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平均自由程
平均自由程
由于晶格振动非简谐性，不同格波间可以交换能量，才能达到统计平衡的。用“声子”语言表述，不同格波间的相互作用，表示为声子间的“碰撞”。在热传导问题中，声子的碰撞起着限制声子平均自由程的作用。
声子间的相互碰撞必须满足能量守恒和准动量守恒。以两个声子碰撞产生另一个声子的三声子过程为例。
对于大多数固体，温度变化时，其体积变化不大，因此可将 在静止晶格的平衡体积V0展开
只保留 V的一次项，有：
为静止晶格的压缩模量
当温度变化时，上式右边主要是振动能发生变化，对温度求微商可得体积膨胀系数：
—— Grüneisen定律
对许多固体材料的测量结果证实了Grüneisen定律， 的值一般在1~2之间。
由于 与晶格振动的非简谐性有关，若晶格振动是严格的简谐振动，就不会有热膨胀。
以双原子分子为例来定性讨论热膨胀问题。
向左运动：
较大
向右运动：
较小
受力：
三、晶格的热传导
1. 晶格热传导
热传导规律：
（K为热导率）
用声子的输运过程半定量地说明晶格的热传导。
在一定温度下，频率为 j的声子的平均声子数为
考虑一各向同性、均匀的绝缘棒，沿x方向放置。
T1
T2
S1
S2
S


（设T1 > T2 ）
由 i声子所贡献的热流为
总热流密度：
比较得
影响声子平均自由程的主要因素有：
声子与声子间的相互散射；
固体中的缺陷对声子的散射；
声子与固体外部边界的碰撞等。
a. 声子间的相互作用
Gn＝0，
N过程只改变动量的分布，而不改变热流的方向，不影响声子的平均自由程，这种过程不产生热阻。
—— 正规过程，或N过程（Normal Processes）
0
q1
q2
q1+q2
Gn
q3
Gn 0，
—— 翻转过程或U过程（Umklapp Processes）。
在U过程中，声子的准动量发生了很大变化，从而破坏了热流的方向，限制了声子的平均自由程，所以U过程会产生热阻。
b. 温度对声子平均自由程的影响
高温下，即T >> D时，
这时，平均自由程与T成反比。而高温下，晶格热容为常数，与T无关。所以，热导率K与温度T成反比。
对于所有晶格振动模式，有
低温下，即T << D时，
对 起限制作用的是声子碰撞的U过程，而U过程必须有 q 可以与倒格子原胞的尺度相比拟的短波声子的参与才可能发生。
声子间相互作用所限制的平均自由程与温度的关系为
介于2~3之间。
当温度下降时，声子的平均自由程迅速增大。
低温下声子平均自由程的增大是由于U过程中必须参与的短波声子数随温度的下降而急剧减少的结果。

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