这里的13.5cm只是一个与实际宽度非常接近的数，这样的数叫近似数。
在很多情况下，很难取得准确数 ，或者不必使用准确数，而可以使用近似数。
例如，宇宙现在年龄约为200亿年，长江长约6300千米，这些都是近似数。
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度来表示。
例如，书上的约有500人参加会议，500是精确到百位的近似数，它与准确数513的误差为13。
从一个数左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个数的有效数字(significant digits)。

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