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6.2.4 平面向量的数量积
第六章 平面向量及其应用
1.向量的夹角
B
θ
A
O
夹角要求共起点
说出下列两个向量 和 的夹角的大小是多少？
(1)
(3)
┐
(5)
两个非零向量的夹角应该注意两个向量共起点.
巩固新知
40O
(2)
╮
40O
60O
(4)
60O
60O
(6)
60O
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功 ，
其中θ是F与s的夹角．
标量
矢量
如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，W比作力与位移的乘积，其结果又该如何表述？
注: （1）
2.平面向量的数量积：
（3） 不能写成 ，“· ”也不能省略。
（4） 与任一向量的数量积为0
（2）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定
例1
例2
知三求一
认识投影向量
设a,b是两个非零向量，a，b，
我们考虑如下的变换：
过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，
我们称上述变换为向量a向向量b投影
叫做向量a在向量b上的投影向量．
投影向量
与向量b方向相同
与向量b方向相反
大小
方向
设向量与都是非零向量，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量.则
(1)·＝·＝||·cos.
(2)⊥ ·＝ .
(3)当，·＝ .当，·＝ .
特别地，·＝ 或||＝ .
(4)|·| ||||.
向量的数量积的性质
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？
例11 我们知道，对任意R,恒有
对任意向量, ,是否也有下面类似的结论？
(1)=+2 +; (2) (+) (-)=-.
例12
例13 已知||=3，||=4,且与不共线.当k为何值时，向量+k与-k互相垂直？
例14

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