资源简介 (共21张PPT)能带理论习题能带理论习题4.1 根据 状态简并微扰的结果求出与E+、E-对应的本征态波函数 、 ,说明它们都代表驻波,并比较两个电子云分布,说明能隙的来源(假设 )。解:由于在布里渊区边界处非简并微扰的一级修正项变得很大,从而使非简并微扰论在此处不再适用,要采用简并微扰论,此时波矢可以写成( 为小量)。波函数可设为(1)(2)将波函数代入薛定谔方程得上式分别左乘 和 并对dx积分可以得到两个线性方程式A和B有非零解的条件是其系数行列式为零,即(3)(4)(5)其中 ,代表自由电子在状态的动能。在 时,即 =0 ,有由上式可以解得显然,相对于自由电子的能量,这里的能量发生了分裂,形成了能带,其能量差即为禁带宽度(6)(7)(8)根据上式我们知道禁带发生在 和 处,禁带宽度等于周期性势能展开式中,波矢为 的付立叶分量 Vn 绝对值得两倍。当 时,由(4)式可得(9)有 ,则 ,此时有而当 时,由(4)式可得(11)(10)由于 且即 ,于是得(12)显然,零级近似下的波函数代表驻波。在这两个驻波状态下,电子的平均速度为零。波矢为 的平面波,其波长 正好满足布拉格反射条件,遭到全反射,并同入射波形成干涉。下页图中取了n=1的情况,画出了势能的曲线和电子云分布的图像。上图中,黑线表示晶体的周期势,红虚线表示单原子的势场。从图中明显看出,原子附近的势场要小于原子之间的势场,对应于能量低的电子态(能量);原子之间的势场较大,对应于能量高的电子态(能量)。该图给出了n=1情况下的电子云分布:从中可以看出,主要分布在原子之间,电子与离子实的库仑作用相对较弱,所对应的能量 较高; 主要分布在原子附近,电子与离子实的库仑作用相对较强,所对应的能量 较低。4.3 电子周期势场的势能函数为其中a=4b,ω为常数(1)试画出此势能曲线并求其平均值(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙的宽度解: (1)首先,令n=0,画出一个周期的曲线,然后根据周期性延拓到整个区间0势能平均值为(2)第一个及第二个禁带的宽度分别为这里V1,V2分别是V(x)的两个付氏分量可得禁带宽度为4.4 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格S态原子能级对应的能带 函数解:由紧束缚近似得(只考虑最近邻,且S态具有球对称)对面心立方晶体,最近邻数为12,晶格常数为a取 处原子为参考原子,则对体心立方晶体,最近邻数为8,晶格常数为a取 处原子为参考原子,则4.7 有一一维单原子链,间距为a,总长度为Na(1)用紧束缚近似方法求出与原子s态能级对应的能带 函数。(2) 求出其能态密度函数表达式。(3) 若每个原子s态上只有一个电子,求T=0K时的费密能级 及 处的能态密度。解: (1)取单原子链沿x轴方向,并取原点处的原子为参考原子,一维情况下只有两个最近邻原子,此时(2)一维情况下,k只有两个方向,求态密度时,对k的积分为2,此时态密度为(3)一维情况下,由于状态在k空间分布是均匀的,若每个原子s态上只有一个电子,在T=0K时,电子只能从最低能态依次填充,由于每个态可容纳不同自旋的两个电子,故电子只能填充一半的能态,有4.13 证明面心立方晶体的s带紧束缚近似下的 E(k) 函数,在沿着布里渊区几个主对称轴方向可以约化为以下形式:(1)沿(2)沿(3)沿(4)沿解: 由(4.4)的结果:面心立方晶格s态原子能级在紧束缚近似下能带函数为其中(1)将 代入上式得同理可求得(2)、(3)、(4)式。沿沿沿 展开更多...... 收起↑ 资源预览