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第7讲 多项式的因式分解应用
一．知识点梳理
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
2. 完全平方公式：；
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
3.因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
要点诠释：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
二．典型例题
类型一：幂的运算
【例1】计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
【变式1】8×0.125=　 　．
【变式2】已知，求的值．
【变式3】（1）已知，比较的大小.
（2）比较大小。
类型二：整式的乘除法运算
【例2】已知，求的值．
【变式1】（1）已知，求的值．
（2）已知，，求的值．
（3）已知，，求的值．
【变式2】已知代数式化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出的值，并求出一次项系数．
【变式3】若的乘积中不含的一次项，则等于______．
类型三：乘法公式
【例3】对任意整数，整式是否是10的倍数？为什么？
【变式1】已知，，求： (1)；(2)
【变式2】已知，求代数式的值.
【变式3】配方，求＝________.
【例4】求证：无论为何有理数，多项式的值恒为正数．
类型四：因式分解
【例5】已知x﹣4y=20，，求x，y的值．
【变式1】分解因式：（1）
（2）
（3）
【变式2】分解因式：（1）
（2）
（3）
三．课堂训练
1.已知，则当时，的值为　　
A．25 B．20 C．15 D．10
2.若能用完全平方公式因式分解，则的值为 ．
3.阅读下文，寻找规律，并填空：
已知，计算：
观察上式，并猜想：　 　．
4.如图，两个正方形的边长分别为，，若，，则四边形的面积为 ．
5.已知，则的值为　 　．
6.已知，，是的三边，，则的形状是　 　．
7.（1）已知，，求和的值．
（2）若，，求和的值．
8.①先化简，再求值：，；
②若的结果中不含和项，求和的值．
9.将下列各式因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
四．举一反三
1.已知，则的值为　　
A．12 B．10 C．13 D．11
2.如果二次三项次是一个完全平方式，那么的值是　　
A． B．4 C． D．8
3.已知，给出下列结论：①当时，；②当时，；③当时，．其中正确的是　　
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
4.将式子添加一个整式使它组成一个完全平方式，则符合条件的整式可以是　 （至少填3个）
5.有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将、并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形，的面积之和为　 ．
6.观察下列各等式：
请你猜想：若，则代数式　 　．
7.分解因式：
（1）
（2）
（3）
8.（1）已知，，求和的值．
（2）若，，求和的值．
9.已知，．
（1）求的值：
（2）求的值．
10.（1）若是关于的二次多项式的其中一个因式，求的值及另一个因式．
（2）若，求的值．
（3）已知，，分别是的三边长，且满足，试确定的形状．
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