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第4讲 幂的运算
一．知识点梳理
1.求n个相同因数a的乘积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数。
把an读做a的n次方。
2.同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即 (m,n是正整数).
拓展到(当m、n、p都是正整数)，大胆运用法则。
3.幂的乘方
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即 (m，n都是正整数)
4. 积的乘方
积的乘方法则：积的乘方等于积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 (n是正整数)。法则的推广：当n是正整数时， .
5.同底数幂的除法
同底数幂的除法法则: 同底数幂相除, 底数不变、指数相减。
即（a≠0，m、n是正整数，且m>n）
规定1：任何不等于0的数的0次幂都等于1. (a≠0)
规定2： （a≠0 ,n是正整数）
二．典型例题
类型一：同底数幂的乘法
【例1】计算：
； ；
．
【变式1】计算：
； （为正整数）；
（为正整数）．
【变式2】下列各式中计算结果为的是　　
A． B． C． D．
【变式3】若，，则的值是　　
A．24 B．10 C．3 D．2
【变式4】已知，，则　 　．
【变式5】对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，．
（1）解方程：；
（2）求值：；
（3）计算：．
类型二：幂的乘方与积的乘方
【例2】计算：
（1）； （2）； （3）．
【变式1】已知=3，=2，求的值．
【变式2】已知，，其中，为正整数，则　　
A． B． C． D．
【变式3】下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【变式4】已知：，则的值为　　．
【变式5】若，，则　　．
【变式6】
【变式7】已知，，用，的代数式表示．
【例3】已知，求m＝　 　．
【变式1】计算＝ ．
【变式2】若＝a，＝b，m，n为正整数，则＝ ．
【变式4】若，则的值是　 　．
【变式5】已知，则m＝　 　．
【变式6】＝　 　．
类型三：同底数幂的除法
【例4】已知，，的值为　　
A．3 B． C．2 D．5
【变式1】若，，则　 　．
【变式2】若，，，求的值
【变式3】（1）已知，求的值；
（2）已知，，求①的值；②的值．
类型四：零指数幂
【例5】如果，则的值为　　
A．0 B．2 C．4 D．以上都有可能
【变式1】方程的整数解的个数是　 　．
【变式2】计算
类型五：负整数指数幂
【例6】若有意义，则满足的条件是　　
A． B． C． D．
【变式1】某种冠状病毒的直径是120纳米，1纳米米，则这种冠状病毒的直径是　　厘米．
A． B． C． D．
【变式2】我们规定：，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：
（1）计算：　 　； ；
（2）如果，那么 ；如果，那么 ；
（3）如果，且、为整数，求满足条件的、的取值．
【变式3】如果a＝，b＝，c＝，那么a，b，c三个数中谁最大．
类型六：科学记数法表示较小的数
【例7】小明同学在百度搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，引擎搜索耗时0.00175秒，将这个数用科学记数法表示为　 　．
【变式7-1】诺如病毒的直径大约0.0000005米，将0.0000005用科学记数法可表示为　 　．
类型七：有关幂的运算的解答题
【例8】计算：
（1）
（2）
【变式1】计算：
（1）+×﹣；
（2）
三．课堂训练
1.下列计算①；②；③；④用科学记数法表示；⑤．其中正确的个数是　　
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2.已知，则的值为　　
A． B．或2 C．1和2 D．0和
3.中国女药学家屠呦呦获2015年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项．已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法表示为　 　米．
4.已知，，则等于 ．
5.已知，求的值 ．
6.计算：
（1）；
（2）．
（3）
7.（1）已知，，求①的值；②的值
（2）已知，求的值．
8.已知＝2，＝12．
（1）求的值；
（2）求的值．
9.已知：，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）试说明：．
四．举一反三
1.新冠病毒是一种新的亚属的冠状病毒，它的直径约，平均直径为（纳米）．1米纳米，可以表示为　　米．
A． B． C． D．
2.下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
3.计算　　
A． B． C．4 D．1
4.下列计算①；②；③；④用科学记数法表示；⑤．其中正确的个数是　　
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5.（1）已知，，则　 　
（2）若，，则的值是　 　．
（3）已知，，则　 　．
6.计算（1）．
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
7.已知，，求的值．
8.（1）已知，，求①的值；②的值
（2）已知，求的值．
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