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第15讲 证明
一．知识点梳理
知识点一 定义与命题
1、定义
对名称或术语的含义进行描述或作出规定，就是给出它们的定义.
注意：
①定义是对名称或术语的特征和性质的描述；
②定义必须是严密的，一般避免使用含糊不清的词语，比如“一些”“大概”“差不多”等词语必能在定义中出现.
2、命题
判断一件事情的句子叫作命题.
注意：
命题的含义包括两层含义：①命题必须是一个完整的句子；②这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的
判断，二者缺一不可.
3、真命题、假命题
如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题；
条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题.
命题的表达及改写：
（1）命题一般都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论；
（2）改写后的命题与改写前的命题的内容要一致；
（3）改写后的句子要完整，语句要通顺.
知识点二 证明
1、推理说明的必要性
观察、操作、实验室人们认识事物的重要手段，通过观察、操作、实验可以探索发现一些结论，但是这些结论不一定都正确。数学中，探索发现的结论常常需要加以证实．
要判断一个结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须借助已知的事实一步一步、有根有据地进行推理．
2、公理、证明、定理
（1）公理：公认的真命题称为公理；
（2）证明：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明；
（3）定理：经过证明的真命题称为定理．
3、三角形内角和定理的推论
（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；
（2）三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（3）由一个定理直接推出的正确结论，叫做这个定理的推论。它和定理一样，可以作为进一步证明的依据．
二．典型例题
类型一：四种命题及其关系
【例1】已知命题：如果，那么．该命题的逆命题是　　
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【变式1】下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式2】命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明　　
A．， B．， C．， D．，
【变式3】下列正确叙述的个数是　　
①每个命题都有逆命题
②真命题的逆命题是真命题
③假命题的逆命题是真命题
④每个定理都有逆定理
⑤每个定理一定有逆命题
⑥命题“若，那么”的逆命题是假命题．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4】命题“如，那么”的逆命题是　　命题．（填“真”或“假”
类型二：命题与定理
【例2】下列命题中真命题是　　
A．一个三角形中至少有两个锐角
B．若与是内错角，则
C．如果两个角有公共边，那么这两个角一定是邻补角
D．如果，那么
【变式1】下列语句不是命题的是　　
A．连结 B．对顶角相等
C．相等的角是对顶角 D．同角的余角相等
【变式2】命题“方程有两个不相等的实数根”是　　（填“真”或“假” 命题．
【变式3】下列命题：①试验次数越多频率就越接近概率；②汽车是轴对称图形；③直径是圆中最长的弦；④反比例函数的图象是中心对称图形．正确的序号是　　 ．
【变式4】写出命题“如果，那么、互为倒数”的逆命题　　 ．
【变式5】如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
类型三：推理与论证
【例3】有一堆形状大小都相同的珠子， 其中只有一粒比其它都轻些， 其余一样重 ． 若利用天平 （不 用砝码） 最多两次就找出了这粒较轻的珠子， 则这堆珠子最多有　　
A ． 8 粒 B ． 9 粒 C ． 10 粒 D ． 11 粒
【变式1】甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行乒乓球训练，每局2人进行比赛，另1人当裁判，每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共打了15局，乙共打了21局，而丙共当裁判5局，那么整个训练中的第5局的裁判是　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．不确定
【变式2】有甲乙丙三位同学对1班足球队与2班足球队的足球友谊赛进行赛前估计，甲说：1班足球队至少进2个球，乙说：1班足球队进球数不到3个，说：1班足球队至少进1个球．比赛后，得知3个人中，只有1个人的估计是对的，则1班足球队进球的个数是　　
三．课堂训练
1.下列说法正确的是　　
A．同位角相等
B．在同一平面内，如果，，则
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，如果，，则
2.下列命题是真命题的是　　
A．同旁内角互补
B．三角形的一个外角等于两个内角的和
C．若，则
D．同角的余角相等
3.下列结论中，错误结论有　　
①三角形三条高（或高的延长线）的交点不在三角形的内部，就在三角形的外部
②一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加
③两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相平行
④三角形的一个外角等于任意两个内角的和
⑤在中，若，则为直角三角形
⑥顺次延长三角形的三边，所得的三角形三个外角中锐角最多有一个
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4.下列命题的逆命题是真命题的是　　
A．对顶角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．直角都相等 D．全等三角形的周长相等
5.如图，在中，，，平分，平分的外角，则　　
A． B． C． D．
6.学校开展象棋大赛，、、、四人进入决赛，赛前，甲猜测比赛成绩的名次顺序是：从第一名开始，依次是、、、；乙猜测的名次依次是、、、，比赛结果，两人都只猜对了一个队的名次，已知第四名是队，则第一名是　　队．
7.甲、乙、内三位同学中有一位做了一件好事，老师问他们是谁做的，他们这样回答：
甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”
乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”
丙说：“我没有做这件事，也不知道谁做了这件事．”
他们三人的回答中都有一句真话，一句假话．根据这些条件判断，做好事的是　　．
8.如图，、、三点在同一直线上，（1），（2），（3）平分．
请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并证明．
已知：　
求证：　　
证明：
9.如图所示：
（1）若，，，求证：．
（2）若把（1）中的题设“”与结论“”对调，所得命题是否是真命题？说明理由．
四．举一反三
1.下列五个命题：
①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；
②内错角相等；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
④两个无理数的和一定是无理数；
⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
其中真命题的个数是　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.老师让4个学生猜一猜这次考试中4个人的成绩谁最好．甲说：“乙最好”：乙说：“丁最好”；丙说：“反正我不是最好”；丁说：“乙说我最好，肯定错了”．老师告诉他们，只有一个人猜对了，于是，聪明的孩子们马上知道是谁的成绩最好了，你知道吗？　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3.对于命题“若，则”，能说明它属于假命题的反例是　　
A．， B．， C．， D．，
4.下列语句不是命题的是　　
A．连结 B．对顶角相等
C．相等的角是对顶角 D．同角的余角相等
5.把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果，那”的形式是　“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”　．
6.（1）已知：如图，直线、、被直线所截，，．求证：．
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．
7.如图，命题1：如果，，，那么与平行；
命题2：如果，，，那么与平行；
（1）请判断上述两个命题分别是真命题还是假命题？
（2）根据（1）中的判断，如果是真命题的，请证明；如果是假命题的，请举出一个反例．
8.如图，分别将“ “记为，“ “记为，“”记为．
（1）填空：“如图，如果，，那么 “是　假　命题；（填“真”或“假“
（2）以、、中的两个为条件，第三个为结论，写出一个真命题，并加以证明．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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