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电子运动的近自由电子近似
电子运动的近自由电子近似
一、近自由电子模型
在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多，这样，电子的运动几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰。
二、运动方程与微扰计算
Schr dinger方程：
周期性势场：
a：晶格常数
Fourier展开：
—— 势能平均值
根据近自由电子模型，Un为微小量。
电子势能为实数， U*(x)=U(x)
Un*=U-n
1. 非简并微扰
—— 零级近似
—— 微扰项
分别对电子能量E(k)和波函数 (k)展开
将以上各展开式代入Schr dinger方程中，得
零级近似方程：
能量本征值：
相应归一化波函数：
正交归一性：
一级微扰方程：
令：
两边同左乘 并积分得
k’ = k
k’ k
由于一级微扰能量Ek(1)＝0，所以还需用二级微扰方程来求出二级微扰能量，方法同上。
令
代入二级微扰方程
二级微扰能量：
电子的能量：
电子波函数：
在简约区中，波矢k的取值总数为
Bloch函数的性质
Bloch函数:
周期函数 的作用则是对这个波的振幅进行
调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振
荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性。
行进波因子 表明电子可以在整个晶体中运动
的，称为共有化电子，它的运动具有类似行进平面
波的形式。
晶体中电子：
自由电子：
孤立原子：
如果晶体中电子的运动完全自由，
在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，是两者的组合。
由于晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有
的形式。周期函数 反映了电子与晶格相互作用的强弱。
若电子完全被束缚在某个原子周围，
Bloch函数中，行进波因子 描述晶体中电子的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期函数因子 则描述电子的原子内运动，取决于原子内电子的势场。
如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子
的能量取分立的能级；
晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动，因
此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带
相间组成的能带结构。
若电子只有共有化运动（自由电子情况），电子的
能量连续取值（严格讲电子能量应是准连续的）。
电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成能带的必要条件。
需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有能带结构。

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