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2023年中考数学精选真题实战测试10 二次根式B
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·仙桃）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2021·桂林）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2021·武威）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）（2020·攀枝花）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（　　）．
A．-2 B．0 C．-2a D．2b
5．（3分）（2022·重庆）估计 的值应在（　　）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
6．（3分）（2021·内江）函数 中，自变量 的取值范围是（　　）
A． B． 且
C． D． 且
7．（3分）（2021·常德）计算： （　　）
A．0 B．1 C．2 D．
8．（3分）（2021·杭州）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）（2020·雅安）已知 ，则a+2b的值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．（3分）（2020·赤峰）估计 的值应在 （　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022八上·通州期中）若，则a的取值范围是　 　．
12．（3分）（2022八上·莲湖月考）已知，则　 　．
13．（3分）（2021·德阳）我们把宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为 1，则该矩形的周长为 　 　.
14．（3分）（2022八上·嘉定期中）若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是　 　．
15．（3分）（2022七上·鄞州期中）已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则2a+b﹣＝　 　.
16．（3分）（2022八上·渭滨月考）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：，如，则　 　．
三、解答题（共9题，共72分）(共9题；共72分)
17．（5分）计算：（1﹣）++（）﹣1．
18．（5分）（2020·大连）计算
19．（5分）（2019·大连）计算：
20．（5分）（2019·达州）计算： ．
21．（8分）（2020·通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定 ，如： ．
（1）（4分）求 ；
（2）（4分）若 ，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
22．（10分）（2022八上·电白期中）请仔细观察计算过程，完成下列问题：
；
；
；
......
（1）（3分）　 　 ；
（2）（3分）　 　（为正整数）；
（3）（4分）求的值．
23．（10分）（2022八上·长清期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，使得，，那么便有：（）．
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，
即，，
∴．
（1）（3分）根据以上例子，请填空 =　 　； =　 　；
（2）（4分）化简，
24．（10分）（2022七上·桐乡期中）观察下列各式：
①；②；③
（1）（3分）请根据以上规律，写出第4个式子：　 　.
（2）（3分）请根据以上规律，写出第个式子：　 　.
（3）（4分）根据以上规律计算下列式子的值：.
25．（14分）（2022八上·西安月考）爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：来进一步化简．
比如：，
∴当即时，原式；当即时，原式．
（1）（4分）仿照上面的例子，请你尝试化简．
（2）（5分）判断甲、乙两人在解决问题：“，求的值”时谁的答案正确，并说明理由．
甲的答案：原式；
乙的答案：原式．
（3）（5分）化简并求值：，其中．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】D
10．【答案】A
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】 或4
14．【答案】 或
15．【答案】3
16．【答案】
17．【答案】解：原式=﹣3+2+3=3 ．
18．【答案】解：原式=2-1+（-2）+3
=1+1
=2.
19．【答案】解：原式
20．【答案】解：原式
21．【答案】（1） =
=
=
（2）∵ ，
∴
解得：
将解集表示在数轴上如下：
22．【答案】（1）
（2）
（3）解：
＝
＝
＝
＝9．
23．【答案】（1）；
（2）解：
．
24．【答案】（1）
（2） 的整数）
（3）解：
.
25．【答案】（1）解：
∴当即时，原式；
当即时，原式，
（2）解：两个人的答案都不正确，
正确的解法是：
当时，原式；
（3）解：
，
∵，
∴，
∴
，
当时，原式．2023年中考数学精选真题实战测试9 二次根式A
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·丹东）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x≥﹣3
C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0
2．（3分）（2022·安顺）估计的值应在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
3．（3分）（2022·鄂尔多斯）下列说法正确的是（　　）
①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
4．（3分）（2022·大连）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022·河北）下列正确的是（）
A． B． C． D．
6．（3分）（2021·泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
7．（3分）（2020·泰州）下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）（2020·朝阳）计算 的结果是（　　）
A．0 B． C． D．
9．（3分）（2021·娄底） 是某三角形三边的长，则 等于（　　）
A． B． C．10 D．4
10．（3分）（2020·呼伦贝尔）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 的结果是（　　）
A． B．-1 C．1 D．
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·广安）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为　 　.
12．（3分）（2022·贺州）若实数m，n满足 ，则 　 　.
13．（3分）（2022·荆州）若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是　 　.
14．（3分）（2022·遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣ ＝　 　.
15．（3分）（2021·黄冈）人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 法就应用了黄金分割数.设 ， ，则 ，记 ， ，…， .则 　 　.
16．（3分）（2020·青海）对于任意不相等的两个实数a，b（ a > b ）定义一种新运算a※b= ，如3※2= ，那么12※4=　 　
三、解答题（共9题，共72分）(共9题；共72分)
17．（5分）（2021·福建）计算： .
18．（5分）（2020·南县）计算：
19．（5分）（2021·临沂）计算 ．
20．（5分）（2021·娄底）计算： .
21．（8分）（2022八上·晋江月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）（4分）求的值；
（2）（4分）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方根．
22．（8分）（2016·黄石）观察下列等式：
第1个等式：a1= = ﹣1，
第2个等式：a2= = ﹣ ，
第3个等式：a3= =2﹣ ，
第4个等式：a4= = ﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）（4分）请写出第n个等式：an=　 　；
（2）（4分）a1+a2+a3+…+an=　 　．
23．（10分）（2022八上·修水期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与．
（1）（3分）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：　 　，这样化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分母、分子同乘分母的有理化因式的方法就可以了．例如：．
（2）（3分）请仿照上述方法化简：；
（3）（4分）比较与的大小．
24．（10分）（2022八上·兴平期中）先观察下列的计算，再完成练习．
（1）；
（2）；
（3）．
请你分析、归纳上面的解题方式，解决如下问题：
（1）（3分）化简：；
（2）（3分）已知n是正整数，求的值：
（3）（4分）计算：．
25．（16分）（2022八上·淇滨月考）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）（2分）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）（2分）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　＝（　 　+　 　 ）2；
（3）（4分）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】D
10．【答案】D
11．【答案】11或13
12．【答案】7
13．【答案】2
14．【答案】2
15．【答案】10
16．【答案】
17．【答案】解：
.
18．【答案】解：
=
=7．
19．【答案】解：
=
=
=
20．【答案】解：
.
21．【答案】（1）解：∵AB＝2，
∴，
∴，
∴
；
（2）解：∵|2c＋6|与互为相反数，
∴，
∵，，
∴2c＋6＝0，d 4＝0，
∴c＝ 3，d＝4，
∴，
∴的平方根是．
22．【答案】（1）=
（2）
23．【答案】（1）解：与（答案不唯一）
（2）解：
（3）解：∵，
，
∵＜，
∴＜
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：原式
（2）解：
（3）解：原式
．
25．【答案】（1）m2+3n2；2mn
（2）7；4；2；1（答案不唯一）
（3）解：a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．2023年中考数学精选真题实战测试8 分式及分式方程B
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2020·金华·丽水）分式 的值是零，则x的值为（　　）
A．5 B．2 C．－2 D．－5
2．（3分）（2017·广州）下列运算正确的是（　　）
A． = B．2× =
C． =a D．|a|=a（a≥0）
3．（3分）（2022·眉山）化简的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
4．（3分）（2022·丹东）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x≥﹣3
C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0
5．（3分）（2022·龙东）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
6．（3分）（2022·泰安）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）（2022·遂宁）若关于x的方程 ＝ 无解，则m的值为（　　）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
8．（3分）（2022·重庆）关于x的分式方程 的解为正数，且关于y的不等式组 的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是(　　)
A．13 B．15 C．18 D．20
9．（3分）（2021·宜宾）若关于x的分式方程 有增根，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
10．（3分）（2022·襄阳）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·益阳）计算：﹣＝　 　．
12．（3分）（2022·菏泽）若，则代数式的值是　 　．
13．（3分）（2022·齐齐哈尔）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是　 　．
14．（3分）（2022·泸州）若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是　 　.
15．（3分）（2022·宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a b= ．若(x+1) x= ，则x的值为　 　
16．（3分）（2021·西藏）若关于x的分式方程 ﹣1＝ 无解，则m＝　 　.
三、解答题（共9题，共72分）(共9题；共72分)
17．（6分）（2020·大庆）解方程：
18．（6分）（2021·北部湾）解分式方程： .
19．（6分）（2021·陕西）解方程： .
20．（6分）（2022·西宁）解方程：．
21．（8分）（2022·朝阳）先化简，简求值：，其中．
22．（8分）（2022·鞍山）先化简，再求值： ，其中．
23．（10分）（2022·聊城）先化简，再求值：，其中．
24．（10分）（2022·通辽）先化简，再求值：，请从不等式组 的整数解中选择一个合适的数求值．
25．（12分）（2022·益阳）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．
（1）（6分）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
（2）（6分）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】C
10．【答案】B
11．【答案】2
12．【答案】15
13．【答案】m >0且m≠1
14．【答案】a＜-1
15．【答案】
16．【答案】2
17．【答案】解： ，
去分母得： ，
解得： ．
检验：把 代入 中，得 ，
∴ 是分式方程的根
18．【答案】解：
去分母，得 ，
解此方程，得 ，
经检验， 是原分式方程的根.
19．【答案】解：去分母（两边都乘以 ），得，
.
去括号，得，
，
移项，得，
.
合并同类项，得，
.
系数化为1，得，
.
检验：把 代入 .
∴ 是原方程的根
20．【答案】解：方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
21．【答案】解：
，
当时，原式=4
22．【答案】解：原式
，
当时，
23．【答案】解：
，
∵，
代入得：原式；
故答案为：；．
24．【答案】解：
，
，
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴，
∵a为整数，
∴a取0，1，2，
∵，
∴a=1，
当a=1时，原式．
25．【答案】（1）解：设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，依题意得：0.4，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．
（2）解：设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，依题意得：3%×10y＋2%×6×≤2.4%×100，解得：y≤4．答：最多安排甲收割4小时．2023年中考数学精选真题实战测试7 分式及分式方程A
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·玉林）若x是非负整数，则表示 的值的对应点落在下图数轴上的范围是(　　)
A．① B．② C．③ D．①或②
2．（3分）（2022·山西）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022·怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（3分）（2022·济南）若m－n＝2，则代数式的值是（　　）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
5．（3分）（2022·黔西）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022·通辽）若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（　　）
A． B．且
C． D．且
7．（3分）（2022·呼和浩特）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2022·哈尔滨）方程的解为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）（2022·威海）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）（2022·毕节）小明解分式方程的过程下.
解：去分母，得 .①
去括号，得 .②
移项、合并同类项，得 .③
化系数为1，得 .④
以上步骤中，开始出错的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·南通）分式有意义，则x应满足的条件是　 　．
12．（3分）（2022·黄石）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是　 　．
13．（3分）（2022·沈阳）化简：　 　．
14．（3分）（2022·济南）代数式与代数式的值相等，则x＝　 　．
15．（3分）（2022·鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 　 　.
16．（3分）（2022·江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为　 　．
三、解答题（共9题，共72分）(共9题；共72分)
17．（5分）（2022·梧州）解方程：
18．（5分）（2022·苏州）解方程： .
19．（5分）（2021·南京）解方程 .
20．（8分）（2022·黄石）先化简，再求值：，从-3，-1，2中选择合适的a的值代入求值．
21．（8分）（2022·郴州）先化简，再求值： ，其中 ， .
22．（8分）（2022·锦州）先化简，再求值：，其中．
23．（8分）（2021·呼和浩特）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？
24．（12分）（2022·宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
（1）（2分）任务一：填空
①以上化简步骤中，第　 　步是通分，通分的依据是　 　．
②第　 　步开始出现错误，错误的原因是　 　．
（2）（4分）任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
25．（13分）（2022·衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
（1）（5分）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）（8分）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】A
10．【答案】B
11．【答案】x≠2
12．【答案】a＜1且a≠0
13．【答案】x-1或-1+x
14．【答案】7
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】解：方程两边同时乘以 得到： ，
解出： ，
当 时分式方程的分母不为0，
∴分式方程的解为：
18．【答案】解：方程两边同乘以 ，得 .
解方程，得 .
经检验， 是原方程的解.
19．【答案】解： ，
，
，
，
检验：将 代入 中得， ，
∴ 是该分式方程的解
20．【答案】解：
∵且，
∴且，
∴，
当时，原式
21．【答案】解：原式
当 ， 时，原式
22．【答案】解：原式=
=
=
=，
把代入得：原式=．
23．【答案】解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为 元/个
由题意得：
∴
经检验， 是原分式方程的解且符合题意
∴A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个
设今年购进B足球的个数为a个，则购买A足球的数量为 个，由题意可得：
∴
∴最多可购进33个B足球
24．【答案】解：任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．,第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号；任务二：．
（1）一；分式的性质；二；去括号没有变号
（2）
25．【答案】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为 元，
答：新能源车的每千米行驶费用为 元
（2）解：①由题意得： ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，
则 ， ，
答：燃油车的每千米行驶费用为 元，新能源车的每千米行驶费用为 元；
②设每年行驶里程为 x 千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得： ，
解得 ，
答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低.2023年中考数学精选真题实战测试6 因式分解B
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2020·西藏）下列分解因式正确的一项是（　　）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．2xy+4x＝2（xy+2x）
C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．x2+y2＝（x+y）2
2．（3分）（2021·河池）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2019·贺州）把多项式4a2﹣1分解因式，结果正确的是（　　）
A．（4a+1）（4a﹣1） B．（2a+1）（2a﹣1）
C．（2a﹣1）2 D．（2a+1）2
4．（3分）（2021·铜仁）下列等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2021·杭州）因式分解： =（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2019·台湾）若多项式5x2+17x-12可因式分解成（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a+c之值为何？（　　）
A．1 B．7 C．11 D．13
7．（3分）（2019·潍坊模拟）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2021·贺州）多项式 因式分解为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）（2019·临沂）将 进行因式分解，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
10．（3分）（2018·邵阳）将多项式x﹣x3因式分解正确的是（　　）
A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2）
C．x（x+1）（x﹣1） D．x（1+x）（1﹣x）
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·黄石）分解因式：x3y﹣9xy=　 　．
12．（3分）（2022·沈阳）分解因式：　 　．
13．（3分）（2022·绥化）因式分解：　 　．
14．（3分）（2021·荆门）把多项式 因式分解，结果为　 　.
15．（3分）（2021·十堰）已知 ，则 　 　.
16．（3分）（2021·包头）因式分解： 　 　．
三、解答题（共8题，共72分）(共8题；共72分)
17．（5分）（2011·湖州）因式分解：a3﹣9a．
18．（6分）（2016·大庆）已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
19．（8分）（2014·杭州）设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．
20．（8分）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．
（1）（4分）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；
（2）（4分）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．
21．（9分）（2017·湘潭）由多项式乘法：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
示例：分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）
（1）（2分）尝试：分解因式：x2+6x+8=（x+　 　）（x+　 　）；
（2）（5分）应用：请用上述方法解方程：x2﹣3x﹣4=0．
22．（10分）（2018·重庆）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”.
（1）（5分）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）（5分）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，若四位数m为“极数”，记D（m）= .求满足D（m）是完全平方数的所有m.
23．（10分）（2017·重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．
（1）（5分）计算：F（243），F（617）；
（2）（5分）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k= ，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
24．（16分）（2019·随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为 ，我们可将这个两位数记为 ，易知 ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 .
（1）（2分）【基础训练】
解方程填空：
①若 ，则 　 　；
②若 ，则 　 　；
③若 ，则 　 　；
（2）（2分）【能力提升】
交换任意一个两位数 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 ，则 一定能被　 　整除， 一定能被　 　整除， 一定能被　 　整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
（3）（2分）【探索发现】
北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为　 　；
②设任选的三位数为 （不妨设 ），试说明其均可产生该黑洞数.　 　
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】C
10．【答案】D
11．【答案】xy(x+3)(x﹣3)
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】x(x+3)(x-1)
15．【答案】36
16．【答案】
17．【答案】解：原式=a（a2﹣9）
=a（a+3）（a﹣3）．
18．【答案】解：a3b+2a2b2+ab3
=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2，
将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=18．
故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18
19．【答案】解：能；
（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）
=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）
=（4x2﹣y2）2，
当y=kx，原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）2x4，
令（4﹣k2）2=1，解得k=± 或± ，
即当k=± 或± 时，原代数式可化简为x4
20．【答案】（1）【解答】解：四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）
任意一个四位“和谐数”都能被11整除，理由如下：
设任意四位“和谐数”形式为：abcd，则满足：
最高位到个位排列：d，c，b，a
个位到最高位排列：a，b，c，d．
由题意，可得两组数据相同，则：a=d，b=c，
则 ===91a+10b为正整数．
∴四位“和谐数”能被11整数，
又∵a，b，c，d为任意自然数，
∴任意四位“和谐数”都可以被11整除；
（2）【解答】
设能被11整除的三位“和谐数”为：xyz，则满足：
个位到最高位排列：x，y，z．
最高位到个位排列：z，y，x．
由题意，两组数据相同，则：x=z，
故 xyz=xyx=101x+10y，
故===9x+y+为正整数．
故y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．
21．【答案】（1）2；4
（2）解：∵x2﹣3x﹣4=0，
∴（x+1）（x﹣4）=0，
则x+1=0或x﹣4=0，
解得：x=﹣1或x=4
22．【答案】（1）解：如：1188，2475，9900（答案不唯一，符合题意即可）；
猜想任意一个“极数”是99的倍数，理由如下：
设任意一个“极数”为 （其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），
=1000x+100y+10(9-x)+(9-y)
=1000x+100y+90-10x+9-y
=990x+99y+99
=99(10x+y+1)，
∵x、y为整数，则10x+y+1为整数，
∴任意一个“极数”是99点倍数
（2）解：设m= （其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），由题意则有D（m）= =3（10x+y+1），
∵1≤x≤9，0≤y≤9，
∴33≤3（10x+y+1）≤300，
又∵D（m）为完全平方数且为3的倍数，
∴D(m)可取36、81、144、225，
①D(m)=36时，3（10x+y+1）=36，10x+y+1=12，∴x=1，y=1，m=1188；②D(m)=81时，3（10x+y+1）=81，10x+y+1=27，∴x=2，y=6，m=2673；③D(m)=144时，3（10x+y+1）=144，10x+y+1=48，∴x=4，y=7，m=4752；④D(m)=225时，3（10x+y+1）=225，10x+y+1=75，∴x=7，y=4，m=7425；
综上所述，满足D(m)为完全平方数的m的值为1188，2673，4752，7425.
23．【答案】（1）解：）F（243）=（423+342+234）÷111=9；
F（617）=（167+716+671）÷111=14．
（2）解：∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴ 或 或 或 或 或 ．
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3．
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5．
∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴k的最大值为 ．
24．【答案】（1）2；4；3
（2）11；9；10
（3）495；当任选的三位数为 时，第一次运算后得： ， 结果为99的倍数，由于 ，故 ， ∴ ，又 ， ∴ ， ∴ ，3，4，5，6，7，8，9， ∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到： ， ， ， ， …故都可以得到该黑洞数495.2023年中考数学精选真题实战测试5 因式分解A
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2021·兰州）因式分解： （　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022·柳州）把多项式 分解因式得（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022·河池）多项式因式分解的结果是（　　）
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2）
C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
5．（3分）（2022·台湾）多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求之值为何？（　　）
A．-12 B．-3 C．3 D．12
6．（3分）（2022·永州）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）（2019·河北）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（　　）
A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x
8．（3分）（2020·河北）对于① ，② ，从左到右的变形，表述正确的是（　　）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
9．（3分）（2020·柳州）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2
10．（3分）（2019·北京）如果 ，那么代数式 的值为（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·兰州）因式分解： 　 　．
12．（3分）（2022·广州）分解因式：　 　
13．（3分）（2022·益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 　 　．
14．（3分）（2022·黔西）已知，，则的值为　 　．
15．（3分）（2022·黔东南）分解因式：　 　.
16．（3分）（2022·乐山）已知，则　 　.
三、解答题（共9题，共72分）(共9题；共72分)
17．（5分）（2013·湖州）因式分解：mx2﹣my2．
18．（5分）（2019·河池）分解因式：（x-1）2+2（x-5）.
19．（6分）（2021·凉山）已知 ，求 的值.
20．（6分）（2017·大庆）已知非零实数a，b满足a+b=3， + = ，求代数式a2b+ab2的值．
21．（8分）（2019·湘潭）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根据材料和已学知识，先化简，再求值： ，其中 ．
22．（8分）（2022·六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
（1）（3分）用含，的代数式表示中能使用的面积　 　；
（2）（5分）若，，求比多出的使用面积．
23．（10分）（2017·枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）= ．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= ．
（Ⅰ）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（Ⅱ）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（Ⅲ）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
24．（10分）（2017·河北）发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
（1）（5分）验证
①（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
②设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
（2）（5分）延伸
任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
25．（14分）（2022·西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
（1）（4分）【类比】
请用分组分解法将因式分解；
（2）（5分）【挑战】
请用分组分解法将因式分解；
（3）（5分）【应用】
“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】A
10．【答案】D
11．【答案】（a+4）（a-4）
12．【答案】
13．【答案】3
14．【答案】6
15．【答案】
16．【答案】4
17．【答案】解：mx2﹣my2，
=m（x2﹣y2），
=m（x+y）（x﹣y）
18．【答案】解：原式=x2-2x+1+2x-10
=x2-9
=（x+3）（x-3）
19．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
20．【答案】解：∵ + = = ，a+b=3，
∴ab=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6．
21．【答案】解：
，
当 时，原式
22．【答案】（1）
（2）解： 中能使用的面积为 ，
则 比 多出的使用面积为 ，
， ，
，
答： 比 多出的使用面积为50．
23．【答案】解：（Ⅰ）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）= =1；
（Ⅱ）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（Ⅲ）F（15）= ，F（26）= ，F（37）= ，F（48）= = ，F（59）= ，
∵ ＞ ＞ ＞ ＞ ，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为 ．
24．【答案】（1）解：①（﹣1）2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍
②解：设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n﹣2，n﹣1，n+1，n+2，
它们的平方和为：（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
=n2﹣4n+4+n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10，
∵5n2+10=5（n2+2），
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
（2）设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n﹣1，n+1，它们的平方和为：（n﹣1）2+n2+（n+1）2
=n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，∵n是整数，∴n2是整数，∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2
25．【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：，
∴根据题意得，，∴原式．2023年中考数学精选真题实战测试4 整式B
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
2．（3分）（2022·鄂州）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示.即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．（3分）（2022·巴中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2022·资阳）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022·枣庄）下列运算正确的是（　　）
A．3a2﹣a2＝3 B．a3÷a2＝a
C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4 D．（a+b）2＝a2+ab+b2
6．（3分）（2022·包头）已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．（3分）（2022·呼和浩特）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2022·赤峰）已知，则的值为（　　）
A．13 B．8 C．－3 D．5
9．（3分）（2022·娄底）若，则称是以10为底的对数.记作：.例如：，则；，则.对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（　　）
A．5 B．2 C．1 D．0
10．（3分）（2022·荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形 ；第二次，顺次连接四边形 各边的中点，得到四边形 ；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形 的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每空3分，共21分）(共6题；共21分)
11．（3分）（2022·济南）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到…依次类推．点经过“011011011”变换后得到点的坐标为　 　．
12．（3分）（2022·包头）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为　 　．
13．（3分）（2022·十堰）如图，某链条每节长为 ，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为 ，按这种连接方式，50节链条总长度为　 　 .
14．（3分）（2022·苏州）已知 ， ，则 　 　.
15．（3分）（2022·怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 　 　.
16．（6分）（2022·恩施）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足.则　 　，　 　.
三、解答题（共8题，共69分）(共8题；共69分)
17．（5分）（2022·孝感）先化简，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，y＝－1.
18．（5分）（2022·丽水）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x = ．
19．（5分）（2021·永州）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1.
20．（8分）（2022·舟山）观察下面的等式： ， ， ，……
（1）（4分）按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数)．
（2）（4分）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的。
21．（10分）（2022·重庆）对于一个各数位上的数字均不为 0 的三位自然数 N，若 N 能被它的各数位上的数字之和 m 整除，则称 N 是 m 的“和倍数”．
例如：∵247÷(2+4+7)= 247÷13=19，∴247是13的“和倍数”.
又如： ∵214÷(2+1+4)=214÷7=30……4，∴214不是“和倍数”.
（1）（5分）判断 357，441 是否是“和倍数”？说明理由；
（2）（5分）三位数 A是12的“和倍数”，a，b，c 分别是数 A其中一个数位上的数字，且 a>b>c在 a，b，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 F (A)，最小的两位数记为 G(A)，若 为整数，求出满足条件的所有数 A．
22．（10分）（2022·嘉兴）设 是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时， 表示的两位数是45．
（1）（2分）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝　 　；
……
（2）（4分）归纳： 与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）（4分）运用：若 与100a的差为2525，求a的值．
23．（12分）（2022·长沙）若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”.
（1）（4分）①若函数，当时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数（，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）（4分）若函数，求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）（4分）若函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
24．（14分）（2021·青岛）问题提出：
最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）
问题探究：
为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
①如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表①
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式
1 1 1 1个1
②如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表②
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式
2 1 1 2个1
2 1
③下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：
表③
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式
3 1 1 2个2
2 ， 2
3 1
④下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：
表④
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式
4 1 1 3个2
2 ， 2
3 ， 2
4 1
（1）（4分）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：
表⑤
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式
5 1 1 ....... .......
2 ， 2
3 ...... ......
4 ， 2
5 1
（2）（2分）问题解决：
最长边长为6的整数边三角形有　 　个．
（3）（4分）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数．
（4）（2分）最长边长为128的整数边三角形有　 　个．
（5）（2分）拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有　 　个．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】C
10．【答案】A
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】91
14．【答案】24
15．【答案】744
16．【答案】；
17．【答案】解：原式＝4xy－2xy+3xy
＝
＝5xy；
当x＝2，y＝－1时，
原式＝.
18．【答案】解：原式=
=1+2x
当 时，原式=1+2x
=
=2
19．【答案】解：（x+1）2+（2+x）（2﹣x）
＝x2+2x+1+4﹣x2
＝2x+5，
当x＝1时，原式＝2+5＝7.
20．【答案】（1）解：∵=，
=，
=，
∴.
（2）证明：∵===，
∴，这个结论是正确的.
21．【答案】（1）解：∵357÷（3+5+7）=23.8，
∴357不是15的“和倍数”，
∵441÷（4+4+1）=49，
∴441是9的“和倍数”；
（2）解：设三位数A=abc，
∵A是12的“和倍数”
∴a+b+c=12，
∵a＞b＞c，
∴F（A）=ab，G（A）=cb，
∴==，
∴为整数，
∵a+c=12-b，
∴====7+，
又∵1＜b＜9，
∴当b=3，5，7，9时，为整数，
∴当b=3时，a+c=9，则a=8，c=1（不符合题意，舍去）或a=7，c=2，
∴三位数A=732；
当b=5时，a+c=7，则a=6，c=1（不符合题意，舍去）；
当b=7时，a+c=5（不符合题意，舍去）；
当b=9时，a+c=3（不符合题意，舍去），
综上所述，这个三位数A为732.
22．【答案】（1）3×4×100+25
（2）解：=100a（a＋1）＋25，理由如下：
∵是一个两位数，a是十位上的数字，
∴=10a+5，
∴=（10a+5 ）（ 10a+5 ）=100a2+100a+25=100a ( a+1 ) +25.
（3）解：由（2）可知：=100a（a＋1）＋25，
∵与100a的差为2525，
∴100a（a＋1）＋25-100a=2525，
整理得：a2=25，
∴a=5或-5（舍去，不合题意），
∴a的值为5.
23．【答案】（1）解：①当时，则，即，
，，随的增大而增大，
，
②若函数，当时，，
，
，
当时，则，
，
综上所述，时，，时，
（2）解：对于函数，
，，函数在第一象限内，随的增大而减小，
，
解得，
当时，
，
，
∵当时，随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时取得最大值，
最大值为
（3）解：对于函数，
，抛物线开口向下，
时，随的增大而增大，
时，随的增大而减小，
当时，函数y的最大值等于，
在时，
①当时，即时，，，
，
的最小值为（当时），
若，
解得，
但，故不合题意，故舍去；
②当时，即时，，，
，
的最小值为（当时），
若，
解得，
但，故不合题意，故舍去
③当时，即时，，
i)当时，即时
对称轴为，，抛物线开口向上，在上，
当2时，有最小值，
解得
i i)当 时，即时，，
，
，
对称轴为，，抛物线开口向上，在上，
当2时，有最小值，
解得
综上所述，时，存在
24．【答案】（1）解：
最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式
5 3 ，， 3 3个3
（2）12
（3）解：由（1）得：
最长边长为1的三角形有：个，
最长边长为3的三角形有：个，
最长边长为5的三角形有：个，
所以当为奇数时，整数边三角形个数为；
最长边长为2的三角形有：个，
最长边长为4的三角形有：个，
最长边长为6的三角形有：个，
所以当为偶数时，整数边三角形个数为.
（4）4160
（5）2952023年中考数学精选真题实战测试3 整式A
一、单选题（每题2分，共20分）(共10题；共20分)
1．（2分）（2022·淮安）计算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2分）（2022·西藏）下列计算正确的是（　　）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
3．（2分）（2022·兰州）计算： （　　）
A． B． C． D．
4．（2分）（2022·百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2分）（2022·西藏）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2分）（2022·南通）已知实数m，n满足，则的最大值为（　　）
A．24 B． C． D．-4
7．（2分）（2022·六盘水）已知，则的值是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．12
8．（2分）（2022·呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（　　）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
9．（2分）（2022·包头）若，则m的值为（　　）
A．8 B．6 C．5 D．2
10．（2分）（2022·济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（　　）
A．297 B．301 C．303 D．400
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·广安）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为　 　.
12．（3分）（2022·鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是 　 　．
13．（3分）（2022·内江）对于非零实数a，b，规定a b＝，若（2x﹣1） 2＝1，则x的值为 　 　.
14．（3分）（2022·仙桃）在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为　 　.
15．（3分）（2022·遵义）已知，，则的值为　 　.
16．（3分）（2022·北部湾）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知 ，求代数式 的值.”可以这样解： .根据阅读材料，解决问题：若 是关于x的一元一次方程 的解，则代数式 的值是　 　.
三、解答题（共9题，共82分）(共9题；共82分)
17．（6分）（2022·襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
18．（6分）（2022·盐城）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）（2022·北部湾）先化简，再求值 ，其中 .
20．（6分）（2022·黄冈）先化简，再求值：，其中，.
21．（10分）（2022·六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
（1）（4分）用含，的代数式表示中能使用的面积　 　；
（2）（6分）若，，求比多出的使用面积．
22．（10分）（2022·台湾）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品.已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞.
请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）（5分）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂.今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，则k之值为何？
（2）（5分）承（1），已知60亿介于与之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？
23．（10分）（2022·河北）整式 的值为P．
（1）（5分）当m＝2时，求P的值；
（2）（5分）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
24．（14分）（2022·泰州）定义：对于一次函数 ，我们称函数为函数的“组合函数”.
（1）（6分）若m=3，n=1，试判断函数是否为函数的“组合函数”，并说明理由；
（2）（8分）设函数与的图象相交于点P.
①若，点P在函数的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数的“组合函数”图象经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变 若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
25．（14分）（2022·随州）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.
（1）（1分）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：
公式②：
公式③：
公式④：
图1对应公式　 　，图2对应公式　 　，图3对应公式　 　，图4对应公式　 　；
（2）（5分）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
（3）（5分）如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F.记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为.
①若E为边AC的中点，则的值为 ▲ ；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】B
10．【答案】B
11．【答案】10
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】8
16．【答案】14
17．【答案】解：原式＝
；
a＝-，b＝+，
∴原式
18．【答案】解：原式
．
，
，
原式
19．【答案】解：
=x(x2-y2)+xy2-2xy+x
=x3-xy2+xy2-2xy+x
=x3-2xy+x，
当x=1，y= 时，原式=13-2×1× +1=1
20．【答案】解：
，
当，时，原式
21．【答案】（1）
（2）解： 中能使用的面积为 ，
则 比 多出的使用面积为 ，
， ，
，
答： 比 多出的使用面积为50．
22．【答案】（1）解：15天小时小时，
∵1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，
从1个绿藻细胞开始培养，经过20小时分裂成4个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
之值为18；
（2）∵每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，
制作公克的「绿藻粉」需要亿个绿藻细胞，
∵60亿介于与之间，
亿，即亿，
而，
亿，
个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」
23．【答案】（1）解：∵
当 时，
；
（2）解： ，由数轴可知 ，
即 ，
，
解得 ，
的负整数值为 ．
24．【答案】（1）解：是函数的“组合函数”，
理由：由函数的“组合函数”为：，
把m=3，n=1代入上式，得，
函数是函数的“组合函数”；
（2）解：①解方程组得，
函数与的图象相交于点P，
点P的坐标为，
的“组合函数”为， ，
，点P在函数的“组合函数”图象的上方，
，整理，得，
，，
p的取值范围为；
②存在，理由如下：
函数的“组合函数”图象经过点P.
将点P的坐标代入“组合函数”，得
，
，
，
，，
将代入=，
把y=0代入，得
解得：，
设，则，
，
对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变.
25．【答案】（1）①；②；④；③
（2）解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：①2；②成立，证明如下：
由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，
设，，
∴，，，，
∴，
，
∴仍成立.2023年中考数学精选真题实战测试2 实数B
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（　　）
A．﹣5 B．4 C．7 D．8
2．（3分）（2022·西藏）我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了183天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太空，绕地球飞行共约2.32亿公里．将数据232000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.232×109 B．2.32×109 C．2.32×108 D．23.2×108
3．（3分）（2022·日照）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）（2022·河池）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（　　）
A．+20元 B．﹣20元 C．+30元 D．﹣30元
5．（3分）（2022·贵港）若点与点关于y轴对称，则的值是（　　）
A．-1 B．-3 C．1 D．2
6．（3分）（2022·东营）下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）（2022·雅安）下列计算正确的是（　　）
A．32＝6 B．（﹣）3＝﹣
C．（﹣2a2）2＝2a4 D．+2＝3
8．（3分）（2022·湘西）在实数﹣5，0，3，中，最大的实数是（　　）
A．3 B．0 C．﹣5 D．
9．（3分）（2022·济南）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）（2022·广州）下列运算正确的是（　　）
A． B．（）
C． D．
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·黄石）计算：　 　．
12．（3分）（2022·柳州）如果水位升高 时水位变化记作 ，那么水位下降 时水位变化记作　 　．
13．（3分）（2022·常州）如图，数轴上的点、分别表示实数、，则　 　.（填“>”、“=”或“<”）
14．（3分）（2022·百色）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（和路程）数据如下表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米抵达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是　 　千米.
t小时 0.2 0.6 0.8
s千米 20 60 80
15．（3分）（2022·贺州）若实数m，n满足 ，则 　 　.
16．（3分）（2022·四川）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是　 　．
三、解答题（共8题，共72分）(共8题；共72分)
17．（6分）（2022·苏州）计算： .
18．（6分）（2022·十堰）计算： .
19．（6分）（2022·北部湾）计算： .
20．（6分）（2022·百色）计算：
21．（12分）（2022·杭州）计算：(-6) ×( -■)-23．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了。
（1）（6分）如果被污染的数字是 ．请计算(-6)×( - )-23．
（2）（6分）如果计算结果等于6，求被污染的数字．
22．（12分）（2021·台州）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”.输液开始时，药液流速为75滴/分钟.小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升.
（1）（6分）求输液10分钟时瓶中的药液余量；
（2）（6分）求小华从输液开始到结束所需的时间.
23．（12分）（2022·台湾）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品.已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞.
请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）（6分）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂.今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，则k之值为何？
（2）（6分）承（1），已知60亿介于与之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？
24．（12分）（2022·重庆）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．
例如： 是“勾股和数”.
又如： 不是“勾股和数”
（1）（6分）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
（2）（6分）一个“勾股和数” 的千位数字为 ，百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ，记 .当 均是整数时，求出所有满足条件的 .
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】D
10．【答案】D
11．【答案】3
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】212
15．【答案】7
16．【答案】6
17．【答案】解：原式
18．【答案】解：
=
19．【答案】解：原式=1×3+4-4
=3+4-4
=3
20．【答案】解：原式
.
21．【答案】（1）解：(-6)×( - )-23
=(-6)× -8
=-1-8
=-9
（2）解：设被污染的数字为x，
由题意，得(-6)×( -x)-23=6
解得x=3，
∴被污染的数字是3．
22．【答案】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟），
250-5×10=200（毫升），
答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；
（2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟），
160÷4+20=60（分钟），
答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟.
23．【答案】（1）解：15天小时小时，
∵1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，
从1个绿藻细胞开始培养，经过20小时分裂成4个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
经过小时，分裂成个绿藻细胞，
之值为18；
（2）∵每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，
制作公克的「绿藻粉」需要亿个绿藻细胞，
∵60亿介于与之间，
亿，即亿，
而，
亿，
个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」
24．【答案】（1）解：
∴1022不是“勾股和数”，
∴5055是“勾股和数”
（2）解：∵M为“勾股和数
∴
∴
∵G(M)为整数，
∴ 为整数，
∴c+d=9，
为整数
∴c2+d2=81-2cd为3的倍数
∴①c=0，d=9或c=9，d=0，此时M=8109或8190；
②c=3，d=6或c=6，d=3，此时M=4536或4563.2023年中考数学精选真题实战测试1 实数A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·攀枝花）实数a、b在数轴.上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·淮安）2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上.数据11000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·淮安）-2的相反数是（　　）
A． B．-2 C． D．2
4．（2022·衢州）计算结果等于2的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·巴中）下列各数是负数的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·宁夏）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·宁夏）已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
8．（2022·南通）若气温零上记作，则气温零下记作（　　）
A． B． C． D．
9．（2022·镇江）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·资阳）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是（　　）
A．点A B．点N C．点P D．点Q
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2022·西藏）已知，都是实数，若，则　 　．
12．（2022·镇江）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为　 　．
13．（2022·烟台）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 　 　．
14．（2022·泰州）已知 用“＜”表示的大小关系为　 　.
15．（2022·泰州）若，则的值为　 　.
16．（2022·长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大.保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力.看似“码码相同”，实则“码码不同”.通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码.根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大.
其中对的理解错误的网友是　 　（填写网名字母代号）.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·西宁）计算：．
18．（2022·柳州）计算： ．
19．（2022·河池）计算：.
20．（2022·益阳）计算：（﹣2022）0+6×（﹣）+÷．
21．（2020·宜昌）在“-”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入 中的□，并计算.
22．（2022·贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示.
用“<”或“>”填空：a　 　b，ab　 　0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程.
①x2+2x 1=0；②x2 3x=0；③x2 4x=4；④x2 4=0.
23．（2022·常州）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份.
（1）八进制数3746换算成十进制数是　 　；
（2）小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值.
24．（2021·重庆）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如： ，因为 ，所以3507是“共生数”： ，因为 ，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记 .求满足 各数位上的数字之和是偶数的所有n.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】D
10．【答案】C
11．【答案】1
12．【答案】－6或零下6
13．【答案】（5-3+2）×6（答案不唯一）
14．【答案】
15．【答案】3
16．【答案】DDDD
17．【答案】解：
．
18．【答案】解：原式
．
19．【答案】解：原式＝
20．【答案】解：（﹣2022）0+6×（﹣）+÷
＝1+（﹣3）+
＝0
21．【答案】解：（1）选择“-”
（ 2 ）选择“×”
22．【答案】（1）＜；＜
（2）解：①x2+2x 1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2 3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3；
③x2 4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-；
④x2 4=0.
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x1=-2，x2=2.
23．【答案】（1）2022
（2）解：根据题意有：，
整理得：，
解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9.
24．【答案】（1）解：
是“共生数”，
不是“共生数”.
（2）解：设“共生数” 的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为
＜ 且 为整数，
所以：
由“共生数”的定义可得：
百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
或 或
当 则 则 不合题意，舍去，
当 时，则
当 时，
此时： ，而 不为偶数，舍去，
当 时，
此时： ，而 为偶数，
当 时，
此时： ，而 为偶数，
当 时，则
而 则 不合题意，舍去，
综上：满足 各数位上的数字之和是偶数的 或2023年中考数学精选真题实战测试18 平面直角坐标系B
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·百色）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（　　）
A．（3，-3） B．（3，3） C．（－1，1） D．（－1，3）
2．（3分）（2022·宜昌）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为 .若小丽的座位为 ，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022·乐山）点所在象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）（2022·青海）如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022·河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合， 轴，交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022·台湾）已知坐标平面上有一直线与一点若的方程式为，点坐标为，则点到直线的距离为何？（　　）
A．3 B．4 C．7 D．8
7．（3分）（2022·苏州）如图，点A的坐标为 ，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.若点C的坐标为 ，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）（2022·天津）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）（2021·黄石）如图， 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中 点的坐标是 ，现将 绕 点按逆时针方向旋转 ，则旋转后点 的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）（2021·遵义）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（　　）
A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．Z（﹣1，2）
二、填空题（每题4分，共24分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·烟台）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 　 　．
12．（3分）（2022·毕节）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…；按此做法进行下去，则点的坐标为　 　.
13．（3分）（2021·安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形 对角线的交点坐标是 ，点 的坐标是 ，且 ，则点 的坐标是　 　.
14．（3分）（2021·南京）如图，在平面直角坐标系中， 的边 的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是　 　.
15．（3分）（2021·怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，将 先向右平移3个单位长度得到 ，再绕 顺时针方向旋转 得到 ，则 的坐标是　 　.
16．（3分）（2021·鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为 ，点A的坐标为 ，将点A绕点C顺时针旋转 得到点B，则点B的坐标为　 　.
三、解答题（共8题，共72分）(共8题；共72分)
17．（8分）（2022八上·淮北月考）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，在方格纸中的位置如图所示，已知点，．
（1）（2分）请在方格纸中建立平面直角坐标系，画出轴，轴的位置，并写出点的坐标；
（2）（3分）请在图中作出关于y轴对称的图形；
（3）（3分）写出，，的坐标．
18．（8分）（2022·湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）（2分）请写出A1、B1、C1三点的坐标：
A1　 　，B1　 　，C1　 　；
（2）（2分）求点B旋转到点B1的弧长．
19．（8分）（2022八上·蚌山月考）三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）（2分）分别写出下列各点的坐标：　 　，　 　；
（2）（2分）若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标　 　．
（3）（2分）三角形是由三角形经过怎样的平移得到的？
20．（8分）（2020·泰州）如图，已知线段 ，点 在平面直角坐标系 内，
（1）（4分）用直尺和圆规在第一象限内作出点 ，使点 到两坐标轴的距离相等，且与点 的距离等于 .（保留作图痕迹，不写作法）
（2）（4分）在（1）的条件下，若 ， 点的坐标为 ，求 点的坐标.
21．（10分）（2022八上·保定期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题：
（1）（1分）请直接写出A、B、C三点的坐标　 　、　 　、　 　.
（2）（3分）画出关于x轴的对称图形.
（3）（2分）的面积为　 　.
（4）（2分）在x轴上找到一点P，使的周长最小，直接写出这个周长的最小值：　 　.
22．（10分）（2020·沈阳）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点O是坐标原点，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（ ），过点P作 轴，分别交 于点M，N.
（1）（2分）填空： 的长为　 　， 的长为　 　
（2）（2分）当 时，求点N的坐标：
（3）（2分）请直接写出 的长为　 　（用含t的代数式表示）；
（4）（2分）点 是线段 上一动点（点E不与点 重合）， 和 的面积分别表示为 和 ，当 时，请直接写出 （即 与 的积）的最大值为　 　.
23．（10分）（2020·龙东）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 长是方程 的根，连接 ， ，并过点 作 ，垂足为 ，动点P从点B以每秒2个单位长度的速度沿 方向匀速运动到点D为止；点M沿线段 以每秒 个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒
（1）（3分）线段 　 　；
（2）（3分）连接 和 ，求 的面积s与运动时间 的函数关系式；
（3）（4分）在整个运动过程中，当 是以 为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
24．（10分）（2022八上·碑林期中）如图①，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接，，可知，此时是等腰直角三角形；
（1）（3分）【问题提出】
如图②，在长方形中，点P是边上一点，在边上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，
要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
（2）（3分）【问题探究】
如图③，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是等腰直角三角形，求点C的坐标；
（3）（4分）【问题解决】
如图④，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上的动点，是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，求的最小值．[注：在平面直角坐标系内，，，则]
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】B
10．【答案】B
11．【答案】（4，1）
12．【答案】（-1，11）
13．【答案】（2，0）
14．【答案】6
15．【答案】（2，2）
16．【答案】
17．【答案】（1）解：如图所示坐标系即为所求，点C的坐标为；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：由题意得，，．
18．【答案】（1）（1，1）；（0，4）；（2，2）
（2）解：由图知点B旋转到点B的弧长所对的圆心角是90°，OB=4，
点B旋转到点B的弧长==2π.
19．【答案】（1）(1，3)；(-3， 1)
（2）(x-4，y-2)
（3）解：∵A(1，3)， ，
∴-3-1=-4，1-3=-2，
∴△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到
20．【答案】（1）解：如图所示，作第一象限的平分线OM，再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P，则点P为所求；
（2）解：∵点P到两坐标轴的距离相等，且在第一象限，
∴设点P（t，t），
则AP= ，
解得：t=5或t=-1（舍去），
∴P（5,5）.
21．【答案】（1）；；
（2）解：如图，作的各顶点关于x轴对称的点，顺次连接得到，即为所求作三角形；
（3）3.5
（4）
22．【答案】（1）；
（2）解：设直线AB的解析式为 ，将 ， 代入得：
，解得 ，
∴ ，
由题意可知点N的纵坐标为1，
∴令 得 ，解得 ，
∴ ；
（3）
（4）16
23．【答案】（1）
（2）解：如图1，过点M作MH⊥BD于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=30°，
∴MH= MD= ，
∵∠DBC=30°，CN⊥BD，
∴BN= ，
当点P在线段BN上即 时，
△PMN的面积 ；
当点P与点N重合即 时，s=0，
当点P在线段ND上即 时，
△PMN的面积 ；
∴ ；
（3）解：如图，过点P作PE⊥BC于E，
当PN=PM=9-2t时，则DM= ，MH= DM= ，DH= ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ，
即 或 ，
则BE= 或BE= ，
∴点P的坐标为( ， )或( ， )；
当PN=NM=9-2t时，
∵ ，
∴ ，
解得 或24（不合题意舍去），
∴BP=6，PE= BP=3，BE= PE=3
∴点P的坐标为( ， )，
综上所述：点P坐标为( ， )或( ， ) ．
24．【答案】（1）解：如图：
（2）解：①如图，当，时，过点作于点，过点作于点，
点，点，
，，，
，
，，
，，
，且，，
，，
，
点坐标为
②如图，当，时，过点作，过点作
，，
，，
，且，
，，
点坐标为
③如图，当，时，过点作于点，过点作于点，
，，
，且，，
，，
，
，，
点坐标，
综上所述：点坐标为：、、，
（3）解：如图作于．
设点的坐标为，
由（1）知：，，
则点，
则：，
的值，相当于求点到点和点的最小值，
相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小，
作关于直线的对称点，
而，
，
故：的最小值为．2023年中考数学精选真题实战测试19 函数基础知识 A
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为 ．下列判断正确的是（　　）
A．2是变量 B． 是变量 C．r是变量 D．C是常量
2．（3分）（2022·黄石）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．且 B．且
C． D．且
3．（3分）（2022·攀枝花）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹.雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长.一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系：折线表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则以下结论错误的是（　　）
A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为
C．轿车从西昌到雅安的速度为
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有20km
4．（3分）（2022·青海）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看.最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶.在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2022·遵义）遵义市某天的气温（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化如图所示，设表示0时到t时气温的值的极差（即0时到时范围气温的最大值与最小值的差），则与t的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2017·泸州）下列曲线中不能表示y与x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）（2022·枣庄）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（　　）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B．y1＝和y2＝x+1
C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1
8．（3分）（2022·北京市）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．（3分）（2022·齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点Р从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点Р运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（　　）
A．AF=5 B．AB=4 C．DE=3 D．EF=8
10．（3分）（2022·西宁）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·西藏）周末时，达瓦在体育公园骑自行车锻炼身体，他匀速骑行了一段时间后停车休息，之后继续以原来的速度骑行．路程s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的关系如图所示，则图中的a＝　 　．
12．（3分）（2022·赤峰）已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图像反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中表示时间，表示王强离家的距离．则下列结论正确的是　 　．（填写所有正确结论的序号）
①体育场离王强家
②王强在体育场锻炼了
③王强吃早餐用了
④王强骑自行车的平均速度是
13．（3分）（2021·永州）已知函数y＝ ，若y＝2，则x＝　 　.
14．（3分）（2022·百色）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（和路程）数据如下表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米抵达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是　 　千米.
t小时 0.2 0.6 0.8
s千米 20 60 80
15．（3分）（2022·烟台）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 　 　．
16．（3分）（2022·黄冈）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止.若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图2所示.当恰好平分时的值为　 　.
三、解答题（共7题，共72分）(共7题；共72分)
17．（10分）（2022·襄阳）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y＝-|x|的图象，并探究该函数性质．
（1）（4分）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ▲ ．
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 ……
y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 ……
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
（2）（2分）探究函数性质，请写出函数y＝-|x|的一条性质：　 　；
（3）（2分）运用函数图象及性质
①写出方程-|x|＝5的解　 　；
②写出不等式-|x|≤1的解集　 　．
18．（10分）（2022·枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
（1）（4分）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）（4分）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）（2分）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
19．（10分）（2022·鄂州）在“看图说故事”话动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家.小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：
（1）（2分）小明家离体育场的距离为　 　km，小明跑步的平均速度为　 　km/min；
（2）（3分）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）（3分）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间.
20．（10分）（2022·嘉兴）6月13日，某港口的湖水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：
x(h) … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
Y(cm … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
（数据来自某海洋研究所）
（1）（4分）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
（2）（3分）数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）（3分）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口.请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
21．（10分）（2022·长春）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）（2分）m=　 　，n=　 　；
（2）（3分）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）（3分）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
22．（10分）（2022·龙东）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）（2分）甲车速度是　 　km/h，乙车出发时速度是　 　km/h；
（2）（3分）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）（3分）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
23．（12分）（2022·齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题：
（1）（2分）A、B两地之间的距离是　 　米，乙的步行速度是　 　米/分；
（2）（1分）图中a= 　 　，b= 　 　，c= 　 　；
（3）（3分）求线段MN的函数解析式；
（4）（2分）在乙运动的过程中，何时两人相距80米 （直接写出答案即可）
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】B
10．【答案】A
11．【答案】65
12．【答案】①③④
13．【答案】2
14．【答案】212
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）解：①1；②描点，③连线如下：
（2）的图象关于y轴对称
（3）x=1或x=-1；x≤-2或x≥2
18．【答案】（1）解：由前三天的函数图象是线段，设函数表达式为：y=kx+b把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ，解得：k=﹣2.5，b=12∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；
（2）解：当x≥3时，设y=，把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=，解得k=13.5，∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
（3）解：能，理由如下：当x=15时，y==0.9，因为0.9＜1，所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
19．【答案】（1）2.5；
（2）解：
（3）解：当小明处在去体育馆的途中离家2km时，
；
当小明从体育馆去商店途中离家2km时，
∴，
解得；
综上所述，当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或37.5min.
20．【答案】（1）解：①依据表中数据，通过描点、连线的方式补全该函数图象如下；
②由①中图象可知，当x=4时，y=200；
当y的值最大时，即图象的最高点，此时对应的x=21.
（2）①x=14时，y有最小值为80；
②当14≤x≤21时，y随x的增大而增大.
（3）当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口，如图所示，
∴当5＜x＜10和18＜x＜23时，货轮能够安全进出该港口.
21．【答案】（1）2；6
（2）解：由（1）得（2，200）和（6，440），
设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为
则有：，
解得，
甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式
（3）解：甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为440-200=240千米，
∴乙车的速度为：240÷2=120（千米/时）
∴乙车行完全程用时为：440÷120=（时）
∵
∴当时，千米，
即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为300千米
22．【答案】（1）100；60
（2）解：设，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，
代入得，
解得
∴y与x的函数解析式为；
（3）解：设乙出发的时间为t时，相距120km，
根据图象可得，
当0100t-60t=120，
解得：t=3；
当5当5.5500-100（t-5.5）-300=120，
解得：t=6.3；
当8100（t-8）-300=120，
解得：t=12.2，不符合题意，舍去；
当9100×（9-8）+100（t-9）+60（t-9）=120，
解得：t=9.125；
综上可得：乙车出发3h、6.3h与9.125h时，两车之间的距离为120km．
23．【答案】（1）1200；60
（2）900；800；15
（3）解：由（2）可知，M、N的坐标分别为M（15，900），N（20，800），
设线段MN的解析式为y=kx+b（），
则有 ，
解得：
∴线段MN的函数解析式是y =-20x+1200（15≤x≤20）
（4）解：设经过x分钟两人相距80米，两人相遇前和相遇后都可相距80米，
相遇前：1200-（60+80）x=80，解得：x=8；
相遇后：（60+80）x-1200=80，解得：x=，
所以经过8分钟和分钟时两人相距80米．2023年中考数学精选真题实战测试20 函数基础知识 B
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·武汉） 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）.这个容器的形状可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2022·衢州模拟）已知函数，则自变量的取值范围是（　　）
A． B．﹣1且
C． D．
3．（3分）（2022·科尔沁左翼中旗模拟）变量x，y的一些对应值如下表：
… -2 -1 0 1 2 3 …
… -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 …
根据表格中的数据规律，当时，y的值是（　　）
A．2 B．-2.5 C．-1.5 D．-2
4．（3分）（2022·巴中）甲、乙两人沿同一直道从地到地，在整个行程中，甲、乙离地的距离与时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．甲比乙早1分钟出发
B．乙的速度是甲的速度的2倍
C．若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟
D．若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达地
5．（3分）（2022·仙桃）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为，小正方形与大正方形重叠部分的面积为，若，则S随t变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022·温州）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）（2022·武威会考）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（　　）
A．16 B．20 C．36 D．45
8．（3分）（2022·潍坊）如图，在 ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在 ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）（2022·钦州模拟）定义一种运算：则函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）（2022·锦州）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·广汉模拟）若函数y=，则当函数值y＝8时，自变量x的值等于　 　.
12．（3分）（2022·黄冈模拟）如图，正方形中，点、从点出发，以的速度分别沿和的路径匀速运动，同时到达点时停止运动.连接，设的长为，运动时间为，则与（秒）的函数图象如图所示.当秒时，的长是　 　.
13．（3分）（2022·资阳）女子10千米越野滑雪比赛中，甲、乙两位选手同时出发后离起点的距离x（千米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则甲比乙提前　 　分钟到达终点．
14．（3分）（2022·济南模拟）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是　 　h．
15．（3分）（2021·重庆模拟）小亮和小颖两位同学从距离图书馆3000米的同一小区同时出发，各自去还图书，然后再从图书馆借书后原路原速返回自己居住的小区（借书、还书等逗留时间忽略不计），在整个过程中，两位同学的速度均保持匀速行驶，且小亮的速度快于小颖，两人相距的路程 （米）与小亮离开小区的时间 （分）之间的关系如图中折线所示，则点 的坐标为　 　.
16．（3分）（2021·酒泉模拟）已知函数 ，其中 表示当 时对应的函数值，如 ， ， ，…， ，则 　 　.
三、解答题（共7题，共72分）(共7题；共72分)
17．（10分）（2022·陕西）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数.下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值.
输人x … -6 -4 -2 0 2 …
输出y … -6 -2 2 6 16 …
根据以上信息，解答下列问题：
（1）（3分）当输入的x值为1时，输出的y值为　 　；
（2）（4分）求k，b的值；
（3）（3分）当输出的y值为0时，求输入的x值.
18．（10分）（2022·包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
（1）（3分）求第14天小颖家草莓的日销售量；
（2）（3分）求当时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
（3）（4分）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
19．（10分）（2022·易县模拟）甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条道路骑行，图中的折线表示两人之间的距离y（km）与甲的行驶时间x（h）之间的关系，根据图象回答下列问题：
（1）（2分）甲骑完全程用时　 　小时；甲的速度是　 　km/h；
（2）（3分）求甲、乙相遇的时间；
（3）（3分）求甲出发多长时间两人相距10千米．
20．（10分）（2022·大庆）果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
（1）（2分）图中点P所表示的实际意义是　 　，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少　 　；
（2）（3分）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）（3分）当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大产量是多少？
21．（10分）（2022·郴州）如图1，在 中， ， ， .点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动.过点D作AB的垂线，与 的直角边AC（或BC）相交于点E.设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）.
（1）（5分）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：
变量a（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
变量h（cm） 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2.
根据探究的结果，解答下列问题：
①当 时， ▲ ；当 时， ▲ .
②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来.
③下列说法正确的是 ▲ .（填“A”或“B”）
A.变量h是以a为自变量的函数 B.变量a是以h为自变量的函数
（2）（5分）如图3，记线段DE与 的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积 为s.
①分别求出当 和 时，s关于a的函数表达式；
②当 时，求a的值.
22．（10分）（2022·清苑模拟）共享科技深入人心，也方便了百姓的生活，共享洗车是共享科技下的一种洗车方式，如图是普通洗车收费和共享洗车收费与洗车时间的函数图象，请根据图像回答相关问题．
（1）（2分）共享洗车方式段单价为　 　元/，洗车时间为　 　时，两种洗车方式收费相同．
（2）（3分）求段关于的函数表达式．
（3）（3分）当两种洗车方式收费差距在2元（包含2元）内时，求共享洗车时间的取值范围．
23．（12分）（2021·和平模拟）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，甲车离开A城的距离 与甲车离开A城的时间 的对应关系如图所示．乙车比甲车晚出发 ，以 的速度匀速行驶．
（1）（1分）填空：
① 两城相距　 　 ；
②当 时，甲车的速度为　 　 ；
③乙车比甲车晚　 　 到达 城；
④甲车出发 时，距离 城　 　 ；
⑤甲、乙两车在行程中相遇时，甲车离开 城的时间为　 　 ；
（2）（4分）当 时，请直接写出 关于 的函数解析式．
（3）（3分）当 时，两车所在位置的距离最多相差多少 ？
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】A
10．【答案】D
11．【答案】或4
12．【答案】
13．【答案】1
14．【答案】1.5
15．【答案】（40，1000）
16．【答案】
17．【答案】（1）8
（2）解：将（-2，2），（0，6）代入，得，
解得；
（3）解：令，
由，得，∴.（舍去）
由，得，∴.
∴输出的y值为0时，输入的x值为.
18．【答案】（1）解：∵当时，，
∴当时，（千克）．
∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．
（2）解：当时，设草莓价格m与x之间的函数关系式为，
∵点在的图像上，
∴解得
∴函数关系式为．
（3）解：∵当时，，
∴当时，，
当时，．
∵当时，，
∴当时，，当时，．
∴第8天的销售金额为：（元），
第10天的销售金额为：（元）．
∵，
∴第10天的销售金额多．
19．【答案】（1）3；10
（2）解：由题意可知，乙到A地时，甲距离A地18千米处，
相同时间甲、乙的速度之比等于路程之比，
（km/h），
相遇时间为（h）；
（3）解：甲、乙相遇前，，
解得；
甲、乙相遇后，且未到A地时，，
解得；
综上所述可得，当或（h）时，两人相距10千米．
20．【答案】（1）增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg；0.5
（2）解：根据增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg，设y与x的函数关系式为y=kx+b
将x=10，y=75；x=28，y=66代入可得
解得
∴y与x的函数关系式为y=-0.5x+80（0（3）解：根据题意，果园的总产量w=每棵果树平均产量×果树总棵树可得
w=（-0.5x+80）（60+x）
=-0.5x2+50x+4800
∵a=-0.5<0
所以当x= 时，w有最大值
w最大=6050
所以增种果树50棵时，果园的总产量最大，最大产量是6050kg
21．【答案】（1）解：①1.5；1或3；
②连线如图2-1、图2-2所示：
；
③A
（2）解：①如图3，当 时， ，
∴阴影部分的面积： ；
当 时， ，
∴阴影部分的面积： .
∴当 时， ；当 时， .
②当 时，令 ，解得 或 （不符合题意，舍去）.
当 时，令 ，解得 或 （不符合题意，含去）.
∴当 时， 或 .
22．【答案】（1）1；25
（2）解：∵，则可得点坐标为．
设段函数表达式为，
将和代入，
得，
解得，
∴段函数表达式为．
（3）解：∵两种洗车方式收费差距在2元内，
∴共享洗车费用在13到17元之间．
将代入中，得，
将代入中，得，
∴共享洗车时间的取值范围是．
23．【答案】（1）360；60；；； 或
（2）当 时， ；
当 时， ；
当 时，代入（ ）、（ ）得 ．
（3）当 时，
由题意，可知甲车在乙车前面，设两车所在位置的距离相差 ，
则 ．
，
随 的增大而增大．
∴当 时， 取得最大值 ．
答：两车所在位置的距离最多相差 ．2023年中考数学精选真题实战测试11 一元一次方程与二元一次方程组A
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·青海）下列说法中，正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（3分）（2022·东营）植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的，七年级2班植树棵数是这批树苗总数的，则七年级2班植树的棵数是（　　）
A．36 B．60 C．100 D．180
3．（3分）（2022·扬州）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这个问题，如果设鸡有只，兔有只，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2022·株洲）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022·六盘水）我国“DF－41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫＝340米/秒），则“DF－41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行分钟能打击到目标，可以得到方程（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022·黔西）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
7．（3分）（2022·日照）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2021·郴州）已知二元一次方程组 ，则x﹣y的值为（　　）
A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣6
9．（3分）（2022·聊城）关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）（2022·衢州）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，由消元法可得x的值为（　　）
　 5号电池（节） 7号电池（节） 总质量（克）
第一天 2 2 72
第二天 3 2 96
A．12 B．16 C．24 D．26
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·福建）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误.
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令，
等式两边都乘以x，得.①
等式两边都减，得.②
等式两边分别分解因式，得.③
等式两边都除以，得.④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是　 　.
12．（3分）（2022·宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三，人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，可列方程组为
　 　．
13．（3分）（2022·贺州）若实数m，n满足 ，则 　 　.
14．（3分）（2022·北部湾）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知 ，求代数式 的值.”可以这样解： .根据阅读材料，解决问题：若 是关于x的一元一次方程 的解，则代数式 的值是　 　.
15．（3分）（2022·威海）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝　 　．
16．（3分）（2021·遂宁）已知关于x，y的二元一次方程组 满足 ，则a的取值范围是　 　.
三、解答题（共9题，共72分）(共9题；共72分)
17．（5分）（2018·攀枝花）解方程： =1．
18．（5分）（2020·凉山州）解方程：
19．（6分）（2019·金华）解方程组：
20．（6分）（2020·淄博）解方程组：
21．（8分）（2022·荆州）已知方程组 的解满足 ，求k的取值范围.
22．（8分）（2021·乐山）已知 ，求A、B的值.
23．（10分）（2022·淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变.第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元.
（1）（5分）求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）（5分）当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售.经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋.当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
24．（12分）（2022·六盘水）钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人，现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售，以下是购买者的出价：
（1）（6分）根据对话内容，求钢钢出售的竹篮和陶罐数量；
（2）（6分）钢钢接受了钟钟的报价，交易后到花店购买单价为5元/束的鲜花，剩余的钱不超过20元，求有哪几种购买方案．
25．（12分）（2022·内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动.在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生.现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元.
（1）（4分）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）（4分）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）（4分）学校租车总费用最少是多少元？
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】A
10．【答案】C
11．【答案】④
12．【答案】
13．【答案】7
14．【答案】14
15．【答案】1
16．【答案】
17．【答案】解：去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）=6，去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2=6，移项得：﹣x=17，系数化为1得：x=﹣17．
18．【答案】解：
19．【答案】解：原方程可变形为： ，
①+②得：6y=6，
解得：y=1，
将y=1代入②得：
x=3，
∴原方程组的解为： .
20．【答案】解： ，
①+②，得：5x＝10，解得x＝2，
把x＝2代入①，得：6+ y＝8，解得y＝4，
所以原方程组的解为 ．
利用加减消元法解答即可．
21．【答案】解：令①+②得， ，
解得： ，
将 代入①中得， ，
解得： ，
将 ， 代入 得， ，
解得： k＜.
22．【答案】解： ，
∴ ，
∴ ，
即 .
∴ ，
解得：
∴A的值为4，B的值为 .
23．【答案】（1）解：设种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，
根据题意得，，
解得，
故种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，
根据题意得，
，
∵，
∴当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元.
24．【答案】（1）解：设钢钢出售的竹篮为 个，陶罐为 个，
由题意得： ，
解得 ，
答：钢钢出售的竹篮为5个，陶罐为3个．
（2）解：设钢钢购买了 束鲜花，
由题意得： ，
解得 ，
因为 为正整数，
所以共有四种购买方案：①购买9束鲜花；②购买10束鲜花；③购买11束鲜花；④购买12束鲜花．
25．【答案】（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）解：师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）解：设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元.2023年中考数学精选真题实战测试12 一元一次方程与二元一次方程组B
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2020·无锡）若 ， ，则 的值等于（　　）
A．5 B．1 C．-1 D．-5
2．（3分）（2020·重庆A）解一元一次方程 （x+1）＝1﹣ x时，去分母正确的是（　　）
A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3x
C．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x
3．（3分）（2021·青海）已知 ， 是等腰三角形的两边长，且a，b满足 ，则此等腰三角形的周长为（　　）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
4．（3分）（2021·聊城）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（　　）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
5．（3分）（2021·德阳）关于x，y的方程组 的解为 ，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1
6．（3分）（2020·黑龙江）若 是二元一次方程组 的解，则x＋2y的算术平方根为（　　）
A．3 B．3，－3 C． D． ，－
7．（3分）（2019·孝感）已知二元一次方程组 ，则 的值是（　　）
A． B．5 C． D．6
8．（3分）（2022·铜仁）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分.小红一共得70分，则小红答对的个数为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
9．（3分）（2022·龙东）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（3分）（2021·毕节）九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱.若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50.若乙得到甲所有钱的 ，则乙也共有钱50.甲、乙两人各带了多少钱 设甲带了钱 ，乙带了钱 ，依题意，下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·雅安）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 　 　.
12．（3分）（2022·攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解.则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程.若方程是关于x的不等式组的关联方程，则n的取值范围是 　 　.
13．（3分）（2022·黔东南）若，则的值是　 　.
14．（3分）（2021·鄂州）已知实数a、b满足 ，若关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，则 　 　.
15．（3分）（2021·枣庄）已知x，y满足方程组 ，则x+y的值为　 　．
16．（3分）（2022·大连）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为　 　．
三、解答题（共9题，共72分）(共9题；共72分)
17．（5分）（2021·广元）解方程： .
18．（5分）（2013·梧州）解方程： ．
19．（5分）（2022·台州）解方程组： ．
20．（5分）（2021·眉山）解方程组
21．（8分）（2020·呼和浩特）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程 ，就可以利用该思维方式，设 ，将原方程转化为： 这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足 ，求 的值．
22．（8分）（2022·绵阳）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子
批发价格（元/kg） 4 5 6 40
零售价格（元/kg） 5 6 8 50
请解答下列问题：
（1）（4分）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
（2）（4分）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
23．（10分）（2022·长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题.其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同.问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
（1）（2分）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主.”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”.
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案.（　 　）
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案.（　 　）
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种.（　 　）
（2）（4分）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量.
24．（12分）（2021·湘西） 2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大.网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向 、 两个不同需求学生群体的微课视频.已知制作3个 类微课和5个 类微课需要4600元成本，制作5个 类微课和10个 类微课需要8500元成本.李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个 类微课售价1500元，每个 类微课售价1000元.该团队每天可以制作1个 类微课或者1.5个 类微课，且团队每月制作的 类微课数不少于 类微课数的2倍（注：每月制作的 、 两类微课的个数均为整数）.假设团队每月有22天制作微课，其中制作 类微课 天，制作 、 两类微课的月利润为 元.
（1）（4分）求团队制作一个 类微课和一个 类微课的成本分别是多少元？
（2）（4分）求 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围；
（3）（4分）每月制作 类微课多少个时，该团队月利润 最大，最大利润是多少元？
25．（14分）（2020·扬州）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得 ，由①② 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
（1）（3分）已知二元一次方程组 ，则 　 　， 　 　；
（2）（5分）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）（3分）对于实数x、y，定义新运算： ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知 ， ，那么 　 　.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A
10．【答案】A
11．【答案】1
12．【答案】1≤n＜3
13．【答案】9
14．【答案】
15．【答案】-2
16．【答案】
17．【答案】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项并合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
故答案为： .
18．【答案】解：方程去括号得：3x+2=8+x，
移项合并得：2x=6，
解得：x=3．
19．【答案】解：
由②-①得
y=1
将y=1代入①得
x+2=4
解之：x=2
∴原方程组的解为.
20．【答案】解：由 可得
②×3-①×2得 ，
即 ，
解得y=1，
将y=1代入①式得 ，解得 .
故该方程组的解为 .
21．【答案】解：令 ，则原方程组可化为：
，整理得： ，
②-①得： ，
解得： ，代入②可得：b=4，
∴方程组的解为： 或 ，
，
当a=5时， =6，
当a=-5时， =26，
因此 的值为6或26.
22．【答案】（1）解：设第一天，该经营户批发菠萝xkg，苹果ykg，根据题意得：，解得：，∴元，
答：这两种水果获得的总利润为500元；
（2）解：设购进菠萝mkg，则购进苹果，根据题意：，解得：，∵m，均为正整数，∴m取88，94，∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
23．【答案】（1）√；×；×
（2）解：设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，由题意得：
，
解得，
（只），
所以，数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只.
24．【答案】（1）解：设团队制作一个 类微课的成本为 元，制作一个 类微课的成本为 元，由题意得：
，
解得： ；
答：团队制作一个 类微课和一个 类微课的成本分别是700元、500元
（2）解：由题意得制作 类微课 天，则有：
，
∵团队每月制作的 类微课数不少于 类微课数的2倍，
∴ ，且 ，解得：
（3）解：由（2）可得： ， ，
∴ 随 的增大而增大，
∵每月制作的 、 两类微课的个数均为整数，
∴ 为偶数，
∴当 时，w取最大，最大值为 ；
答：每月制作 类微课 个时，该团队月利润 最大，最大利润是 元
25．【答案】（1）-1；5
（2）解：设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则
①×2，得40x+6y+4z=64③
③-②，得x+y+z=6
∴5(x+y+z)=30
∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
（3）-112023年中考数学精选真题实战测试13 一元一次不等式（组）A
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·包头）若，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2022·益阳）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022·河池）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022·衢州）不等式组，的解集是（　　）
A． B．无解 C． D．
5．（3分）（2022·聊城）关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022·滨州）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）（2022·杭州）已知a，b，c，d是实数，若a>b，c=d，则(　　)
A．a+c>b+d B．a+b>c+d C．a+c>b-d D．a+b>c-d
8．（3分）（2022·重庆）若关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于y的分式方程 的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．-26 B．-24 C．-15 D．-13
9．（3分）（2022·重庆）关于x的分式方程 的解为正数，且关于y的不等式组 的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是(　　)
A．13 B．15 C．18 D．20
10．（3分）（2022·内江模拟）已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则符合条件的整数m有（　　）个.
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解.则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程.若方程是关于x的不等式组的关联方程，则n的取值范围是 　 　.
12．（3分）（2022·青海）不等式组的所有整数解的和为　 　.
13．（3分）（2022·龙东）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是　 　．
14．（3分）（2022·山西）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价　 　元．
15．（3分）（2022·达州）关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是　 　.
16．（3分）（2022·绵阳）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是　 　．
三、解答题（共9题，共72分）(共9题；共72分)
17．（6分）（2022·枣庄）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③x+3≥1﹣x．
18．（6分）（2022·常德）求不等式组的解集.
19．（6分）（2022·烟台）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
20．（6分）（2022·菏泽）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．
21．（8分）（2022七上·桐乡期中）阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为.例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离.根据以上信息，完成下列题目：
（1）（2分）已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1.
①若点对应的数为，则，两点之间的距离为 　 　；
②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是 　 　.
（2）（2分）对于这个代数式.
①它的最小值为 　 　；
②若，则的最大值为 　 　.
22．（10分）（2022·衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
（1）（5分）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）（5分）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
23．（10分）（2022·六盘水）钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人，现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售，以下是购买者的出价：
（1）（5分）根据对话内容，求钢钢出售的竹篮和陶罐数量；
（2）（5分）钢钢接受了钟钟的报价，交易后到花店购买单价为5元/束的鲜花，剩余的钱不超过20元，求有哪几种购买方案．
24．（10分）（2022·龙东）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）（3分）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）（3分）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）（4分）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
25．（10分）（2022·怀化）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元.
（1）（3分）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？
（2）（3分）为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售. 优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折.设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式.
（3）（4分）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】A
10．【答案】C
11．【答案】1≤n＜3
12．【答案】0
13．【答案】或
14．【答案】32
15．【答案】2≤a＜3
16．【答案】
17．【答案】若选择①、③：
，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜4，
把解集表示在数轴上如下：
若选择②、③：
，
解不等式①得：x＞，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集是x＞，
把解集表示在数轴上如下：
18．【答案】解：
由①得：x＞，
由②得：x≤1，
所以原不等式组的解集为＜x≤1.
19．【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
20．【答案】解：解①得：x≤1，
解②得：x<6，
∴x≤1，
解集在数轴上表示为：
21．【答案】（1）3；
（2）7；4
22．【答案】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为 元，
答：新能源车的每千米行驶费用为 元
（2）解：①由题意得： ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，
则 ， ，
答：燃油车的每千米行驶费用为 元，新能源车的每千米行驶费用为 元；
②设每年行驶里程为 x 千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得： ，
解得 ，
答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低.
23．【答案】（1）解：设钢钢出售的竹篮为 个，陶罐为 个，
由题意得： ，
解得 ，
答：钢钢出售的竹篮为5个，陶罐为3个．
（2）解：设钢钢购买了 束鲜花，
由题意得： ，
解得 ，
因为 为正整数，
所以共有四种购买方案：①购买9束鲜花；②购买10束鲜花；③购买11束鲜花；④购买12束鲜花．
24．【答案】（1）解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
根据题意，得，
解得，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
（2）解：根据题意，得，
解得，
∵m为整数，∴m可取23，24，25．
∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；
方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；
方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根；
（3）解：设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w有最小值，即w（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．
25．【答案】（1）解：设每件雨衣元，每双雨鞋元，则
，解得，
经检验，是原分式方程的根，
，
答：每件雨衣元，每双雨鞋元；
（2）解：据题意，一套原价为元，下降20%后的现价为元，则
；
（3）解：，
购买的套数在范围内，
即，解得，
答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买套.2023年中考数学精选真题实战测试14 一元一次不等式（组）B
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·内江）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（　　）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b
C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
2．（3分）（2022·邵阳）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（3分）（2021·北部湾）定义一种运算： ，则不等式 的解集是（　　）
A． 或 B．
C． 或 D． 或
4．（3分）（2021·日照）若不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）（2021·威海）解不等式组 时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022八上·宝安期末）若整数a使关于y的不等式组至少有3个整数解，且使得关于x的分式方程的解为正数，则所有符合条件的整数a的和为（　　）
A．-6 B．-9 C．-11 D．-14
7．（3分）（2021·永州）在一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（3分）（2021·常德）若 ，下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）（2021·呼和浩特）已知关于x的不等式组 无实数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）（2022·台湾）有一间公司请水电工程厂商安装日光灯管，厂商提供两种方案如表（三）所示.
表（三）
方案 施工内容 施工费用（含材料费）
基本方案 安装90支日光灯管 45000元
省电方案 安装120支日光灯管 60000元
已知n支功率皆为w瓦的灯管都使用t小时后消耗的电能（度）=，若每支灯管使用时间皆相同，且只考虑灯管消耗的电能并以每度5元计算电费，则两种方案相比，灯管使用时间至少要超过多少小时，采用省电方案所节省的电费才会高于两者相差的施工费用？（　　）
A．12200 B．12300 C．12400 D．12500
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·绥化）不等式组的解集为，则m的取值范围为　 　．
12．（3分）（2021·东营）不等式组 的解集是　 　．
13．（3分）（2020·绵阳）若不等式 ＞﹣x﹣ 的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是　 　．
14．（3分）（2020·眉山）关于x的分式方程 的解为正实数，则k的取值范围是　 　．
15．（3分）（2020·凉山州）关于x的不等式组 有四个整数解，则a的取值范围是　 　.
16．（3分）（2021·绥化）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个 种奖品和4个 种奖品共需100元；购买5个 种奖品和2个 种奖品共需130元．学校准备购买 两种奖品共20个，且 种奖品的数量不小于 种奖品数量的 ，则在购买方案中最少费用是　 　元．
三、解答题（共8题，共72分）(共9题；共72分)
17．（6分）（2022·济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18．（6分）（2022·威海）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：．
19．（6分）（2022·扬州）解不等式组，并求出它的所有整数解的和.
20．（8分）（2022·广元）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解.
21．（8分）（2022·西藏）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．
（1）（4分）笔记本和钢笔的单价各多少元？
（2）（4分）若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？
22．（8分）（2022·资阳）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
（1）（4分）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
（2）（4分）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
23．（8分）（2022·郴州）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地.最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥.已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元.
（1）（4分）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
（2）（4分）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？
24．（10分）（2021·黄冈）2021年是中国共产党建党100周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的大客车（每种型号至少一辆）送549名学生和11名教师参加此次实践活动，每辆汽车上至少要有一名教师.
甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如下表所示：
　 甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆） 40 55
租金（元/辆） 500 600
（1）（3分）共需租　 　辆大客车；
（2）（3分）最多可以租用多少辆甲种型号大客车？
（3）（4分）有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？
25．（12分）（2021·鹤岗）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）（4分）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）（4分）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）（4分）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】D
10．【答案】D
11．【答案】m≤2
12．【答案】
13．【答案】 ≤m≤6
14．【答案】k＞-2且k≠2
15．【答案】- ≤a＜-
16．【答案】330
17．【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是，
∴整数解为1，2．
18．【答案】解：∵
∴
故，
因为
通分得
移项得
解得，
所以该不等式的解集为：，
用数轴表示为：
19．【答案】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的所有整数解为： ， ， ， ， ，
∴所有整数解的和为：.
20．【答案】解：原式=；
由可得该不等式组的解集为：，
∴该不等式组的整数解为：-1、0、1、2，
当x=-1，0，1时，分式无意义，
∴x=2，
∴把x=2代入得：原式=.
21．【答案】（1）解：设每支钢笔x元，依题意得：
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，
故笔记本的单价为：10+2＝12（元），
答：笔记本每本12元，钢笔每支10元．
（2）解：设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，依题意得：
12y+10（50﹣y）≤540，
解得：y≤20，
故最多购买笔记本20本．
22．【答案】（1）解：设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元．
根据题意得：
解得：．
∴
答：甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元．
（2）解：设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个．
根据题意，得：
解得：
∴a最大值是30．
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
23．【答案】（1）解：设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，
根据题意，得 ，
解得：.
答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元.
（2）解：设沟买甲种有机肥m呠，则购实乙种有机肥 吨，
根据题意，得 ，解得 .
答：小姣最多能购买甲种有机用6吨.
24．【答案】（1）11
（2）解：设租用 辆甲种型号大客车，则租用 辆乙种型号大客车，
由题意得： ，
解得 ，
因为 且为正整数，
所以最多可以租用3辆甲种型号大客车
（3）解：由（2）可知，租用甲种型号大客车的辆数可以为 辆，
则有三种租车方案：①租用1辆甲种型号大客车，10辆乙种型号大客车；②租用2辆甲种型号大客车，9辆乙种型号大客车；③租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车；
方案①的费用为 （元），
方案②的费用为 （元），
方案③的费用为 （元），
所以租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车最节省钱
25．【答案】（1）解：设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元．
根据题意，得 ，
解得： ，
答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元．
（2）解：根据题意，得 ，
解得： ，
∵m为整数，
∴m可取5、6、7，
∴有三种方案：
方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；
方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．
设总资金为W万元，则 ，
∵ ，
∴W随m的增大而增大，
∴当 时， （万元），
∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元．
（3）解：由（2）可知，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件时，费用最小，
根据题意，此时，节省的费用为 （万元），
降价后的单价分别为：甲种0.8万元，乙种0.3万元，
设节省的资金可购买a台甲种，b台乙种，
则： ，
由题意，a，b均为非负整数，
∴满足条件的解为： 或 ，
∴节省的资金再次购买农机具的方案有两种：
方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；
方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．2023年中考数学精选真题实战测试15一元二次方程 A
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·巴中）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（　　）
A． B．
C．且 D．且
2．（3分）（2022·安顺）定义新运算：对于任意实数，满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如．若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况是（　　）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
3．（3分）（2022·宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2022·聊城）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则a+b的值为（　　）
A． B． C．2 D．
5．（3分）（2022·仙桃）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
6．（3分）（2022·呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（　　）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
7．（3分）（2022·黔东南）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（　　）
A．7 B．-7 C．6 D．-6
8．（3分）（2022·龙东）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（　　）
A．8 B．10 C．7 D．9
9．（3分）（2022·宜宾）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（　　）
A．0 B．-10 C．3 D．10
10．（3分）（2021·毕节）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：　 　（不必化简）．
12．（3分）（2022·巴中）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为　 　．
13．（3分）（2022·鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 　 　.
14．（3分）（2022·日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=　 　．
15．（3分）（2022·内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 　 　.
16．（3分）（2022·青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为　 　．
三、解答题（共8题，共72分）(共8题；共72分)
17．（5分）（2022·齐齐哈尔）解方程：
18．（5分）（2018·梧州）解方程：2x2﹣x﹣3=0．
19．（8分）（2022·贵阳）（1）（2分）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示.
用“<”或“>”填空：a　 　b，ab　 　0；
（2）（4分）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程.
①x2+2x 1=0；②x2 3x=0；③x2 4x=4；④x2 4=0.
20．（8分）（2022·十堰）已知关于 的一元二次方程 .
（1）（4分）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）（4分）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值.
21．（10分）（2022·朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）（3分）求y与x之间的函数关系式．
（2）（3分）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）（4分）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．（12分）（2022·毕节）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰嫩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
（1）（4分）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）（4分）第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）（4分）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
23．（12分）（2022·黄石）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）（3分）直接应用：
方程的解为　 　；
（2）（4分）间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
（3）（5分）拓展应用：
已知实数m，n满足：，且，求的值．
24．（12分）（2022·四川）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）（1分）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝　 　；x1x2＝　 　．
（2）（5分）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
（3）（5分）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】A
10．【答案】B
11．【答案】
12．【答案】-4
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】2
16．【答案】
17．【答案】解：∵
∴或
解得，．
18．【答案】解：（2x-3）（x+1）=0，则2x-3=0，x+1=0，解得：x1=，x2=-1
19．【答案】（1）＜；＜
（2）解：①x2+2x 1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2 3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3；
③x2 4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-；
④x2 4=0.
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x1=-2，x2=2.
20．【答案】（1）证明： ，
∵ ，
∴ ，
该方程总有两个不相等的实数根
（2）解： 方程的两个实数根 ， ，
由根与系数关系可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，即
21．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为
（2）解：（-5x+150）（x-8）=425，
整理得：，
解得：，
∵8≤x≤15，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：根据题意得：
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为2050．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是2050元．
22．【答案】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元.
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元
23．【答案】（1），，，
（2）解：∵，
∴或
①当时，令，，
∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
此时；
②当时，，
此时；
综上：或
（3）解：令，，则，，
∵，
∴即，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故．
24．【答案】（1）；
（2）解：∵m+n=，mn＝-，
∴.
（3）解：由题意得：s、t是 一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根 ，
∴s+t=，st=-，
.2023年中考数学精选真题实战测试16一元二次方程 B
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·荆州）关于x的方程 实数根的情况，下列判断正确的是（　　）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
2．（3分）（2022·宜宾）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且
C．且 D．
3．（3分）（2022·新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2022·遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（　　）
A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044
5．（3分）（2021·毕节）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． 且 D． 且
6．（3分）（2021·荆州）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有 ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如： .若关于x的方程 有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A． 且 B．
C． 且 D．
7．（3分）（2021·武汉）已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是（　　）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
8．（3分）（2021·赤峰）一元二次方程 ，配方后可形为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）（2021·玉林）已知关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，则（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）（2018·乌鲁木齐）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（　　）
A．（180+x﹣20）（50﹣ ）=10890
B．（x﹣20）（50﹣ ）=10890
C．x（50﹣ ）﹣50×20=10890
D．（x+180）（50﹣ ）﹣50×20=10890
二、填空题每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·连云港）若关于 的一元二次方程 的一个解是 ，则 的值是　 　.
12．（3分）（2021·十堰）对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为　 　.
13．（3分）（2022·绥化）设与为一元二次方程的两根，则的值为　 　．
14．（3分）（2022·四川）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是　 　．
15．（3分）（2021·随县）已知关于 的方程 （ ）的两实数根为 ， ，若 ，则 　 　.
16．（3分）（2021·盐城）劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克.设平均每年增产的百分率为 ，则可列方程为　 　.
三、解答题（共9题，共72分）(共9题；共72分)
17．（5分）（2018·梧州）解方程：2x2﹣x﹣3=0．
18．（5分）（2018·巴中）解方程：3x（x﹣2）=x﹣2．
19．（8分）（2017·安顺）先化简，再求值：（x﹣1）÷（ ﹣1），其中x为方程x2+3x+2=0的根．
20．（8分）（2020·荆州）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值.
问题：解方程 （提示：可以用换元法解方程），
解：设 ，则有 ，
原方程可化为： ，
续解：
21．（8分）（2021·南充）已知关于x的一元二次方程 .
（1）（4分）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根.
（2）（4分）如果方程的两个实数根为 ， ，且k与 都为整数，求k所有可能的值.
22．（8分）（2020·鄂州）已知关于x的方程 有两实数根.
（1）（4分）求k的取值范围；
（2）（4分）设方程两实数根分别为 、 ，且 ，求实数k的值.
23．（10分）（2021·盘锦）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床 台．
（1）（6分）当 时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
　 A型 B型
车床数量/台 ▲
每台车床获利/万元 10 ▲
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）（4分）当0＜ ≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
24．（10分）（2020·丹东）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 （件）与每件的售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 （元/件） 60 65 70
销售量 （件） 1400 1300 1200
（1）（3分）求出 与 之间的函数表达式；（不需要求自变量 的取值范围）
（2）（3分）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）（4分）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为 （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
25．（10分）（2021·深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、 倍、k倍．
（1）（3分）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？　 　（填“存在”或“不存在”）．
（2）（7分）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， ，
联立 得 ，再探究根的情况：
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的 倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明 ： ， ： ，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 ，若存在，用图像表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】D
10．【答案】B
11．【答案】1
12．【答案】-1或2
13．【答案】20
14．【答案】6
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】解：（2x-3）（x+1）=0，则2x-3=0，x+1=0，解得：x1=，x2=-1
18．【答案】解：3x（x﹣2）=x﹣2，
移项得：3x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0
整理得：（x﹣2）（3x﹣1）=0
x﹣2=0或3x﹣1=0
解得：x1=2或x2= .
19．【答案】解：原式=（x﹣1）÷
=（x﹣1）÷
=（x﹣1）×
=﹣x﹣1．
由x为方程x2+3x+2=0的根，解得x=﹣1或x=﹣2．
当x=﹣1时，原式无意义，所以x=﹣1舍去；
当x=﹣2时，原式=﹣（﹣2）﹣1=2﹣1=1
20．【答案】解：续解： ，
，
解得 ， （不合题意，舍去），
，
， ，
，
经检验都是方程的解.
21．【答案】（1）证明：
∵△=
=
∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根
（2）解：∵
∴
∴ =0
∴ ， 或 ，
当 ， 时，
∵k与 都为整数，
∴k=0或-2
当 ， 时，
∴ ，
∵k与 都为整数，
∴k=1或-1
∴k所有可能的值为0或-2或1或-1
22．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴△≥0，即 ≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范围为：k≤3.
（2）解：由根与系数的关系可得 ，
由 可得 ，
代入x1＋x2和x1x2的值，可得：
解得： ， （舍去），
经检验， 是原方程的根，
故 .
23．【答案】（1）解：①14-x|21-x；②此时，由A型获得的利润是10（ ）万元，
由B型可获得利润为 万元，
根据题意： ， ，
，∵0≤ ≤14， ∴ ，
即应产销B型车床10台；
（2）解：当0≤ ≤4时，
当0≤ ≤4 A型 B型
车床数量/台
每台车床获利/万元 10 17
利润
此时，W＝ ＋ ＝ ，
该函数值随着 的增大而增大，当 取最大值4时，W最大1＝168（万元）；
当4＜ ≤14时，
当4＜ ≤14 A型 B型
车床数量/台
每台车床获利/万元 10
利润
则W＝ ＋ ＝ ＝ ，
当 或 时（均满足条件4＜ ≤14），W达最大值W最大2＝170（万元），
∵W最大2＞ W最大1，
∴应分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元．
24．【答案】（1）解：设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，
，
解得， ，
∴ 与 之间的函数表达式为 ；
（2）解：设该种衬衫售价为x元，根据题意得，
（x-50）(-20x+2600)=24000
解得， ， ，
∵批发商场想尽量给客户实惠，
∴ ，
故这种衬衫定价为每件70元；
（3）解：设售价定为x元，则有：
=
∵
∴
∵k=-20＜0，
∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）.
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元.
25．【答案】（1）不存在
（2）解：a存在；
∵ 的判别式 ，方程有两组正数解，故存在；
从图像来看， ： ， ： 在第一象限有两个交点，故存在；
b设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， ，联立 得 ，
因为 ，此方程无解，故这样的新矩形不存在；
从图像来看， ： ， ： 在第一象限无交点，故不存在；
c. ；
设新矩形长和宽为x和y，则由题意 ， ，
联立 得 ， ，故 ．2023年中考数学精选真题实战测试17 平面直角坐标系A
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·扬州）在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）（2022·攀枝花）若点在第一象限，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）（2022·金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，下列各地点中，离原点最近的是（　　）
A．超市 B．医院 C．体育场 D．学校
4．（3分）（2022·黄石）如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022·六盘水）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”时，表示的动物是（　　）
A．狐狸 B．猫 C．蜜蜂 D．牛
6．（3分）（2022·安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）（2022·河池）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）（2022·铜仁）如图，在矩形中，，则D的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）（2022·海南）如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）（2021·湘西）已知点 在第一象限，且 ，点 在 轴上，当 为直角三角形时，点 的坐标为（　　）
A． ， 或 B． ， 或
C． ， 或 D． ， 或
二、解答题（共8题，共72分）(共8题；共72分)
11．（6分）（2022七下·雨花期末）如图，的顶点都在平面直角坐标系中的坐标轴上，的面积，，，求三个顶点的坐标．
12．（8分）（2019·黄石）若点 的坐标为（ ， ），其中 满足不等式组 ，
求点 所在的象限.
13．（8分）（2022八上·定南期中）在平面直角坐标系中，点，点．
（1）（4分）若点A在第一象限的角平分线上，求a的值；
（2）（4分）若点A与点B关于x轴对称，求的值．
14．（8分）（2022九上·拱墅月考）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字﹣2，﹣1，0，3的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀．
（1）（4分）从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a+2＝0有实数根的概率．
（2）（4分）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为x（不放回），再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，用树状图或列表法表示出点（x，y）所有可能出现的结果，并求点（x，y）落在第二象限内的概率．
15．（10分）（2022八上·丰顺月考）如图，平面直角坐标系中，已知点 ，，， 是 的边 上任意一点， 经过平移后得到 ，点 的对应点为 ．
（1）（3分）直接写出点 ，， 的坐标．
（2）（3分）在图中画出 ．
（3）（4分）写出 的面积．
16．（10分）（2022八上·江都月考）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，﹣4），且与正比例函数y＝x的图象相交于点（4，a）.
（1）（3分）求a的值；
（2）（3分）求k，b的值；
（3）（4分）求这两个函数的图象及y轴围成的三角形的面积.
17．（10分）（2022八上·龙湖期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）（2分）【模型呈现】
如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　 　，BC＝　 　．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）（3分）【模型应用】
如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
（3）（3分）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，6），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．
18．（12分）（2021·衡阳）如图， 的顶点坐标分别为 ，动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动.过点Q作 分别交 、 于点M、N，连接 、 .设运动时间为t（秒）.
（1）（3分）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）（3分）求四边形 面积的最大值或最小值；
（3）（3分）是否存在这样的直线l，总能平分四边形 的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；
（4）（3分）连接 ，当 时，求点N到 的距离.
三、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
19．（3分）（2022·兰州）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是　 　．
20．（3分）（2022·宁夏）如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是　 　．
21．（3分）（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；…；按此做法进行下去，则点的坐标为　 　．
22．（3分）（2022·贵港）从-3，-2，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是　 　.
23．（3分）（2022·贺州）如图，在平面直角坐标系中， 为等腰三角形， ，点B到x轴的距离为4，若将 绕点O逆时针旋转 ，得到 ，则点 的坐标为　 　.
24．（3分）（2022·丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图.已知B点的坐标是（﹣ ，3），则A点的坐标是　 　
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】D
10．【答案】C
11．【答案】解：∵S△ABC=BC OA=24，OA=OB，BC=12，
∴，
∴OC=8，
∵点O为原点，
∴A（0，4），B（-4，0），C（8，0）．
12．【答案】 解：
由①得;
5x-10≥2x+2
3x≥12
x≥4
由②得：
x-2≤14-3x
4x≤16
解之：x≤4
所以此不等式组的解集为：x=4
∴，2x-9=2×4-9=-1
所以 点P（1，-1）
∴点P在第四象限
13．【答案】（1）解：∵点A在第一象限的角平分线上，
∴，
解得．
（2）解：依题意得，．
解得，，
∴=．
14．【答案】（1）解：∵一元二次方程ax2﹣2ax+a+2＝0有实数根，
∴Δ＝4a2﹣4a（a+2）＝﹣8a≥0，且a≠0，
∴a＜0，
∵数字﹣2，﹣1，0，3中，小于0的有﹣2，﹣1，
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a+2＝0有实数根的概率为＝
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果：（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，3），（﹣1，﹣2），（﹣1，0），（﹣1，3），（0，﹣2），（0，﹣1），（0，3），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，0），
其中落在第二象限内的有：（﹣2，3），（﹣1，3），共2种结果，
∴点（x，y）落在第二象限内的概率为＝
15．【答案】（1）解：，，
（2）解：∵，经过平移后得到
∴平移方式为向右平移6个单位，再向下平移2个单位，
如图所示， 即为所求．
（3）解： 的面积
16．【答案】（1）解：把（4，a）代入y＝0.5x得a＝2
（2）解：把（﹣2，﹣4）、（4，2）代入y＝kx+b得，
解得
（3）解：一次函数解析式为y＝x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，
则一次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
所以这两个函数图象与y轴所围成的三角形面积＝×2×4＝4.
17．【答案】（1）DE；AE
（2）解：①过点D作DM⊥FG于点M
过点E作FN⊥FG于点N
∵BC⊥AF
∴
在△ABF和△DAM中
同理可证AF=NE
在△GMD和△GNE中
∴点G是DE的中点.
（3）（-2，4）或（4，2）
18．【答案】（1）解：过M点作 轴于G点.过A点作 轴于D点.
则
四边形 为矩形，
则
，
，
，
∴ ，即
∴
∴
（2）解：∵
∴四边形 为平行四边形
∵ ，
＜ ＜ （当 或 时，四边形不存在）
而 ，
当 时， 取最大值6
∴四边形 面积不存在最小值，存在最大值，最大值为6
（3）解：存在.理由如下：
连接 交 于
由（2）得：四边形 为平行四边形，
过 的任意直线都平分 的面积，
所以由中点坐标公式可得： ，即l过点H，
∴
（4）解：如图，当 ＜ 时，
∵
∴
∴ ，即 ，
∴ ，
经检验； 是原方程的根， 是增根，舍去，
此时：
如图，过 作 于
当 时， 此时 到 的距离是 到 的距离，
设这个距离为 由等面积法可得：
当 时，不合题意，舍去.
综上： 到 的距离为： 或
19．【答案】（-4，1）
20．【答案】3
21．【答案】
22．【答案】
23．【答案】（-4，8）
24．【答案】

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