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第5讲 整式乘法
知识点梳理
1. 单项式乘单项式
单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2. 单项式乘多项式：
单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是依据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加.
3. 多项式乘多项式
多项式乘多项式法则：一般地，多项式与多项式相乘，①先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项；②再把所得的结果相加.
4.乘法公式
（1）完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍．即 ，
注意：①公式中的a与b可以是数也可以是单项式、多项式或其他代数式。
（2）平方差公式：两数和与它们的差的积等于这两个数的平方差。
即
二．典型例题
类型一：单项式乘单项式
【例1】下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
【变式1】计算：　　．
【变式2】 　；若，，则　　．
【变式3】已知，，求的值．
【变式4】若，且，为正整数，则　 　．
【变式5】计算把结果化为只含有正整数指数幂的形式为　　．
类型二：单项式乘多项式
【例2】下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【变式1】计算：　　．
【变式2】一个长方体的长、宽、高分别是、和，它的体积等于　　．
【变式3】计算：
【变式4】已知，求、、的值．
【变式5】今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题：□，□的地方被墨水弄污了，你认为□处应填写　　．
【变式6】（1）已知中不含的三次项，求的值．
（2）按村镇建设规划的要求，需将小张家一块正方形土地的一边增加5米，另一边减少5米，这块土地的面积改变了吗？请说明理由．
类型三：多项式乘多项式
【例3】已知多项式与的乘积中不含项，则常数的值是　　
A． B．0 C．1 D．2
【变式1】已知，则的值为　　
A．12 B．10 C．13 D．11
【变式2】当时，的值为，则的值为　　
A．55 B． C．25 D．
【变式3】若，则　 　．
【变式4】已知的积中不含和项，求代数式 的值．
类型四：完全平方公式
【例4】下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【变式1】下列等式成立的是　　
A． B． C． D．
【变式2】已知，，则的值为　　．
【变式3】若，且，则　　．
【变式4】用完全平方公式计算：
（1）；（2）．
【变式5】（1）已知，，求和的值．
（2）若，，求和的值．
类型五：完全平方公式的几何背景
【例5】如图所示的图形可以直接验证的乘法公式是　　
A． B．
C． D．
【变式1】如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为144，小正方形的面积为4，若分别用、表示小长方形的长和宽，则下列关系式中错误的是　　
B． C． D．
【变式2】已知长方形的周长为28，面积为48．则分别以长方形的长和宽为边长的两个正方形的面积和是　　．
【变式3】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图
（1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是　 　；
（2）根据（1）中的结论，若，，则　 　；
（3）拓展应用：若，求的值．
类型六：完全平方式
【例6】如果是一个完全平方式，则的值是　　
A．3 B． C．3或 D．9或
【变式1】如果是一个完全平方式，那么的值是　　
A． B．15 C． D．30
【变式2】若是完全平方式，则的值等于　　．
【变式3】若是一个完全平方式，则常数的值是　　．
类型七：平方差公式
【例7】下列各式中，不能够用平方差公式计算的是　　
A． B．
C． D．
【变式1】如果，那么的值为　　．
【变式2】已知，则的值为　　．
【变式3】计算：
（1）；
（2）
（3）.
【变式4】计算：
（1）；
（2）．
类型八：平方差公式的几何背景
【例8】如图，它由两块相同的直角梯形拼成，由此可以验证的算式为　　
A． B．
C． D．
【变式1】如图，从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是　　
A． B．
C． D．
【变式2】如图，从一个边长为的正方形的一角上剪去一个边长为的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是　 　（用含，的等式表示）．
【变式3】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个）
A、
B、（a﹣b）
C、
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，求的值．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
三．课堂训练
1.下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
2.下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
3.若是一个完全平方式，则k的值为　 　．
4.计算：
（1）
（2）
5.若，求的值．
6.已知代数式化简后，不含项和常数项．求，的值
7.已知的展开式中不含和项．
（1）求与的值．
（2）在（1）的条件下，求的值．
8.已知=5，=3，求下列式子的值：
（1）；
（2）6ab．
9.已知：a+b=3，ab=2，求的值．
10.用简便方法计算：
（1）﹣200×99+
（2）2018×2020﹣
12.（1）先化简，再求值：2+（a+b）（a﹣2b）﹣，其中a=﹣3，b=．
（2）已知ab=﹣3，a+b=2．求下列各式的值：
①；
②b+2+a；
③a﹣b．
四．举一反三
1.下列计算错误的是 　　
A． B． C． D．
2.已知正方形边长为，长方形的一边长为2，另一边的长为，则正方形与长方形的面积之和等于　　
A．边长为的正方形的面积
B．一边长为2，另一边的长为的长方形面积
C．一边长为，另一边的长为的长方形面积
D．一边长为，另一边的长为的长方形面积
3.如果是一个完全平方式，那么　 　．
4.已知，则的值为　 　．
5.若，则的值为　 　．
6.已知一个多项式除以多项式，所得商式是2a+1，余式为2a+8，求这个多项式．
7.如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
（1）在图2中的阴影部分面积可表示为　　，在图3中的阴影部分的面积可表示为　　，由这两个阴影部分的面积得到的一个等式是　　．
．
．
．
（2）根据你得到的等式解决下面的问题：
①计算：；
②解方程：．
8..若的展开式中不含有和项，求、的值．
9.所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A=B2，则称A是完全平方式，例如：．
（1）下列各式中完全平方式的编号有　 　；
；⑥
（2）若和都是完全平方式，求的值；
（3）多项式加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出所有可能的单项式）
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