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2023年上海市松江区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．已知tanA＝，则锐角A的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列结论正确的是（　　）
A．tanA＝ B．cotA＝ C．sinA＝ D．cosA＝
3．关于抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．与y轴的交点是（0，﹣3）
C．顶点是（1，﹣3） D．对称轴是直线x＝﹣1
4．已知、为非零向量，下列判断错误的是（　　）
A．如果＝2，那么
B．如果＝，那么＝
C．如果||＝||，那么＝或＝﹣
D．如果为单位向量，且＝2，那么||＝2
5．如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标志物P，测得∠PAB＝α、∠PBA＝β，那么这条河的宽度是（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
6．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝3，AD＝2，BC＝4．P是BA延长线上一点，使得△PAD与△PBC相似，这样的点P的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．如果＝，那么＝　 　．
8．已知线段AB＝6，P是AB的黄金分割点，且PA＞PB，那么PA的长是 　 　．
9．如图，已知直线AD∥BE∥CF，如果＝，DE＝3，那么线段EF的长是 　 　．
10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，E是边AC的中点，延长BC到点D，使BC＝2CD，那么DE的长是 　 　．
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝5，那么cos∠BCD的值是 　 　．
12．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比i＝1：0.75，堤高BC＝4.8米，那么坡面AB的长度是 　 　米．
13．把抛物线y＝x2+1向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是 　 　．
14．如果一条抛物线经过点A（﹣2，0）和B（4，0），那么该抛物线的对称轴是直线 　 　．
15．已知一个二次函数的图像经过点（0，2），且在y轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是 　 　（只要写出一个符合要求的解析式）．
16．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解折武是y＝x2+x（0≤x≤4）．那么水珠的最大离地高度是 　 　米．
17．已知△ABC，P是边BC上一点，△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，那么的值为 　 　．
18．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，将△ABC绕点C旋转至△A'B′C，如果直线A′B'⊥AB，垂足记为点D，那么的值为 　 　．
三、解答题（本大题共7题）
19．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2DB．
（1）如果BC＝4，求DE的长；
（2）设＝，＝，用、表示．
20．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1．
（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中（如图），画出这个二次函数的图象；
（3）请描述这个二次函数图象的变化趋势．
21．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，ED、BA的延长线交于点F．
（1）求∠ABC的正切值；
（2）求的值．
22．小明想利用测角仪测量操场上旗杆AB的高度．如图，他先在点C处放置一个高为1.6米的测角仪（图中CE），测得旗杆顶部A的仰角为45°，再沿BC的方向后退3.5米到点D处，用同一个测角仪（图中DF），又测得旗杆顶部A的仰角为37°．试求旗杆AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
23．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且BE2＝EF EC．求证：
（1）△ABD∽△FCB；
（2）BD BE＝AD CE．
24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B（﹣1，3）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为P（m，n）．
①如果PO＝PA，且新抛物线的顶点在△AOB的内部，求m+n的取值范围；
②如果新抛物线经过原点，且∠POA＝∠OBA，求点P的坐标．
25．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，E是线段CD上一点，联结BE．
（1）如图1，如果AD＝1，且CE＝3DE，求∠ABE的正切值；
（2）如图2，如果BE⊥CD，且CE＝2DE，求AD的长；
（3）如果BE⊥CD，且△ABE是等腰三角形，求△ABE的面积．
2023年上海市松江区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．【解答】解：∵tanA＝，A为锐角，tan60°＝，
∴∠A＝60°．
故选：C．
2．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝＝，
∴tanA＝＝，cotA＝＝，sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，
故选：B．
3．【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2﹣3，
∴抛物线开口向下，顶点为（﹣1，﹣3），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
将x＝0代入y＝﹣2（x+1）2﹣3得y＝﹣5，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣5），
故选：D．
4．【解答】解：A、如果＝2，那么两向量是共线向量，则，故本选项不符合题意．
B、如果＝，那么两向量为共线向量，则＝﹣，故本选项符合题意．
C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，故本选项不符合题意．
D、根据向量模的定义知，||＝2||＝2，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．【解答】解：作PC⊥AB，交AB于点C，
∵PC⊥AB，∠PAB＝α、∠PBA＝β，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°，
∴AC＝，BC＝，
∵AB＝a，AB＝AC+BC，
∴a＝+，
解得PC＝＝，
故选：A．
6．【解答】解：延长CD交射线BA于点E，
∵AD∥BC，
∴△EAD∽△EBC，
如图1，点P与点E重合，则△PAD与△EAD完全重合，
∴△PAD∽△PBC；
如图2，点P在点E与点A之间，
∵∠PAD＝∠CBP，
∴当＝时，△PAD∽△CBP，
∵AB＝3，AD＝2，BC＝4，
∴＝，
解得AP＝或AP＝（不符合题意，舍去），
∴此时存在点P，使△PAD与△CBP相似；
如图3，点P在AE的延长线上，
若△PAD∽△PBC，则＝＝＝，
∴PA＝PB，
∴A为BP的中点，
∴AP＝AB＝3＝AE，
显然与点P在AE的延长线上不符，
∴此时△PAD与△PBC不相似，
综上所述，这样的点P有2个，
故选：B．
二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．【解答】解：∵＝，则x＝y，
∴＝＝＝．
故答案为：．
8．【解答】解：∵P是AB的黄金分割点，且PA＞PB，AB＝6，
∴AP＝AB＝×6＝3﹣3，
故答案为：3﹣3．
9．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵DE＝3，
∴＝，
∴EF＝，
故答案为：．
10．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，
∵点E为AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝2，
∵BC＝2CD，
∴FC＝CD，
∵AC⊥BC，
∴AC垂直平分DF，
∴DE＝EF＝2，
故答案为：2．
11．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴∠BCD+∠ACD＝∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∴cos∠BCD＝cosA＝＝．
故答案为：．
12．【解答】解：∵i＝BC：AC＝1：0.75＝4：3，
∴令BC＝4x（米），AC＝3x（米），
∴AB＝＝＝5x（米），
∵BC＝4x＝4.8（米），
∴x＝1.2，
∴AB＝5x＝6（米）．
故答案为：6．
13．【解答】解：∵y＝x2+1顶点坐标为（0，1），
∴向左平移2个单位后顶点坐标为（﹣2，1），
∴所得新抛物线的表达式为y＝（x+2）2+1．
故答案为：y＝（x+2）2+1．
14．【解答】解：∵抛物线经过点A（﹣2，0）和B（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
故答案为：x＝1．
15．【解答】解：由题意得抛物线开口向下，抛物线对称轴为y轴或在y轴右侧，
∴y＝﹣x2+2符合题意．
故答案为：y＝﹣x2+2，（答案不唯一）．
16．【解答】解：∵y＝x2+x＝﹣（x﹣2）2+，
∴当x＝2时，y有最大值，最大值为，
∴水珠的最大离地高度是，
故答案为：．
17．【解答】解：延长AG1交PB于D，延长AG2交PC于E，
∵△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，
∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中点，E是PC中点，
∵∠G1AG2＝∠DAE，
∴△AG1G2∽△ADE，
∴△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，
∵D是PB中点，E是PC中点，
∴△ADE的面积＝×△ABC的面积，
∴的值为．
故答案为：．
18．【解答】解：设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，
当旋转90°时，A′B＝x，
∵sinA＝，
∴B′D＝x，
∴AD＝x，
∴BD＝AB﹣AD＝x，
∴＝，
同理：当旋转270°时，＝，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7题）
19．【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AD＝2DB，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝BC，
∵BC＝4，
∴DE＝；
（2）由（1）知DE＝BC，
∴BC＝DE，
∵DE∥BC，＝，
∴＝，
∴＝+＝+．
20．【解答】解：（1）∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴二次函数y＝2x2﹣4x﹣1图象的顶点坐标为（1，﹣3）；
（2）由（1）知抛物线顶点为（1，3），由y＝2x2﹣4x﹣1可得抛物线过（0，﹣1），（2，﹣1），（3，5），（﹣1，5），如图：
（3）当x≤1时，y随x的增大而减小，
当x＞1时，y随x的增大而增大．
21．【解答】解：（1）过A作AH⊥BC于H，如图：
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BH＝CH＝BC＝6，
在Rt△ABH中，
AH＝＝＝8，
∴tanB＝＝＝；
（2）由（1）知tanB＝，
∴tanC＝，
∴＝，
∵D是AC的中点，AC＝10，
∴CD＝5，
∴DE＝4，CE＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝12﹣3＝9，
∵tanB＝，
∴＝，
∴EF＝12，
∴DF＝EF﹣DE＝12﹣4＝8，
∴＝＝2．
22．【解答】解：设直线EF交AB于G，如图：
根据题意，∠AEG＝45°，∠AFG＝37°，EF＝3.5米，
∴△AEG的等腰直角三角形，
∴AG＝GE，
设AG＝GE＝x米，则旗杆AB高度为（x+1.6）米，
∴GF＝GE+EF＝（x+3.5）米，
在Rt△AGF中，
tan∠AFG＝，
∴tan37°＝，即0.75＝，
解得：x＝10.5，
∴x+1.6＝10.5+1.6＝12.1，
答：旗杆AB的高度是12.1米．
23．【解答】证明：（1）∵BE2＝EF EC，
∴＝，
∵∠BEF＝∠CEB，
∴△BEF∽△CEB，
∴∠EBF＝∠ECB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠FBC，
∴△ABD∽△FCB；
（2）由（1）知△BEF∽△CEB，△ABD∽△FCB
∴＝，＝，
∴＝，
∴BE BD＝AD CE．
24．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B（﹣1，3），
∴，解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4；
（2）①∵PO＝PA，
∴点P在OA的垂直平分线上，
∵点A（2，0），
∴点P的横坐标m＝1，
设直线AB为y＝kx+b，
∵点A（2，0）和点B（﹣1，3），
∴，解得，
∴直线AB为y＝﹣x+2，
当x＝1时，y＝﹣x+2＝1，
∴OA的垂直平分线与AB的交点坐标为（1，1），
∵新抛物线的顶点P（m，n）在△AOB的内部，
∴n的取值范围为0＜n＜1，
∴1＜m+n＜2；
②如图，
设OP与AB交于Q，Q（x，﹣x+2），
∵∠POA＝∠OBA，∠OAQ＝∠BAO，
∴△AOQ∽△ABO，
∴，
∵点A（2，0）和点B（﹣1，3），
∴OA＝2，BO＝＝，BA＝3，
∴，
∴OQ＝，
∴＝，解得x＝或，
∴Q（，）或（，）（舍去），
∴直线OQ为y＝x，
∵P（m，n），
∴n＝m，
∴新抛物线为y＝﹣（x﹣m）2+m，
∵新抛物线经过原点，
∴﹣（﹣m）2+m＝0，解得m＝0或m＝，
∴点P的坐标为（，）．
25．【解答】解：（1）过D作DK⊥BC于K，过E作ET⊥BC于T，如图：
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，DK⊥BC，
∴四边形ABKD是矩形，
∴BK＝AD＝1，DK＝AB＝4，
∴CK＝BC﹣BK＝6﹣1＝5，
∵CE＝3DE，
∴＝，
∵∠DKC＝90°＝∠ETC，∠C＝∠C，
∴△DKC∽△ETC，
∴＝＝＝，即＝＝，
∴ET＝3，KT＝，
∴BT＝BK+KT＝，
∵AB∥ET，
∴∠ABE＝∠BET，
∴tan∠ABE＝tan∠BET＝＝＝，
∴∠ABE的正切值为；
（2）过D作DR⊥BC于R，过E作ES⊥BC于S，如图：
∵CE＝2DE，
∴＝，
同（1）可得＝＝，DR＝4，
∴＝＝，
∴ES＝，CR＝CS，
∵BE⊥CD，
∴∠BES＝90°﹣∠CES＝∠C，
∵∠BSE＝90°＝∠ESC，
∴△BSE∽△ESC，
∴＝，即＝，
∴CS＝或CS＝，
∴CR＝（大于6舍去）或CR＝，
∴BR＝BC﹣CR＝，
∴AD＝；
∴AD的长为；
（3）当AB＝BE＝4时，过E作EW⊥BC于W，如图：
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°＝∠BWE，
∵∠EBW＝∠CBE，
∴△EBW∽△CBE，
∴＝，即＝，
∴BW＝，
∴S△ABE＝AB BW＝×4×＝；
当AE＝BE时，过E作EP⊥BC于P，过E作EM⊥AB于M，如图：
∴BM＝AB＝2＝EP，
同（2）可得＝，
∴＝，
解得BP＝3+或BP＝3﹣，
∴S△ABE＝AB BP＝×4×（3+）＝6+2或S△ABE＝AB BP＝6﹣2；
当AB＝AE＝4时，过E作EQ⊥AB于Q，过E作EI⊥BC于I，如图：
设QE＝x＝BI，则AQ＝＝，CI＝6﹣x，
∴BQ＝EI＝4﹣，
∵∠CEI＝90°﹣∠BEI＝∠QEB，∠EQB＝90°＝∠EIC，
∴△EQB∽△EIC，
∴＝，即＝，
解得x＝0（舍去）或x＝，
∴S△ABE＝AB EQ＝×4×＝，
综上所述，△ABE的面积为或6+2或6﹣2或．

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