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第8讲 期中复习
一．典型例题
类型一：平行线的判定和性质
【例1】如图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝24°，则图2中∠AEF的度数为（　　）
A．120° B．108° C．112° D．114°
【变式1】如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【变式2】如图，已知AB∥DE，∠BAC＝m°，∠CDE＝n°，则∠ACD＝　 　　．
【变式3】一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD＝　 　度．
【变式4】将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
【变式5】如图1，点E在直线AB上，点F在直线CD上，EG⊥FG．
（1）若∠BEG+∠DFG＝90°，请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的结论下，当EG⊥FG保持不变，EG上有一点M，使∠MFG＝2∠DFG，则∠BEG与∠MFD存在怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如图2，若移动点M，使∠MFG＝n∠DFG，请直接写出∠BEG与∠MFD的数量关系．
类型二：三角形
【例2】已知是三角形的三边，那么代数式的值（　　）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
【变式1】如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【变式2】在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝82°，则∠MGE＝ °．
【变式3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【变式4】如图，AD为△ABC的高，AE，BF为△ABC的角平分线，若∠CBF＝32°，∠AFB＝72°．
（1）∠BAD＝ °；
（2）求∠DAE的度数；
（3）若点G为线段BC上任意一点，当△GFC为直角三角形时，则求∠BFG的度数．
类型三：幂的运算
【例3】设a＝2，b＝3，c＝4，则a、b、c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】若，则9x 27y的值是　 　．
【变式2】（1）计算：（n为正整数）．
（2）观察下列各式：
1×5+4＝32…………①，3×7+4＝52…………②，5×9+4＝72…………③，……
探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立．
【变式3】规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果ac＝b，那么【a，b】＝c．
例如：因为23＝8，所以【2，8】＝3．
（1）根据上述规定，填空：
【4，16】＝　 　，【7，1】＝　 　，【　 　，】＝﹣2．
类型四：乘法公式
【例4】若是一个完全平方式，那么m的值为（　　）
A．4或﹣6 B．4 C．6或4 D．﹣6
【变式1】将4张长为a、宽为b（a≥b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若m﹣3n＝0，则a、b满足（　　）
A．a＝b或a＝3b B．a＝b或a＝4b C．a＝b或a＝5b D．a＝b或a＝6b．
【变式2】（1）化简：
（2）先化简，再求值：，其中．
类型五：因式分解
【例5】下列各式能用公式法因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】多项式（其中n是小于10的自然数，b≠0）可以分解因式，则n能取的值共有 　种．
【变式2】若正实数m，n满足等式（m+n﹣1）＝（m﹣1）+（n﹣1），则m n＝ ．
【变式3】阅读材料：若，求的值．
解：，
，∴，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【变式4】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是；
（2）根据（1）中的结论，若，，则　 　；
（3）拓展应用：若，求的值．
三．课堂训练
1.如图，△ABC经过平移得到，若四边形的面积为，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
2.将一副三角板按如图放置，则下列结论①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C，其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
3.如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM∠EFM，则∠AEN的度数为　 　　．
5.如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，点E在AC上，点F在CD上，连接DE，EF．
（1）若∠ACB＝70°，∠CDE＝35°，求∠AED的度数；
（2）在（1）的条件下，若∠BDC+∠EFC＝180°，试说明：∠B＝∠DEF．
6.如图，直线l1，l2相交于点O，点A、B在l1上，点D、E在l2上，BC∥EF，∠BCA＝∠EFD．
（1）求证：AC∥FD；
（2）若∠1＝20°，∠2＝15°，求∠EDF的度数．
7.【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m＝12+n，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　 　．
（2）计算：2019﹣2020×2018．
【拓展】
计算：100﹣99+98﹣97+…+4﹣3+2﹣1．
（1）利用平方差公式得出，代入求值即可；
（2）可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平方差公式求值；
【拓展】利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．
8.因式分解
（1）4a﹣9；
（2）3ax+6axy+3ay．
9.计算：
（1）（﹣a） 4a
（2）2x（x+1）+（x+1）．
四．举一反三
1.若a＝b，b＝m，则m为（　　）
A． B． C． D．
2.如图，△DEF是Rt△ABC沿着BC平移得到的．如果AB＝8cm，BE＝4cm，DH＝3cm，则图中阴影部分的面积为　 　．
3.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A＝29°，∠BDA'＝90°，则∠A'EC的大小为　 　．
4.若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝ ．
5.已知mn＝1﹣m﹣n，则（m+1）（n+1）的值为　 　．
6.计算：
（1）；
（2）0.23×0.44×12.54．
7.观察下列各式：
（x﹣1）÷（x﹣1）＝1
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（﹣1）÷（x﹣1）＝
（1）根据上面各式的规律可得　 　；
（2）求22019+22018+22017+……+2+1的值．
8.请将下列证明过程补充完整：
已知：如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠α+∠β＝90°
求证：AB∥CD．
证明：∵CE平分∠ACD （已知），
∴∠ACD＝2∠α （　 　）．
∵AE平分∠BAC （已知），
∴∠BAC＝　 　（角的平分线的定义）．
∴∠ACD+∠BAC＝2∠α+2∠β（　 　）．
即∠ACD+∠BAC＝2（∠α+∠β）．
∵∠α+∠β＝90° （已知），
∴∠ACD+∠BAC＝　 （　 　）．
∴AB∥CD（　 　）．
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