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第六章计数原理
章前导入
汽车号码牌的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按照适当顺序排列而成。随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号码序号需要扩容，那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？这就需要“数出”某种汽车号码牌序号组成的方案下所有可能的序号数，这就是计数。
章前导入
比如：日常生活、生产中类似的问题大量存在 . 例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，计算自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛.
又比如：用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号……如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法 . 但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗？
章前导入
在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法 . 这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理 . 这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式——排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题.
作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理.
第六章计数原理
6.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理
两个课时
课程标准
通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义
新课导入
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？
本节课，我们会分析一些简单的问题（实例），并尝试从中得出巧妙的计数方法.
一
二
三
教学目标
通过实例，归纳总结分类加法、分步乘法原理
能正确理解“完成一件事”的正确含义，能根据事件完成的特征，正确选择“分类”加法、分步乘法进行计算
能利用分类加法、分步乘法计数原理解决相关问题
教学目标
难点
重点
新知探究
探究一：通过实例，归纳总结分类加法计数原理
新知讲解
问题1 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
因为英文字母共有26个
阿拉伯数字共有10个
所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.
新知讲解
问题2 你能说说这个问题的特征吗?
首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是 “或”字的出现: 一个座位可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示 . 因为英文字母、阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也是互不相同的 .
这两类号码数相加就得到号码的总数.
概念生成
上述计数过程的基本环节是：
(1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
(2)分别计算各类号码的个数；
(3)各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.
一般地，有如下分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法
那么完成这件事共有????＝????＋????种不同的方法.
?
例题讲解
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
问题：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
分析 : 要完成的事情是“选一个专业” . 因为这名同学在???? , ????两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.
?
选????或????
?
例题讲解
解：这名同学可以选择????，????大学中的一所.
这名同学可以选择????，????大学中的一所 .
在????大学中有5种专业选择 方法，在????大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的.
所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为 N=5+4=9
?
新知讲解
如果完成一件事有三类不同方案, 在第1类方案中有????????种不同的方法，在第2类方案中有????????种不同的方法,在第3类方案中有????????种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
?
推广：如果完成一件事有????类不同方案, 在第1类方案中有????????种不同的方法，在第2类方案中有????????种不同的方法，…，在第????类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为:
?
????＝????????＋????????＋????????
?
????＝????????＋????????＋…＋????????
?
新知探究
探究二：通过实例，归纳总结分步乘法计数原理
例题讲解
问题2 用???? , ???? , ???? , ???? , ???? , ????这6个大写英文字母1～9九个阿拉伯数字，以????????，????????，···，????????，????????，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
?
这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题要求不同 . 在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码 .
但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤。
请大家思考下，我们能用什么方法能够将编号准确表示？
例题讲解
法一：列举法：将编号一个一个列举出来，注意顺序，注意不要遗漏
法二：树状图
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
9种
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
9种
......
例题讲解
由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们互不相同
因此共有6 × 9 =54个不同的号码.
新知讲解
问题3 你能说说这个问题的特征吗？
上述问题要完成的一件事情仍然是给一个座位编号，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的.
概念生成
一般地，有如下分步乘法计数原理：
完成一件事需要分成两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，则完成这件事共有
????= ????×???? 种不同的方法.
?
例题讲解
例2 某班有男生30名，女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛, 共有多少种不同的选派方法？
解析：第一步: 先选男生 , 从30名男生中选出1人，有30种不同选法；
第二步：选女生有，从24名女生中选出1人, 有24种不同选择 .
根据分步乘法计数原理
共有不同的选法种数为30×24＝720
概念生成
问题4 如果完成一件事需要三个步骤, 做第1步有m1种不同的方法 , 做第2步有m2种不同的方法 , 做第3步有m3种不同的方法, 那么完成这件事共有多少种不同的方法？
N= m1×m2×m3
问题5 （推广）如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法 ， ……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
N= m1×m2×… ×mn
新知讲解
解决计数问题的一般思维过程：
方法的“分类”
要完成的一件事
如何完成这件事
过程的“分步”
利用分类加法
计数原理计数
利用分步乘法
计数原理计数
分类要做到不重不漏. 分类后再分别对每一类进行计数, 最后用分类加法计数原理求和, 得到总数.
分步要做到步骤完整. 即完成了所有步骤 , 恰好完成任务. 分步后再计算每一步的方法数 , 最后根据分步乘法计数原理 , 把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
概念生成
加法原理看成“并联电路”
……
A
B
m1
m2
mn
????＝????????＋????????＋…＋????????
?
概念生成
…
A
B
m1
m2
mn
乘法原理看成“串联电路”
N= m1×m2×… ×mn
例题讲解
例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，
(1)从书架上任取1本书，有多少不同的取法？
(2)从书架的第1, 2, 3层各取1本书, 有多少不同的取法?
分析: (1)要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（分类加法）
分析: (2)要完成的一件事是“从书架第1层、第2层、第3层中各取1本书”，可以分三个步骤完成.（分步乘法）
新知讲解
解：(1)从书架上任取1本书，有三类方案：
第1类方案, 从第1层中任取一本计算机书, 有4种方法;
第2类方案, 从第2层中任取一本文艺书, 有3种方法;
第3类方案：从第3层中任取一本体育书, 有2种方法.
根据分类加法记数原理, 不同取法种数是N = 4+3+2= 9
(2)从书架的第1 , 2 , 3层各取1本书, 可以分成三个步骤完成：
第1步: 从第1层中任取一本计算机书, 有4种方法;
第2步:从第2层中任取一本文艺书, 有3种方法;
第3步:从第3层中任取一本体育书, 有 2 种方法；
根据分步乘法记数原理, 不同取法种数是N=4×3×2=24
小结
（1）两个计数原理
分类加法（或）、分步乘法（和）
（2）表示方式
列举法、树状图、表格
（3）注意：分类要做到不重不漏. 分步要做到“步骤完整”
第六章计数原理
6.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理
新知探究
探究：利用分类加法、分步乘法计数原理解决相关问题
例题讲解
例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅 , 分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
解: 从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：
第1步, 从3幅画中选出1幅挂在左边墙上, 有3种选法；
第2步, 从剩下的2幅画中选1副挂在右边墙上, 有2种选法 .
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是：????=????×????=????
?
请大家验证一下，是否为6种不同的的取法呢？
新知讲解
左边 右边 相应的挂法
甲
乙
丙
乙
丙
左甲右乙
左甲右丙
左乙右甲
左乙右丙
左丙右甲
左丙右乙
甲
乙
甲
丙
我们可以采用树状图的方式
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题. 区别在于:
分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事.
例题讲解
例6 字节是计算机中数据存储的最小计量单位, 每个字节由8个二进制位构成.
(1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？
(2)计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
2种
2种
2种
2种
2种
2种
2种
2种
新知讲解
（1）每一格代表一位， 1个字节共有8位，每位上有2种选择，根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是
2×2×2×2×2×2×2×2=28=256.
(2)由(1)知, 1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能表示多少个字符.
前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法，根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是256×256=65536
2种
2种
2种
2种
2种
2种
2种
2种
这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6736. 因此要对这些汉字进行编码，每个汉字要用2个字节表示.
例题讲解
例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试. 程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线), 以便知道需要提供多少个测试数据. 一般地，一个程序模块由许多子模块组成.
如图是一个具有许多执行路径的程序模块, 它有多少条执行路径？
另外 , 为了减少测试时间 , 程序员需要设法减少测试次数, 你能帮助程序员设计一个测试方法, 以减少测试次数吗?
分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成:
第1步是从开始执行到A点 ; 第2步是从A点执行到结束.
而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成;
第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成
因此, 分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.
例题讲解
解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为18+45+28=91;
子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81
又由分步乘法计数原理，
整个模块的执行路径条数共为91×81=7371.
在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块. 这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常，总共需要的测试次数为18+45+28+38+43=172.
例题讲解
再测试各个模块之间的信息交流是否正常, 只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为3×2=6.
如果每个子模块都工作正常，并且各个
子模块之间的信息交流也正常 , 那么整个程序模块就工作正常.
这样 , 测试整个模块的次数就变为172+6=178.
显然，178与7371的差距是非常大的.
例题讲解
例8 通常, 我国民用汽车号牌的编号由两部分组成: 第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示.
其中，序号的编码规则为：
(1)由10个阿拉伯数字和除????, ????之外的24个英文字母组成；
(2)最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
?
冀A·JR005
分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数. 按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母，以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号分为五个子类，将有2个字母的序号分为十个子类.
例题讲解
解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：
没有字母，有1个字母，有2个字母.
(1)当没有字母时, 序号的每一位都是数字. 确定一个序号可以分5个步骤, 每一步都可以从10个数字中选1个, 各有10种选法，根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为10×10×10×10×10=100000
例题讲解
(2)当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.当第1位是字母时, 分5个步骤确定一个序号中的字母和数字: 第1步, 从24个字母中选1个放在第1位, 有24种选法; 第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置, 各有10种选法, 根据分步乘法计数原理, 号牌张数为240000
同样, 其余四个子类号牌也各有240000张
根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为
240000+240000+240000+240000+240000=1200000.
例题讲解
当有2个字母时, 根据这2个字母在序号中的位置, 可以将这类序号分为十个子类: 第1和第2位, 第1和第3位, 第1和第4位, 第1和第5位, 第2和第3位, 第2和第4位,第2和第5位, 第3和第4位, 第3和第5位, 第4和第5位.
当第1位和第2位是字母时, 分5个步骤确定一个序号中的字母和数字: 第1, 2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.
根据分步乘法计数原理，号牌张数为
24×24×10×10×10=576000
同样, 其余九个子类号牌也各有576000张. 于是, 这类号牌张数一共为 576000×10=5760000.
综合(1)(2)(3), 根据分类加法计数原理, 这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为
100000+1200000+5760000=7060000.
小结
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点 :
(1)要完成的“一件事”是什么;
(2)需要分类还是分步.
分类加法、分步乘法
领导者心态：安排妥当，分类清楚，步骤明确

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