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2023年中考数学重难点突破——三角形的面积（1）
一、综合题
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于B，与x轴交于A，与y轴交于C．
（1）若点B（2，6）时，
①求一次函数和反比例函数的解析式；
②在y轴上取一点P，当△BCP的面积为3时，求点P的坐标；
（2）过点B作BD⊥x轴于点D，点E为AB中点，线段DE交y轴于点F，连接AF．若△AFD的面积为，求k的值．
2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E， ， ，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．
（1）如图1，当 时，求 的值；
（2）如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设 ， ．
①求证： ；
②求y与x之间的函数关系式．
3．如图，长方形中，满足，点在轴的正半轴上，，动点从出发，沿射线方向以单位/秒的速度运动，运动时间为秒．
（1）点的坐标　 　，点的坐标　 　；
（2）设的长为），请用含有的式子表示；
（3）连接，和，当为何值时，三角形的面积与长方形的面积相等，并求出此时的点的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝－x＋3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C.
（1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；
（2）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP＝S△COB，请求出点P的坐标；
（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，于轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若为线段的中点，连接，求三角形的面积；
（3）在（2）的条件下，点是抛物线第二象限上一点，若，求点的横坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）直接写出一次函数的函数解析式　 　；
（2）M为直线上一点，过点M作y轴的平行线交于点N，当时，直接写出点M的坐标　 　；
（3）Q为直线上一点，若，Q点坐标是　 　．
7．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．
（1）动点P运动2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
8．如图
（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，所以4×ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为　 　．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
9．如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形.
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ.当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋BQ的最小值.
10．在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别在轴和轴上，直线分别交轴正半轴、轴负半轴于点、，且．
（1）如图1，若是线段延长线上一点，分别作的角平分线与邻补角的角平分线，两线所在直线交于点．
①若，则的度数为 ▲ ；
②求的度数；
（2）如图2，点、、的坐标分别为、、，是第三象限内一动点，试探究、与之间的数量关系，并求出相应的的取值范围．
11．如图1，已知，定点P在射线上，动点B在射线上，作凸四边形，使，且.
（1）如图1，当为锐角时.
①若，试用含的式子表示；
②过点C作于点H，求证：.
（2）如图2，当点B运动到时，连接交于点K，试用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若点B关于直线的对称点为点D，连接，，当为等腰直角三角形时，请直接写出的值.
12．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°.
（1）如图1，连接BE，CD，BE的延长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；
（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝6，AD＝3，求△PDE的面积.
13．已知，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，.延长BC至点E，使，连接ED，点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为，过点F作垂足为点F交CE于点G；点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为，过点H作，交BD于点P，当F点停止运动时，点H也停止运动.设运动时间为，解答下列问题：
（1）求证：；
（2）是否存在某一时刻，使G点在ED的垂直平分线上 若存在，求出值；若不存在，请说明理由.
（3）设六边形PCGFDH的面积为，求与的函数关系式；
（4）连接HG，是否存在某一时刻，使 若存在，求出值；若不存在，请说明理由.
14．综合与探究
如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点D在第一象限内的抛物线上．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）若，求出点D的坐标；
（3）如图2，在满足（2）的条件下，连接交于点E．则是否平分线段？请说明理由．
15．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且tan∠CBD，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连接PB，求PC＋PB的最小值．
16．问题提出
（1）如图1，在四边形中，，，，，将绕点D逆时针旋转90°得.
①求线段的长；
②求点E到的距离.
（2）如图2，为积极响应北京冬奥会“三亿人上冰雪”，让冰雪运动走向大众，某地利用山谷坡地准备建造一处滑雪场地，按设计要求，在上选一点E，修建格挡和，使且，为工作区，为热身试滑区域.已知，，.请问是否存在符合设计要求的面积最大的热身试滑区域？若存在，求出面积的最大值及此时的长；若不存在，请说明理由.
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），动点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，△OPA的面积为S.
（1）求S关于x的函数表达式和x的取值范围.
（2）求当S＝2时点P的坐标.
（3）OP+PA的最小值为　 　.
18．如图，四边形中，已知，且.
（1）求证：；
（2）记的面积为，的面积为.
①求证：；
②过点B作的垂线，过点A作的平行线，两直线相交于M，延长至P，使得，连接.当取得最大值时，求的大小.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：①一次函数y＝x+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于，
将分别代入y＝x+b，
解得
②设，根据题意，
，令，则，即
即
解得或
点P的坐标为或
（2）解：设，
轴，则
点在一次函数上，则
是的中点，则
设直线的解析式为
将点，代入得：
解得
直线的解析式为
点在轴上
令，则
即
解得
2．【答案】（1）解：如图1，连接OD，
∵直径AB⊥CD，CD=6，
∴DE=CD=3，
又∵AB=10，
∴AO=OD=OB=5，
∴OE＝4，
∴AE＝9，
∵DP＝4，
∴PE=4+3=7，
∴tan∠P==；
（2）解：①证明：如图2，连接BQ，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BAQ=90°，
∴∠BAP+∠ABQ＝90°，
∵AB⊥CP，
∴∠CPA+∠BAP＝90°，
∴∠ABQ=∠CPA，
又∵∠ACQ＝∠ABQ（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ACQ＝∠CPA；
②如图2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
由（1）可知：AE=9，EC=3，
∴AC2=AE2+EC2=90，
∵四边形AQDC为⊙O的内接四边形，
∴∠PDQ=∠CAQ，
由①得：∠ACQ＝∠CPA，
∴∠P=∠ACQ，
∴△PDQ∽△CAQ，
∴ PD2：AC2=S△PDQ：S△CAQ=x2：90，
又∵==，=y，
∴=，
∴=，
∴y=（x＞0）.
3．【答案】（1）(-3，4)；（6，0）
（2）解：∵动点从出发，沿射线方向以单位/秒的速度运动，运动时间为秒，
∴，
当点在线段上时，
∵
∴当点P到达点B处时，，
∴时，，
∴，
当时，点在线段外，
∴，
∴，
综上所述，的长为：或．
（3）解：∵三角形的面积与长方形的面积相等，
如图，点在线段上移动时，
，
解得：，
∴，
∴点坐标为；
如图，点在的延长线上时，
，
，
解得：，
，
∴点坐标为．
终上所述，秒和秒时，三角形的面积与长方形的面积相等，
点坐标为，．
4．【答案】（1）解：直线l2的解析式为y＝－ x＋3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），
联立式y＝x，y＝－ x＋3并解得：x＝2，故点C（2，2）；
△COB的面积＝ ＝ ×3×2＝3；
（2）解：设点P（m，－ m＋3），
S△COP＝S△COB，则BC＝PC，
则（m－2）2＋（－ m＋3－2）2＝22＋12＝5，
解得：m＝4或0（舍去0），
故点P（4，1）；
（3）点Q的坐标为（0， ）或（0， ）或（0， ）
5．【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由，令，即，
∴，
∵为线段的中点，，
∴
∴，
（3）解：如图，作平分交于，过作于，过作于，过作轴，过作于，过作于，
平分
，
，
，
，
，
，
由 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设NR=m，PR=n， 则
，
，
，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
，
即，
解得：或，
∴的横坐标为．
6．【答案】（1）
（2）(3，1)
（3）或
7．【答案】（1）解：∵∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝2cm，
∴BP=，AP=4-2=2cm，
∴ △ABP的周长 =AB+BP+AP=5+2+=7+ .
（2）解： ∵AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴P在AC上运动时△BCP为直角三角形，
∴0＜t≤4，
当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，
∵×AB×CP＝×AC×BC，
∴×5×CP＝×3×4，
解得：CP＝cm，
∴AP＝cm
∴AC＋AP＝cm，
∵速度为每秒1cm，
∴t＝，
综上所述：当0＜t≤4或t＝365，△BCP为直角三角形；
0＜t≤4或t= .
（3）解： 当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t 3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t＋2t 3+3＝(3+4+5）÷2，
∴t＝2；
当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t 4，AQ＝2t 8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t 4＋2t 8＝6，
∴t＝6，
∴当t＝2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
8．【答案】（1）解：梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，
也利用表示为ab+c2+ab，
∴a2+ab+b2＝ab+c2+ab，
即a2+b2＝c2；
（2）
（3）解：∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，
∴边长为a﹣2b，
由此可画出的图形为：
9．【答案】（1）解：作DF⊥AC
∵点E是BD的中点
∴BE=DE
故
∵AD=4，△ADE是等边三角形，DF⊥AE
∴AF=EF=2，∠ADF=30°
∴DF=
∵在Rt△DEC中，CD=5，DF=，根据勾股定理得：
FC=
∴CE=CF-EF=
=
（2）证明：延长AF使AF=FG如下图
∵△AED是等边三角形
∴∠AED=∠ADE=60°，AE=AD=ED
∵AF=FG，点F是CD的中点
∴CF=FD又∠AFD=∠CFG
∴△AFD≌△GFC
∴CG=AD，∠FCG=∠ADF
∴CG=AE
又∵∠CEB=∠ECD+∠EDC=60°，
∴∠ACG=∠FCG+∠ACD=∠ADF+∠ACD=120°
又∠AEB=120°
∴∠AEB=∠ACG，∠CAG=∠ABD
又CG=AE
∴
∴AB=AG
故AB=2AF
（3）解：如下图，过点Q作QG⊥BG，使∠NBE=∠GBQ，在Rt△BQG中，sin∠BQG= 则GQ=BQ，故CQ＋BQ=CQ+QG，由∠APD=90°，可知点P的运动轨迹为AD为直径的圆，⊙N .点G为以BE的中点为圆心的圆，点G的运动轨迹为圆.当点C、Q、G在同一条直线上时，CQ+QG的长度最小.
∵AB∥CD，∠APD＝90°
∴四边形ADCK为正方形，有AD= AB=
∴CK=AD=又tan∠ABC＝2
∴BC=
∵AN= ，GN=
∴CL=CD-DL=
∠BGN=∠GCL
∴Rt△BGN≌Rt△GCL
∴BG=CG
在Rt△BGC中，BC=
∴CG=
即CQ＋BQ的最小值=
10．【答案】（1）①=；
②设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵在四边形中，，
∴
．
∴的度数为．
（2）解：如图，作直线交轴于点，交的延长线于点，连接，
∴，，轴，
∴，
∵、、，
∴，，，
∴，
解：，
∴，
∵是第三象限内一动点，
∴点在直线上，且，
分两种情况：
第一种情况：当点在之间时，即，
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
第二种情况：当点在的延长线上时，即，
如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即．
综上所述，当时，；当时，．
11．【答案】（1）解：①解：如图1中，
∵∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α，
∵∠CPB＝150°，
∴∠CPA＝∠CPB﹣∠APB＝150°﹣（150°﹣α）＝α；
②证明：如图1中，过点P作PT⊥AB于点T，
∵CH⊥AP，
∴∠CHP＝∠PTB＝90°，
∵∠CPA＝α，∠ABP＝α，
∴∠CPH＝∠PBT，
∴PC＝PB，
∴△CPH≌△PBT（AAS），
∴CH＝PT，
∵∠ATP＝90°，∠PAT＝30°，
∴PA＝2PT，
∴CH＝PTPA；
（2）解：结论：AB﹣PC＝2PK.
理由：如图，过点K作KJ⊥AP交AB于点J.
∵PC∥AB，
∴∠APC＝∠PAB＝30°，
∵PC＝PB，∠CPB＝150°，
∴∠PCB＝∠PBC＝15°，
∴∠PCB＝∠ABC＝15°，
∴∠KBP＝∠KBJ，
∵∠PKB＝∠KPC+∠PCK＝30°+15°＝45°，∠PKJ＝90°，
∴∠BKP＝∠BKJ＝45°，
∵BK＝BK，
∴△BKP≌△BKJ（ASA），
∴PK＝JK，PB＝BJ，
∵∠AKJ＝90°，∠KAJ＝30°，
∴AJ＝2KJ＝2PA，
∴AB＝PC＝AB﹣PB＝AB﹣BJ＝AJ＝2PK.
（3）或
12．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE
＝90°.
∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，
即∠BAE＝∠DAC，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠ABE+∠AFB＝∠ACD+∠CFP＝90°，
∴∠CPF＝90°，
∴BP⊥CD；
（2）解：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，
∵∠PDB＝∠ADC，
∴∠BPD＝∠CAB＝90°，
∴∠EPD＝90°，
∵BC＝6，AD＝3，
∴DE＝3，AB＝6，
∴BD＝6﹣3＝3，CD＝，
∵△BDP∽△CDA，
∴，
∴，
∴PD＝，PB＝
∴PE＝﹣＝，
∴△PDE的面积＝.
13．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴，，，，，
∴， ，
∵，
∴， ，
∴四边形为平行四边形， ，
∴ ，
∴，
∴，即；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴ ，
∵，
∴当时，使G点在ED的垂直平分线上，
∴；
（3）解：∵点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为，点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为，
∴ ，
∵，，，，，
∴cm，
∴ ，
∵菱形ABCD，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴ ，
如图，延长CP，交AD于点M，
∵，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴， ，
∴，
∴ ，
∴ ，
设和的距离为 ，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∴ ，
∴六边形PCGFDH的面积，
cm，
∴；
（4）解：∵，
∴ ，
∴ ，
∵，
当时，得，
∴ ，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴ ，
∵，
∴，
∴当时，．
14．【答案】（1）解：，，
（2）解：过点D分别作轴，轴，垂足分别为G，H．
设．
∵．
∵．
∴
解得，（舍去）．
当时，．
∴．
（3）解：平分．理由如下：
过点D作轴，并且交直线于点Q．
设直线BC的解析式为．
把，代入，得，解得，．
∴直线的解析式为．
∵点Q的横坐标为2，把代入，得．
∴点．
∴．
∴．
又∵，，
∴，
∴．
∴平分
15．【答案】（1）解：根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴D（2，0），
又∵，
∴CD＝BD tan∠CBD＝4，
即C（2，4），
代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），
解得 ，
∴二次函数的解析式为 x2
（2）解：①设P（2，t），其中0＜t＜4，
设直线BC的解析式为 y＝kx+b，
∴，
解得
即直线BC的解析式为 ，
令y＝t，得：，
∴点E（5t，t），
把 代入，得 ，
即，
∴，
∴△BCF的面积EF×BD（t），
∴当t＝2时，△BCF的面积最大，且最大值为；
②如图，据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，
∴，
过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，，
∴，
过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，
∴线段BH的长就是的最小值，
∵，
又∵，
∴，
即，
∴的最小值为．
16．【答案】（1）解：①如图，过点D作DF⊥BC于点F，则∠BFD=90°，
∵，，
∴∠A=90°，
∴∠A=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴DF=AB=7，BF=AD=2，
∵，
∴CF=5，
∴；
②如图，过点E作EG⊥BC交BC延长线于点G，过点D作DH⊥EG于点H，
根据题意得：∠CDE=90°，CD=ED，
∵∠FGH=∠DHG=∠DFG=∠DHE=90°，
∴四边形DFGH是矩形，
∴∠FDH=90°，HG=DF=7，
∴∠CDF=∠EDH，
∴△CDF≌△EDH，
∴DH=DF=7，EH=CF=5，
∴EG=EH+HG=12，
即点到的距离为12；
问题解决
（2）解：如图，过点B作BQ⊥AC，交AC延长线于点Q，过点D作DP⊥AC，交AC延长线于点P，
设AE=x，则EC=AC-AE=31-x，
∵∠ACB=120°，
∴∠BCQ=180°-∠ACB= 180°-120°=60°，
∵BQ⊥AQ，
∴∠BQC=90°，
∴∠CBQ=30°，
∵BC=18cm，
∴，
∴EQ=EC+CQ=31-x+9=（40-x）cm，
∵∠BED=90°，
∴∠BEC+∠DEC=90°，
∵∠BEC+∠EBQ=90°，
∴∠DEC=∠EBQ，
∵∠BQE=∠EPD=90°，BE=DE，
∴△BEQ≌△EDP（AAS），
∴EQ=DP=（40-x）cm，
∴，
∴当x=20时，S△ADE最大，最大值为200，
即当AE=20m时，面积的最大，最大值为200m2.
17．【答案】（1）解：∵x+y=8，
∴y=8-x，
∴S=×2×（8-x）=8-x，
即S关于x的函数表达式为S=8-x；
∵P（x，y）在第一象限，
∴x＞0且y＞0，
∴x＞0且8-x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜8；
（2）解：∵S=2，
∴2=8-x，
解得x=6，
∴y=8-6=2，
∴当S=2时，点P的坐标是（6，2）；
（3）10
18．【答案】（1）证明：如图，设，相交于点O.
∵，
∴，.
又∵，
∴；
（2）解：①如图，过点B作于点E，过点C作于点F，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴.
∵，，
∴.
∵，，
∴，
∴.
又∵，
∴
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴.
∵，，
∴.
又∵，
∴；
②如图，延长与相交于点N，连接，
∵且，
∴，，
∴，
∴，
∴.
∵，即，
∴.
∵，，
∴，即.
又∵，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴点P在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，
∴当M，A，P三点共线时，取得最大值，如图.
∵
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.

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