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第12讲 解一元一次不等式
一．知识点梳理
1.不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
2.不等式的解及解集
（1）不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
（3）不等式的解集的表示方法
用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
3.不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果，那么．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果，那么(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果，那么(或)．
4.一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式．
5.一元一次不等式的解法
解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
6.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
注意： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
二．典型例题
类型一：不等式的定义
【例1】甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是　　
A． B． C． D．
【变式1】下列各式中，是不等式的是　　
A． B． C． D．
【变式2】按商品质量规定：商店出售的标明的袋装食盐，其实际克数与所标克数相差不能超过，设实际克数是，则应满足的不等式是 ．
【变式3】已知有理数，的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．
（1）　　0；（2）　　0；（3）　　0；（4）　　0；（5）　　0；
（6）　　0．
类型二：不等式的性质
【例2】已知，用“”号把，和三者的大小关系表示出来的不等式是　　
A． B． C． D．
【变式1】已知，则下列式子中错误的是　　
A． B． C． D．
【变式2】已知．
①若，则的取值范围是　 　；
②若，且，则的取值范围是　　．
【变式3】如果，那么　　（填“”或“”
【变式4】两个非负实数和满足，且
求：（1）求的取值范围；（2）请含的代数式表示，并求的取值范围．
【变式5】把下列不等式化成或的形式．
（1）；
（2）．
类型三：不等式的解集
【例3】用不等式表示图中的解集，以下选项正确的是　　
A． B． C． D．
【变式1】若不等式组的解为，则下列各式正确的是　　
A． B． C． D．
【变式2】若不等式组没有解，则的取值范围是 　．
【变式3】已知不等式组的解集为． 则的范围是　 　．
【变式4】已知满足不等式组，求的取值范围．
【变式5】已知一元一次不等式．
（1）若它的解集是，求的取值范围；
（2）若它的解集是，试问：这样的是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由．
类型四：在数轴上表示不等式的解集
【例4】满足的数在数轴上表示为　　
A． B．
C． D．
【变式1】把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是　　
A． B．
C． D．
【变式2】如图，小雨把不等式的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是　　．
【变式3】已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为　　．
【变式4】已知不等式组．
（1）如果此不等式组无解，求的取值范围，并利用数轴说明；
（2）如果此不等式组有解，求的取值范围，并利用数轴说明．
【变式5】已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，求的值．
三．课堂训练
1.老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．你认为其中是不等式的有　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.下列式子：
①；②；③；④；⑤；⑥，
其中不等式有　　个
A．3 B．4 C．5 D．6
3.下列不等式变形错误的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4.已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为　　．
5.若满足的任意实数，都能使不等式成立，则实数的取值范围是　　．
6.如果不等式的解集是，那么的取值范围是　　．
7.已知方程组的解满足为非正数，为负数．
（1）求的取值范围；
（2）化简：；
（3）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为．
8.解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
四．举一反三
1.一种饮料重约300克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为　 　克．
2.已知，下列结论中成立的是　　
A． B．
C． D．如果，那么
3.已知：，且b≥0，c≤9，则的最小值为　　．
4.已知不等式．
（1）求该不等式的解集；
（2）该不等式的所有负整数解的和是关于的方程的解，求的值．
5.若，比较与的大小，并说明理由．
6.关于的不等式的解集如图所示，则的取值范围是　　．
7.已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则的值为　 　．
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