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中考数学最值问题方法探究“将军饮马”问题
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【问题分析】
这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【问题解决】
作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB
当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B，此时为最小值（两点之间线段最短）
作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
例题讲解：
如图，正方形的边长为4，、为对角线上的动点，且，连接、，求周长的最小值．
【分析】要使周长的最小，只需EC+CF最小，过点作，使得，连接交于点，构造出平行四边形，根据平行四边形的性质和正方形的对称性知，当、、三点共线时,EC+CF=FH+AF=AH=，且最小，从而得到周长的最小值．
【解析】如解图，过点作，使得，连接交于点，连接．
，，
四边形是平行四边形，
．
四边形是正方形，
点，关于对称．
．
此时的周长为．
当、、三点共线时，的周长最小，最小值为．
四边形是正方形，且边长为4
．
，．
．
在中，．
周长的最小值为．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
同步练习
一、选择题
1．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．5
2．如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
3．如图1，正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时，与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（3，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）
5．如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．如图，直线与轴，轴分别交于和，点、分别为线段、的中点，为上一动点，当的值最小时，点的坐标为 ___________．
7．在平面直角坐标系中，点，点，若有一点，当的值最小时， ________．
8．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．
9．如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．
10．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
三、解答题
11．如图，牧童在处，、处相距河岸的距离，的长分别为和，且，两地距离为，天黑前牧童从处将牛牵到河边饮水，再赶回家，那么牧童最少要走______．
12．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.
(1)若E为边OA上的一个动点，求的周长最小值；
(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
13．如图，在中，，斜边，经过原点O，点C在y轴的正半轴上，交x轴于点D，且，反比例函数的图象经过A、B两点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为直线上一动点，求的最小值．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．
(1)求直线AB的解析式；
(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；
(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
15．已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
(1)若，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；
(2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．
16．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
17．将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．
【操作观察】（1）图1中，，．
①则_______；
②若，则_______；
【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；
【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．
参考答案：
1．D
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
∴DN=BN，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，
∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CD=4，DM=1
∴CM=CD-DM=4-1=3，
在Rt△BCM中，BM=
故DN+MN的最小值是5．
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键．
2．B
【分析】作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，点P即为所求作的点，此时有最小值，连接，根据对称性的性质，可知：，，根据，即可求出的最小值．
【解析】解：如下图，作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，点P即为所求作的点，此时有最小值，
根据对称性的性质，可知：，
在中，，
，
根据对称性的性质，可知：，
，
即，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．
3．A
【分析】根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标，利用相似三角形，计算AG的长即为横坐标．
【解析】如图，根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9，
∵点E是BC的中点，
∴BC=6，
连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标，
∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴CE∥AD，AC=，DE=，
∴△CGE∽△AGD，
∴，
∴，
∴AG=，
故点M的坐标为（，），故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键．
4．A
【解析】思路引领：求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．
答案解析：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函数y得：y1＝2，y2＝1，
∴A（1，2），B（2，1），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
把A、B的坐标代入得：，
解得：k＝﹣1，b＝3，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x+3，
当y＝0时，x＝3，
即P（3，0）．
故选：A．
5．B
【分析】作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．由PM垂直平分线段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
【解析】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．
∵四边形ABC都是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，
∵S△PAB=S△PCD，
∴×4×x=××4×（6-x），
∴x=2，
∴AM=2，DM=EM=4，
在Rt△ECD中，EC==4，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD=PE，
∴PC+PD=PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥4，
∴PD+PC的最小值为4．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．
【分析】根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．
【解析】解：作点关于轴的对称点，连接交x轴于点，此时值最小，最小值为，如图．
令中，则，
∴点的坐标为；
令中，则，解得：，
∴点的坐标为．
∵点、分别为线段、的中点，
∴点，点．
∵点和点关于轴对称，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
令，则，解得：，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
7．##
【分析】因为的坐标满足关系：与的和为，即点在直线上，故问题转化为在上取一点，
使得这点到点的距离和最小即可．
【解析】如下图所示：因为的坐标满足关系：与的和为，
即点在直线上，
作点关于直线对称的点，得出点坐标为，
连接交直线于点，此时最小，
设直线的解析式为，将代入，
得：，解得，
即直线的解析式为，
联立两直线方程得：，解得：，
即点坐标为，即， ，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题利用平面直角坐标系考查了线段和最小问题，关键要将此题转化为“将军饮马”模型，即直线上一点到两定点的距离和最小问题．
8．4
【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，证明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4．
【解析】解：如图，连接D，
∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，
∴∠CB=60°，
∴∠CB=∠B，
∵BD=BD，
∴△CBD≌△BD，
∴CD=D，
∴AD+CD=D+CD，
∴当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4，
故答案为：4．
．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．
9．8
【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．
【解析】解：如图所示，连接AD，AM，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，
∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，
∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，，
∴，
∴AD=6，
∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．
10．80
【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．
【解析】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，
∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，
∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，
∴NA＝NA2，MA＝MA1，
∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，
∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）
＝130°﹣50°
＝80°，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．
11．##1300米
【分析】作点A关于的对称点，连接，则的长即为的最小值，过点作，垂足为，则，，再利用勾股定理求出的长即可．
【解析】解：作点A关于的对称点，连接，则的长即为的最小值，过点作，垂足为，
∵
∴，，
∴，
在中，
．
即牧童最少要走．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解题关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形．
12．(1)
(2)，
【分析】（1）作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，先求出直线的关系式，得出点E的坐标，求出AE=2，根据勾股定理求出，，，即可得出答案；
（2）将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，用待定系数法求出的关系式，然后求出与x轴的交点坐标，即可得出答案．
【解析】（1）解：如图，作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，由模型可知的周长最小，
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，
∴D（0，2），C（3，4），，
设直线为y=kx＋b，把C（3，4），代入，
得，，解得k=2，，
∴直线为，
令y=0，得x=1，
∴点E的坐标为（1，0）.
∴OE=1，AE=2，
利用勾股定理得，
，
，
∴△CDE周长的最小值为：．
（2）解：如图，将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，连接，此时四边形CDEF周长最小，
理由如下：
∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值，
∴DE＋CF最小时，四边形CDEF周长最小，
∵，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据轴对称可知，，
∴，
设直线的解析式为y=kx＋b，把C（3，4），代入，
得，解得，
∴直线的解析式为，
令y=0，得，
∴点F坐标为，
∴点E坐标为．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，将军饮马问题，根据题意作出辅助线，找出最短时动点的位置，是解题的关键．
13．(1)
(2)
【分析】（1）过点A作轴于点E，根据题意可得A、B关于原点对称，再由直角三角形的性质可得，再由平行线分线段成比例可得，然后根据勾股定理求出，可得到点A的坐标，即可求解；
（2）延长至点F，使得，连接交直线于点P，连接，可得垂直平分，从而得到，再由“两点间线段最短”可得的最小值为线段的长，然后根据A、B关于原点对称，可得，可求出点F的坐标为，即可求解．
【解析】（1）解：如图①，过点A作轴于点E，
∵经过原点O，
∴A、B关于原点对称，
∴O为的中点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：如图②，延长至点F，使得，连接交直线于点P，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由“两点间线段最短”可得的最小值为线段的长，
由（1）得A、B关于原点对称，
∴，
∵C为线段的中点，
∴，，即，，
解得，，
∴点F的坐标为，
∴，即的最小值为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例，勾股定理，线段垂直平分线的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
14．(1)y＝2x+4
(2)
(3)存在以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）
【分析】（1）设OB＝OC＝m，由S△ABC＝12，可得B（0，4），设直线AB解析式为y＝kx＋b，利用待定系数法即可求解；
（2）将直线AB向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x 2，可得E（0， 2），垂线l2的解析式为y＝ 2，由B（0，4），C（4，0），得直线BC解析式为y＝ x＋4，从而可求得D（2，2），作D关于y轴的对称点D，作D关于直线y＝ 2对称点D，连接DD交y轴于P，交直线y＝ 2于Q，此时PD＋PQ＋DQ的最小，根据D（ 2，2），D（2， 6），得直线DD解析式为y＝ 2x 2，从而P（0， 2），Q（0， 2），故此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝，PD＋PQ＋DQ的最小值为4．
（3）设P（p，2p＋4），N（0，q），而A（ 2，0），D（2，2），①以AD、MN为对角线，此时AD中点即为MN中点，根据中点公式得N（0， 2）；②以AM、DN为对角线，同理可得N（0，10）；③以AN、DM为对角线，同理可得N（0， 2）．
（1）
解：（1）设OB＝OC＝m，
∵OA＝2，
∴AC＝m+2，A（﹣2，0），
∵S△ABC＝12，
∴AC OB＝12，即m （m+2）＝12，
解得m＝4或m＝﹣6（舍去），
∴OB＝OC＝4，
∴B（0，4），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB解析式为y＝2x+4；
（2）
将直线ABy＝2x+4向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，
∴E（0，﹣2），垂线l2的解析式为y＝﹣2，
∵B（0，4），C（4，0），
设直线BC解析式为y＝px+q，
∴，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
由得：，
∴D（2，2），
作D关于y轴的对称点D'，作D关于直线y＝﹣2对称点D''，连接D'D''交y轴于P，交直线y＝﹣2于Q，此时PD+PQ+DQ的最小，如图：
∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），
设直线D'D''解析式为y＝sx+t，
则，解得，
∴直线D'D'解析式为y＝﹣2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），
令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），
∴此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，
∴PD+PQ+DQ的最小值为4．
（3）
存在，理由如下：
设P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），
①以AD、MN为对角线，如图：
此时AD中点即为MN中点，
∴，解得，
∴N（0，﹣2）；
②以AM、DN为对角线，如图：
同理可得：，解得，
∴N（0，10）；
③以AN、DM为对角线，如图：
同理可得，解得，
∴N（0，﹣2），
综上所述，以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．
【点睛】本题考查一次函数及应用，涉及待定系数法、一次函数图象上点坐标特征、线段和的最小值、平行四边形等知识，解题的关键是应用平行四边形对角线互相平分，列方程组解决问题．
15．(1)①；②点M的坐标为，点G的坐标为；
(2)点和点；
【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；
（2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标；
【解析】（1）①∵抛物线与x轴相交于点，
∴．又，得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴点P的坐标为．
②当时，由，
解得．
∴点B的坐标为．
设经过B，P两点的直线的解析式为，
有解得
∴直线的解析式为．
∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示：
∴点M的坐标为，点G的坐标为．
∴．
∴当时，有最大值1．
此时，点M的坐标为，点G的坐标为．
（2）由（1）知，又，
∴．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点P的坐标为．
∵直线与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为．
作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示：
得点的坐标为，点的坐标为．
当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，
此时，．
延长与直线相交于点H，则．
在中，．
∴．
解得（舍）．
∴点的坐标为，点的坐标为．
则直线的解析式为．
∴点和点．
【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键．
16．(1)见解析
(2)4
(3)4
【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；
（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；
（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．
【解析】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
（2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
（3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，
∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．
17．（1）①2；②12；（2）见解析；（3）75
【分析】（1）①由于翻折，故AE=AC，所以BE=AB－AE；②由于翻折，故AD平分∠BAC，故点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高．再由三角形面积公式可知，，从而得到；（2）由于翻折，知∠AED=∠C，又因为，等量代换得∠B=∠BDE，从而BE=DE，整理代换即可；（3）根据“将军饮马”模型知，PG+PE的最小值为EG．再根据AE=2AG，∠BAC=60°，可推断出△AEG是含60°角的直角三角形，从而得到EG的长，得解．
【解析】解：（1）①∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC
∴BE=AB－AE= AB－AC=8－6=2
∴BE=2；
②∵翻折，
∴AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高
∴由三角形面积公式可知，，
又∵，
∴．
（2）∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC，∠AED=∠C，DE=CD
又∵，∠AED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE
∴BE=DE
又∵AB=AE+BE
∴AB=AC+DE=AC+CD．
（3）∵翻折
∴PC=PE
∴PG+PC=PG+PE，当点P运动到EG连线时，PG+PE有最小值为EG
∴的最小值为EG2
∵AG=5，AE=AC=2AG，∠BAC=60°
∴△AEG是含30°角的直角三角形
∴EG=，即
∴的最小值为75．
【点睛】本题考查了翻折的性质、角平分线的性质，“将军饮马”问题，利用翻折得到全等三角形是解决本题的关键．
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