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第9讲 解二元一次方程组
一．知识点梳理
1. 二元一次方程的概念
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
2.二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．
3.二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
4.二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
5.代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
6.加减消元法
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
二．典型例题
类型一：二元一次方程的定义
【例1】在式子，，，，中，二元一次方程有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】下列各式，属于二元一次方程的个数有　　
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】若是关于、的二元一次方程，则的值是　　
A．1 B．3.5 C．2 D．3.5或2.5
【变式3】已知是关于、的二元一次方程，则　　
A． B． C．或 D．
【变式4】已知是关于和的二元一次方程，则的值为　　．
类型二：二元一次方程的解
【例2】下列各组数中，是方程的解的是　　
A． B． C． D．
【变式1】若是方程的解，则的取值是　　
A．5 B． C．2 D．1
【变式2】若是二元一次方程的一组解，则　 　．
【变式3】二元一次方程的正整数解的个数是　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式4】甲、乙两人同求方程的整数解，甲求出一组解为，而乙把中的7错看成1，求得一组解为，试求、的值．
类型三：解二元一次方程
【例3】二元一次方程有无数多个解，下列四组值中是该方程的解是　　
A． B． C． D．
【变式1】二元一次方程的一个解是　　
A． B． C． D．
【变式2】已知对任意有理数、，关于、的二元一次方程有一组公共解，则公共解为　 　．
【变式3】已知，用含的代数式表示得：　　．
【变式4】二元一次方程的非负整数解有　　个．
A．2 B．3 C．4 D．5
类型四：由实际问题抽象出二元一次方程
【例4】一辆轿车行驶2小时的路程比一辆卡车行驶3小时的路程少40千米．如果设轿车平均速度为千米/小时，卡车的平均速度为千米/小时，则　　
A． B． C． D．
【变式1】若甲数为，乙数为，则“甲数的3倍比乙数的一半少2”，列成方程是　　
A． B． C． D．
【变式2】大型客车每辆能坐54人，中型客车每辆能坐36人，现有378人，问需要大、中型客车各几辆才能使每个人上车都有座位，且每辆车正好坐满？设需要大型客车辆，中型客车辆．
类型五：二元一次方程组的定义
【例5】下列方程组中，是二元一次方程组的是　　
A． B． C． D．
【变式1】下列方程组中，是二元一次方程组的是　　
A． B． C． D．
【变式2】下列方程（组中，①②③④⑤⑥是一元一次方程的是　 　，是二元一次方程的是　 　，是二元一次方程组的是　 　．
【变式3】已知方程组是二元一次方程组，求的值．
类型六：二元一次方程组的解
【例6】若是方程组的解，则值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】已知是方程组的解，则的值是　　
A． B．1 C． D．5
【变式2】已知为整数，方程组有正整数解，则　　．
【变式3】为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则的值为　　
A．3或48 B．3 C．4或49 D．48
【变式4】已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为　 　．
类型七：解二元一次方程组
【例7】已知关于、的方程组，解是，则的值为　　
A． B．2 C．1 D．0
【变式1】用加减法解方程组时，如果消去，最简捷的方法是　　
A．①② B．①② C．②① D．②①
【变式2】已知：、满足我们可以不解这个方程组，用①②整体求出的值，则的值是　　 ．
【变式3】（1）已知关于、的二元一次方程组，则的值为　 　．
（2）若，且，求的值．
类型八：同解方程组
【例8】如果方程组与有相同的解，则，的值是　　
A． B． C． D．
【变式1】如果方程组的解与方程组的解相同，则，的值是　　
A． B． C． D．
【变式2】关于、的方程组与有相同的解，则　　．
类型九：解三元一次方程组
【例9】若，则的值为　　
A．0 B． C．1 D．4
【变式1】在等式中，当时，；当时，；当时，，则　　
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式2】解关于、、的三元一次方程组，得　　．
三．课堂训练
1.若方程是二元一次方程，则　　，　 　．
2.已知二元一次方程的一组解为，则　　．
3.把写成用含的代数式来表示，则　　
4.下列四个方程组中，①②③④二元一次方程组有　 　个．
5.关于，的二元一次方程组，且，则实数的值为　　．
6.已知方程组和方程组的解相同，求、．
7.解下列方程（组）
（1）
（2）．
8.已知关于，的方程组，给出下列结论：
①当时，方程组的解也是方程的解；
②当时，；
③不论取什么实数，的值始终不变；
④若，则的最小值为．
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
9.已知：．
（1）用的代数式表示；
（2）如果、为自然数，那么、的值分别为多少？
（3）如果、为整数，求的值．
四．举一反三
1.列方程中，二元一次方程有　　
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.已知是关于，的二元一次方程的解，求的值．
3.已知二元一次方程
（1） 直接写出它所有的正整数解；
（2） 请你写出一个二元一次方程， 使它与已知方程组成的方程组的解为．
4.（开放题）是否存在整数，使关于的方程在整数范围内有解，你能找到几个的值？你能求出相应的的解吗？
5.已知方程组和有相同的解，求的值．
6.如果，且，求，，的值．
7.解下列方程组
（1）
（2）
（3）
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