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能带理论习题
能带理论习题
4.1 根据 状态简并微扰的结果求出与E+、E-对应的本征态波函数 、 ，说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布，说明能隙的来源（假设 ）。
解:由于在布里渊区边界处非简并微扰的一级修正项变得很大，从而使非简并微扰论在此处不再适用，要采用简并微扰论，此时波矢可以写成（ 为小量）。
波函数可设为
（1）
（2）
将波函数代入薛定谔方程得
上式分别左乘　　和　　并对dx积分可以得到
两个线性方程式
A和B有非零解的条件是其系数行列式为零，即
（3）
（4）
（5）
其中 ，代表自由电子在
状态的动能。
在 时，即 =0 ，有
由上式可以解得
显然，相对于自由电子的能量，这里的能量发生了分裂，形成了能带，其能量差即为禁带宽度
（6）
（7）
（8）
根据上式我们知道禁带发生在 和 处，禁带宽度等于周期性势能展开式中，波矢为 的付立叶分量 Vn 绝对值得两倍。
当 时，由（4）式可得
（9）
有 ，则 ，此时有
而当 时，由（4）式可得
（11）
（10）
由于 且
即 ，于是得
（12）
显然，零级近似下的波函数代表驻波。在这两个驻波状态下，电子的平均速度为零。波矢为 的平面波，其波长 正好满足布拉格反射条件，遭到全反射，并同入射波形成干涉。
下页图中取了n=1的情况，画出了势能的曲线
和电子云分布的图像。
上图中，黑线表示晶体的周期势，红虚线表示
单原子的势场。从图中明显看出，原子附近的
势场要小于原子之间的势场，对应于能量低的
电子态(能量)；原子之间的势场较大，对应于
能量高的电子态(能量)。
该图给出了n=1情况下的电子云分布：从中可以看出，
主要分布在原子之间，电子与离子实的库仑作用相对较弱，所对应的能量 较高； 主要分布在原子附近，电子与离子实的库仑作用相对较强，所对应的能量 较低。
4.3 电子周期势场的势能函数为
其中a=4b,ω为常数
（1）试画出此势能曲线并求其平均值
（2）用近自由电子近似模型求出晶体的
第一个及第二个带隙的宽度
解： (1)首先，令n=0,画出一个周期的曲线，
然后根据周期性延拓到整个区间
0
势能平均值为
（2）第一个及第二个禁带的宽度分别为
这里V1,V2分别是V(x)的两个付氏分量
可得禁带宽度为
4.4 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格S态原子能级对应的能带 函数
解:由紧束缚近似得（只考虑最近邻，且S态具有球对称）
对面心立方晶体，最近邻数为12，晶格常数为a
取 处原子为参考原子，则
对体心立方晶体，最近邻数为8，晶格常数为a
取 处原子为参考原子，则
4.7 有一一维单原子链，间距为a，总长度为Na
（1）用紧束缚近似方法求出与原子s态能级对应
的能带 函数。
（2） 求出其能态密度函数表达式。
（3） 若每个原子s态上只有一个电子，求T=0K
时的费密能级 及 处的能态密度。
解: (1)取单原子链沿x轴方向,并取原点处的原子为
参考原子，一维情况下只有两个最近邻原子，此时
(2)一维情况下，k只有两个方向，求态密度时，对k的积分为2，此时态密度为
(3)一维情况下，由于状态在k空间分布是均匀的，若每个原子s态上只有一个电子，在T=0K
时，电子只能从最低能态依次填充，由于每个态可容纳不同自旋的两个电子，故电子只能填充一半的能态，有
4.13 证明面心立方晶体的s带紧束缚近似下的 E(k) 函数，在沿着布里渊区几个主对称轴方向可以约化为以下形式：
（1）沿
（2）沿
（3）沿
（4）沿
解： 由（4.4）的结果：面心立方晶格s态原子能级在紧束缚近似下能带函数为
其中
（1）将 代入上式得
同理可求得（2）、（3）、（4）式。
沿
沿
沿

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