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第6讲 多项式的因式分解
一．知识点梳理
1.因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2. 公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
3. 公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
4. 因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
二．典型例题
类型一：因式分解的意义
【例1】下列等式从左到右的变形属于因式分解的是　　
A． B．
C． D．
【变式1】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是　　
A． B．
C． D．
【变式2】下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？
（1）；
（2）；
（3）
（4）．
类型二：公因式
【例2】多项式，均为大于1的整数）各项的公因式是　　
A． B． C． D．
【变式1】多项式，其中，为整数，　　
A．若公因式为，则
B．若公因式为，则
C．若公因式为，则为整数）
D．若公因式为，则为整数）
【变式2】多项式与多项式的公因式是　 　．
【变式3】多项式与多项式的公因式是　 　．
类型三：因式分解-提公因式法
【例3】把多项式分解因式，结果正确的是　　
A． B． C． D．
【变式1】下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是　　
A． B．
C． D．-
【变式2】因式分解：　　．
【变式3】已知，，则　　．
类型四：因式分解-运用公式法
【例4】下列多项式中不能用平方差公式分解的是　　
A． B． C． D．
【变式1】多项式分解因式，结果正确的是　　
A． B． C． D．
【变式2】已知，则　　，　　．
【变式3】若能用完全平方公式因式分解，则的值为　　．
【变式4】（1）分解因式：；
（2）用简便方法计算：．
【例5】下列分解因式正确的是　　
A． B．
C． D．
【变式1】下列因式分解正确的是　　
A． B．
C． D．
【变式2】分解因式：　 　．
【变式3】把多项式分解因式的结果是　 　．
【变式4】把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
类型五：因式分解-分组分解法
【例6】下列多项式中可以用平方差公式进行因式分解的有　　
①；②；③；④；⑤；⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】把分解因式结果正确的是　　
A． B．
C． D．
【变式2】分解因式：　 　．
【变式3】把多项式分解因式，结果是　 　．
类型六：因式分解-十字相乘法
【例7】下列因式分解结果正确的是　　
A． B．
C． D．
【变式1】下列各式因式分解正确的是　　
A． B．
C． D．
【变式2】因式分解：　 　．
【变式3】因式分解：　 　．
【变式4】因式分解：
（1）
（2）
类型七：因式分解的应用
【例8】已知，，是三角形的三边，那么代数式的值　　
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
【变式1】对于任何整数，多项式都能　　
A．被8整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除
【变式2】已知：，，．则　 　．
【变式3】若，则　 　．
三．课堂训练
1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是　　
A． B．
C． D．
2.若多项式、是常数）分解因式后，有一个因式是，则的值为 　　．
3.多项式：①；②；③；④分解因式后，结果中含有相同因式的是　　
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
4.对多项式进行因式分解时提出的公因式是　 　．
5.将多项式因式分解提取公因式后，另一个因式是　　
A． B． C． D．
6.若多项式能因式分解为，则的值是　　
A． B． C．4 D．
7.（1）已知，，求和的值．
（2）分解因式：
①
②．
8.因式分解：（1）
（2）
（3）
（4）
9.分解因式：（1）　　 ．
（2）　　 ；
（3）　 　.
10.把下列各式进行因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）．
四．举一反三
1.如果“□×2ab＝2a2b”，那么“□”内应填的代数式是（　　）
A．ab B．2ab C．a D．2a
2.小淇用大小不同的9个长方形拼成一个大的长方形ABCD，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
3.若多项式，则的值分别是（　　）
A． B． C． D．
4.若，则的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．0
5.若，则m等于（　　）
A．4xy B．﹣4xy C．8xy D．﹣8xy
6.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（　　）
A．56 B．66 C．76 D．86
7.在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8.因式分解
（1）
（2）;
（3）；
（4）．
9.先化简，再求值：，其中
10.阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：．
解答：把代入多项式，发现此多项式的值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值．再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”．
（1）求上述式子中的值；
（2）请你用“试根法”分解因式：．
11.下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式＝ （第一步）
＝ （第二步）
＝（第三步）
＝（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
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