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湘教版初中数学七年级下册期中测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第一.二.三单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. “双”促销活动中，小芳的妈妈计划用元购买价格分别为元和元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2. 已知关于、的方程组给出下列结论：
是方程组的解；
无论取何值，，的值都不可能互为相反数；
当时，方程组的解也是方程的解；
在的条件下，，的值都为自然数的解有对，其中正确的有( )
A. B. C. D.
3. 若二元一次方程，，有公共解，则的取值为( )
A. B. C. D.
4. 为了求的值，可令，则，因此，所以仿照以上方法计算的值是( )
A. B. C. D.
5. 已知，则的值是( )
A. B. C. D.
6. 已知实数满足，则( )
A. B. C. D.
7. 要在二次三项式的中填上一个整数，使它能按型分解为的形式，那么这些数只能是( )
A. ， B. ，
C. ，，， D. 以上答案都不对
8. 下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A. B. C. D.
9. 分解因式：的结果为( )
A. B.
C. D.
10. 秀山到怀化路程全长，一辆小汽车和一辆客车同时从秀山、怀化两地相向而行，经过小时分钟相遇，相遇时小汽车比客车多行驶，设小汽车和客车的平均速度分别为和，则下列方程组正确的是．( )
A. B.
C. D.
11. 如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为，( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
12. 下列式子从左到右的变形属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 在矩形中，放入六个相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是________．
14. 如图所示，一个大长方形刚好由个相同的小长方形拼成，其上、下两边各有个水平放置的小长方形，中间恰好用若干个小长方形平放铺满，若这个大长方形的长是宽的倍，则的值是________
15. 若，则__________ ．
16. 若，，那么______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：假设每辆车均满载
车型 甲 乙 丙
汽车运载量吨辆
汽车运费元辆
若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
为了节约运费，该市政府决定甲、乙、丙三种车型都参与运送，已知它们的总辆数为辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
18. 本小题分
若关于，的二元一次方程组的解是正整数，求的值．
19. 本小题分
已知关于，的方程组其中是实数．
解这个方程组用含的代数式表示，．
若方程组的解也是方程的一个解，求的值．
试说明不论取何实数，的值始终不变．
20. 本小题分
已知关于，的方程组和有相同的解，求代数式的值．
21. 本小题分
如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成个小长方形，然后用个小长方形拼成如图所示的正方形．
由图可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ．
根据中的结论，解决下列问题：若，，求的值．
两个正方形，按如图所示的方式摆放，边长分别为，若，，求图中阴影部分的面积和．
22. 本小题分
对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式，例如：由图可得到，请解答下列问题．
观察图，写出所表示的等式：______．
观察图，写出所表示的等式：______．
已知等式，请你仿照图画出一个相应的几何体；
小聪选取张Ⅰ号卡片、张Ⅱ号卡片、张Ⅲ号卡片拼接成一个长方形，请直接写出几何图形如图表示的等式______．
三个字母、、可取任意实数，若，，且，请利用所得的结论直接写出的值为______．
23. 本小题分
阅读下列材料：材料、将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成

材料、因式分解：
解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
根据材料，把分解因式．
结合材料和材料，完成下面小题：
分解因式：；
分解因式：．
24. 本小题分
阅读下列分解因式的过程：
先加上，再减去
运用完全平方公式
运用平方差公式
像上面那样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法．请你用配方法分解下面多项式：
；
．
25. 本小题分
整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”看成一个整体，令，则原式再将“”还原即可．
解：设，则：
原式第一步
第二步
第三步
第四步．
问题：
该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果______；
请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
请你模仿以上方法尝试计算：
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程的应用．对于此类问题，挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．然后根据未知数的实际意义求其整数解．
设购买元的商品数量为，购买元的商品数量为，根据总费用是元列出方程，求得正整数、的值即可．
【解答】
解：设购买元的商品数量为，购买元的商品数量为，
依题意得：，
整理，得
．
因为是正整数，
所以当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
即有种购买方案．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
将，代入检验即可做出判断；
将和分别用表示出来，然后求出来判断；
将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；
有得到、都为自然数的解有对．
【解答】
解：将，代入方程组得：，
由得，由得，故不正确．
解方程，
得：，
解得：，
将的值代入得：，
所以，故无论取何值，、的值都不可能互为相反数，故正确．
将代入方程组得：，
解此方程得：，
将，代入方程，方程左边右边，是方程的解，故正确．
因为，所以、都为自然数的解有，，，故正确．
则正确的选项有．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：解得：
，
代入得：，
解得：．
故选：．
由题意建立关于，的方程组，求得，的值，再代入中，求得的值．
本题先通过解二元一次方程组，求得后再代入关于的方程而求解的．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法，规律型：数字的变化类，掌握题干中给出的方法并熟练运用是解题的关键．
根据题目所给计算方法，令，再两边同时乘以，求出，用，求出的值，进而求出的值．
【解答】
解：令，
则，
，
，
则．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查是代数式的求值，完全平方公式首先将变形为；变形为，再将看做一个整体，将平方式展开，从而求得代数式的值．
【解答】
解：，
，
，
，
，
．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．将两边平方即可得，据此可得答案．
【解答】
解：，
，即，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：可以分成：，，，，
中填上的整数应该是的两个因数的和，即，，，．
故选C．
根据十字相乘法的分解方法和特点可知：中填上的整数应该是的两个因数的和，即，，，
本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是运用公式法进行因式分解的有关知识，由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：．不能用平方差公式进行因式分解，故A错误；
B.不能用平方差公式进行因式分解，故A错误；
C.，能用平方差公式进行因式分解，故C正确；
D.不能用平方差公式进行因式分解，故D错误；
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了多项式的因式分解，解答此题可采用待定系数法，解答此题可设，然后展开比较可得关于，的方程组，从而可得，的值，即可分解多项式，从而可得结论．
【解答】
解，
可设，
即，、为待定系数，
解得，，
原式．
故选B．

10.【答案】
【解析】解：因为小时分化为小时是分，由路程和是全路程，路程差是，可得方程组：
．
故选：．
由相遇时两车走的路程之和为千米，相遇时小汽车比客车多行驶千米，可得出方程组．
此题考查了由实际问题转化为二元一次方程组，解答本题的关键是仔细审题得到等量关系，根据等量关系建立方程．
11.【答案】
【解析】解：由题意，正方形的边长为，
，，
若，则正方形的边长为，，
即，
解得：负值不合题意，舍去，
，
，
选项A不正确；
若，则正方形的边长为，，
即，
解得：负值不合题意，舍去，
，
，
选项B不正确；
若，则，
，
，
，
，
即，
解得：，，
当时，，
，
此时，；
当时，，，不合题意，
选项C正确；
若，则，
，
，
，
，
即，
解得：，
当时，，，
，
选项D不正确；
故选：．
正方形的边长是一个含有两个字母的代数式，根据已知条件，变成含一个字母的代数式，根据正方形面积已知，列一元二次方程，通过求根公式求出字母的值，再对选项加以判定．
本题考查的是一元二次方程的几何背景，正确识图、一元二次方程求根公式是关键，
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是提公因式法，运用公式法分解因式，因式分解的应用的有关知识由题意对各个选项进行逐一分析判断，即可求解．
【解答】
解： ，属于因式分解，故A正确；
B.，不是因式分解，故B错误；
C.，不是因式分解，故C错误；
D.，不是因式分解，故D错误．
故选A．

13.【答案】
【解析】
【分析】
此题是一个信息题目，要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
【解答】
解：设小长方形的长、宽分别为，，
依题意得，
解之得，
小长方形的长、宽分别为，，
，
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二元一次方程组的应用，依据正方形的边长相等列出方程组是解题的关键．设长方形的长为，宽为，依据题意可得大长方形长为，宽为，然后列方程，解答即可．
【解答】
解：依题意，设小长方形的长为，宽为，则大长方形长为，宽为，
则，
解得，
大长方形有个小长方形拼成．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出与的值．
【解答】
解：，
得到，，
解得：，，
所以．
故答案为．

16.【答案】
【解析】解：若，，
则．
．
故答案为．
根据已知条件求出的值，再构造完全平方公式，整体代入即可求解．
本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是构造完全平方公式，善于利用整体思想．
17.【答案】解：设需甲车型辆，乙车型辆，得：解得
答：需甲车型辆，乙车型辆；
设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，得：
消去得，，
因，是正整数，且不大于，得，，，
由是正整数，解得，，
有二种运送方案：
甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆；
甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆；
二种方案的运费分别是：
；
．
答：甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆运费最省，最少运费是元．
【解析】设需甲车型辆，乙车型辆，根据运费元，总吨数是，列出方程组，再进行求解即可；
设甲车型有辆，乙车型有辆，丙车型有辆，列出等式，再根据、、均为正整数，求出，的值，从而得出答案．
根据二种方案得出运费解答即可．
本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握．
18.【答案】或或
【解析】略
19.【答案】解：
将得：，，
将其代入得
，方程组的解为
由题意得，，
，
．
．
无论取什么值，的值始终不变．
【解析】见答案
20.【答案】
【解析】略
21.【答案】解：
由得，
，
，，
，
四边形，为正方形，边长分别为，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【解析】
【分析】
本题主要考查了完全平方公式，解答本题的关键是掌握正方形面积和三角形面积的求法．
根据完全平方公式直接写出答案即可；
根据关系式，求出的值，再根据平方根的概念进行解答，即可求解；
结合图形，利用完全平方公式分别求出、的值，再利用三角形的面积公式分别求出的面积和的面积，即可求解．
【解答】
解：，，
．
故答案为：；
见答案；
见答案．
22.【答案】解：；
；
画出图形如下：
；
．
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解的应用、完全平方式的几何背景以及多项式乘多项式，把几何面积和完全平方式结合起来是难点．
对一个图形进行两种不同的面积计算，即可得出相对应的关系式；
根据给出的等式画出相应的图形即可；
根据给出的卡片张数分析写出等式即可；
将、、和代入中的等式，即可得解．
【解答】
解：大正方形的面积，也等于各个小矩形面积之和，即：，所以可得：，
故答案为；
左下角正方形面积，也等于大正方形减去其他各个小矩形，即，所以可得：，
故答案为；
见答案；
由题意可得组合图形面积为：．
故答案为；
由题可知：，把，，及代入可得：，所以．
故答案为．
23.【答案】解：；
将“”看成一个整体，令，
则原式，
再将“”还原，得：原式
原式，
将“”看成一个整体，令，
则原式
，
再将“”还原，得：
原式

【解析】本题考查因式分解的应用，运用整体代入法即可．
可根据材料中的若满足且，则 进行分解因式；
将“”看成一个整体，令，利用材料的方法分解因式，，再将还原即可；
将原式化简中的看作一个整体，令，利用材料的方法分解因式，，再将还原即可．
24.【答案】解：原式
；
．
【解析】、原式利用阅读材料中的方法分解即可．
本题考查了因式分解的应用．要运用配方法，只要二次项系数为，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式．
25.【答案】解：；
设，则：
原式
；
设，，
则，
，
，
所以原式
．
【解析】解：没有，
设．
原式第一步
第二步
第三步
第四步
第五步．
故答案为：没有完成；
见答案；
见答案．
根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；
利用换元法进行因式分解即可；
设，，则，，整体代入计算即可．
本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．
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